核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第七章 不等式训练

第七章不等式
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1.不等关系
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．一元二次不等式
(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
4．基本不等式：ab≤
a＋b
2
(a≥0，b≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
§7.1 不等关系与不等式
1．两个实数大小的比较
(1)a＞b⇔a－b________；
(2)a＝b⇔a－b________；
(3)a＜b⇔a－b________.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；
(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；
(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；
※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒
a
c
＞
b
d
；
※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒
1
a
＜
1
b
；
(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；
(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．
※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；
2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠：
1．＞0 ＝0 ＜0
2．(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc
(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd
(10)a n>b n(n∈N且n≥2)
(11)
n
a>
n
b(n∈N且n≥2)
(2014·山东)已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.
1
x2＋1
＞
1
y2＋1
B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
解：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D. (2015·烟台模拟)设a，b∈(－∞，0)，则“a>b”是“a－
1
a
>b－
1
b
”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：∵
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
a－
1
a－⎝
⎛
⎭⎪
⎫
b－
1
b＝(
a－b)
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1＋
1
ab，又1＋
1
ab
>0，若a>b，则(a－b)⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1＋
1
ab>0，∴
a－
1
a
>b－1
b
成立；反之，若(a－b)⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1＋
1
ab>0，则
a>b成立．故选C.
已知a＞0，b＞0，则a a b b与a b b a的大小关系为( )
A．a a b b≥a b b a B．a a b b＜a b b a
C．a a b b≤a b b a D．与a，b的大小有关
解：不妨设a≥b＞0，则
a
b
≥1，a－b≥0.
a a
b b
a b b a
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b
≥1，即a a b b ≥a b b a
.同理当b ＞a ＞0时，亦
有a a b b
≥a b b a
.故选A.
已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b.
解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得
a 2－
b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.
(2015·济南模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c
＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．
解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．
∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，
∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，
∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝
ac ＋bd
cd
＜0，故②正确．
∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，
∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正
确．
∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．
故填②③④.
类型一 建立不等关系
(2015·湖北)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大
整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2
]＝2，…，[t n
]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]
＝1得1≤t <2，由[t 2]＝2得2≤t 2<3，由[t 4
]＝4
得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由[t 3]＝3得3≤t 3
<4，
所以6≤t 5<45，由[t 5]＝5得5≤t 5
<6，与
6≤t 5
<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B.
点拨：
解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．
用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉
入木板的钉子长度为前一次的1k
(k ∈N *
)，已知一个
铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进
入木板部分的铁钉长度是钉长的4
7
，试从中提炼出一
个不等式组．(钉帽厚度不计)
解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板
部分的铁钉长度是4
7；第二次受击后，该次铁钉进入
木板部分的长度为4
7k
，此时进入木板部分的铁钉的
总长度为47＋47k ，有47＋4
7k
＜1；第三次受击后，该次
钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋4
7k
2，
有47＋47k ＋4
7k
2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧47＋4
7k
＜1，47＋47k ＋4
7k
2≥1.
类型二 不等式的性质
已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d
b
；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？
解：(1)对②变形c a ＞d b
⇔bc －ad
ab
＞0，由ab ＞0，
bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.
(2)若ab ＞0，bc －ad
ab
＞0，则bc ＞ad ，∴①②
⇒③.
(3)若bc ＞ad ，bc －ad
ab
＞0，则ab ＞0，∴②③
⇒①.
综上所述可组成3个正确命题．
点拨：
运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．
(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )
A.a c ＞b d
B.a c ＜b d
C.a d ＞b c
D.a d ＜b c
解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1
c
＞0，又a ＞b ＞0，
故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c
.故选D.
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则α
2
－β的取值范围
是________．
解：由1＜α＜3得12＜α2＜3
2
，由－4＜β＜2
得－2＜－β＜4，所以
α
2
－β的取值范围是
⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，112.
点拨：
①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不
可以相减，所以不能直接由12＜α2＜3
2和－4＜β＜2
两式相减来得到α
2
－β的范围．②此类题目用线性
规划也可解．
(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．
解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，
x －y ＝3.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12
.
∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－1
2(a －b )＜－1.
∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，
即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132.
点拨：
由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解．
(1)若角α，β满足－π2<α<β<π
2
，则2α－β
的取值范围是________．
解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π
2
，
－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π
2
，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋
α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2
，π2.
(2)设f (x )＝ax 2
＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．
解法一：由已知⎩
⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①
②
f (－2)＝4a －2b.
设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，
即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，
于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.
解法二：由⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），
a ＋
b ＝f （1）得
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1
2
[f （1）＋f （－1）]，b ＝1
2
[f （1）－f （－1）].
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一．
故填[5，10]．
类型四 比较大小
实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋m b ＋m 与a
b
的大小，则
a ＋m
b ＋m ________a
b
. 解法一：(作差比较)： a ＋m b ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）
b （b ＋m ）＝m （b －a ）
b （b ＋m ）
，
∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m
b ＋m
＞
a
b
. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0， ∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0， ∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b .故填＞.
点拨：
本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
(2015·福建月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b
2
＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n
的大小，
则a n ＋b n ________c n
.
解：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n
>0，而a n ＋b n c
n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2
，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2
＝1，∴0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c
2
，∴a n＋b n
c n
＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫a
c
n
＋
⎝
⎛
⎭⎪
⎫b
c
n
<
a2＋b2
c2
＝1，∴a n＋b n<c n.
故填＜.
1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．
1．(2015·厦门模拟) “a＋c>b＋d”是“a>b 且c>d”的( )
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件
D．必要不充分条件
解：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．故选D.
2．已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则a n b＋ab n－a n＋1－b n＋1的正负情况为 ( )
A．恒为正
B．恒为负
C．与n的奇偶性有关
D．与a，b的大小有关
解：a n b＋ab n－a n＋1－b n＋1＝a n(b－a)＋b n(a－b) ＝－(a－b)(a n－b n)，
因为(a－b)与(a n－b n)同号，所以a n b＋ab n－a n＋1－b n＋1<0恒成立．故选B.
3．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c
B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc
D.
c2
a－b
>0
解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b－c可能成立；B项：a>b⇒a－b>0，c2≥0，故(a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，
c2
a－b ＝0.故选B.
4．(2014·湖南)已知命题p：若x＞y，则－x ＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；
②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，
∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2
＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题．故选C.
5．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3＜c≤6
C ．6＜c≤9
D ．c ＞9
解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.
6．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )
A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m
B ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋m
C ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋m
D ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m ＜cos b a
解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋am
ab ＋bm
＞1，所以1
＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所
以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m
a －m
(也可取特殊值判
断)．故选A.
7．(2015·江西模拟)设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2
，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解：∵e ＜10，∴lg e ＜lg 10＝12
，∴(lg e )
2
＜1
2
·lg e ＝lg e ，即b ＜c.又∵e ＜e ，∴lg e ＜lg e ，即c ＜a.故填b ＜c ＜a.
8．(2015·安徽模拟)定义a *b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，
b ，a ≥b.
已知a ＝30.3，b ＝0.33
，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)
解：∵log 30.3<0<0.33<1<30.3
，∴c <b <a ，∴(a *b )*c ＝b *c ＝c.故填c.
9．设实数a ，b ，c 满足
①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2
，
②c －b ＝4－4a ＋a 2
.
试确定a ，b ，c 的大小关系．
解：∵c －b ＝(a －2)2
≥0，∴c ≥b ，
又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2
，
∴b －a ＝a 2
－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋3
4
＞0，
∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a.
10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．
则y ＝1 000＋30x 800＋ax
(a ∈N *
，1≤x ≤10)．
假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x 800＋10x ＞1.5，解得x ＞40
3
＞10.
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．
(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x
800＋ax
，
则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1
800＋ax 1
＝（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）
＞0，
所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．
11．(2015·云南模拟改编)已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c
a
的取值范围．
解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，
则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞c
a
，
即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c
a ＜－1，c
a ＞－2， 解得－2＜
c
a ＜－1
2
.
故c a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－12.
设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：
①c a >c b
；②a c
<b c
；③log b ()a －c >log a ()b －c .
其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③
解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b
<1，又c <0，∴c a >c
b ，
①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x
，g (x )＝b x
，
当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c
，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故选D.
§7.2 一元二次不等式及其解法
(2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1，2)
C．[－1，1] D．[1，2)
解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x ＜2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．故选A.
设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( )
A．{x|x∈R} B．{x|x≠1，x∈R}
C．{x|x≥1} D．{x|x≤1}
解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，
由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，
解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x ＋1>0，
x的取值范围是x≠1.故选B.
已知－
1
2
<
1
x
<2，则x的取值范围是( )
A．(－2，0)∪
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，
1
2
B.
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
1
2
，2
C.
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－∞，－
1
2
∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
2
，＋∞
解：当x >0时，x >1
2
；当x <0时，x <－2.
所以x 的取值范围是x <－2或x >1
2
，故选D.
不等式2x 2
－x <4的解集为____________．
解：由2x 2－x <4得x 2
－x <2，解得－1<x <2，即
不等式2x 2
－x <4的解集为{x |－1<x <2}．
故填{x |－1<x <2}．
(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2
＋kx －
38
＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．
解：显然k ≠0.则⎩
⎪⎨⎪⎧2k ＜0，
Δ＜0， 解得k ∈(－3，
0)．故填(－3，0)．
类型一 一元一次不等式的解法
已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集
为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．
解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－1
3
，
从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，
得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x |x ＜－3}．
点拨：
一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞
b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a
a ＋b
＝
－1
3
是解本题的关键．
解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2.
解：(1)当m2－4＝0即m＝－2或m＝2时，
①当m＝－2时，原不等式的解集为∅，
②当m＝2时，原不等式的解集为R.
(2)当m2－4＞0，即m＜－2或m＞2时，x＜
1
m－2
.
(3)当m2－4＜0，即－2＜m＜2时，x＞
1
m－2
.
类型二一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0; (2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0; (4)x2－2x＋2＞0.解：(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2
＝4.
而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1.
而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅.
(4)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R.
点拨：
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
(2015·贵州模拟)关于x的不等式x2－(a＋1)x ＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是________．
解：原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5；当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．
类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系
(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2
＋bx ＋2>0的
解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2
＋bx ＋a <0的解集为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12
B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12
C ．{x |－2<x <1}
D ．{x |x <－2或x >1}
解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2
＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.
由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b
a ，（－1）×2＝2a
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝1.
∴不等式2x 2
＋bx ＋a <0，即2x 2
＋x －1<0. 解得－1＜x ＜1
2
.故选B.
点拨：
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
已知不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜
3}，则不等式cx 2
－bx ＋a ＞0的解集为________．
解：∵不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，
∴a ＜0，且2和3是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两
根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－b
a
＝2＋3，
c
a ＝2×3，a ＜0.
即
⎩⎪⎨⎪
⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.
代入不等式cx 2
－bx ＋a ＞0，得6ax 2
＋5ax ＋a >0(a ＜0)．
即6x 2
＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13
.
故填⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.
类型四 含有参数的一元二次不等式
解关于x 的不等式：mx 2
－(m ＋1)x ＋1＜0.
解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；
(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.
①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1
m
＜1，∴不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜1m
或x ＞1.
②当m ＞0，不等式为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1m (x －1)＜0.
(Ⅰ)若1
m
＜1，即m ＞1时，
不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |1m ＜x ＜1；
(Ⅱ)若1
m
＞1，即0＜m ＜1时，
不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |1＜x ＜1m ；
(Ⅲ)若1
m
＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.
点拨：
当x 2
的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0
与m ＞0进行讨论；第三层次：1
m
与1大小的不确定
性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．
解关于x 的不等式ax 2
－2≥2x －ax (a ∈R )．
解：不等式整理为ax 2
＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]． 当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a
，
所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2a ，＋∞；
当－2＜a ＜0时，解集为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2a
，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；
当a ＜－2时，解集为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，2a .
类型五 分式不等式的解法
(1)不等式x －1
2x ＋1
≤1的解集为________．
解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0
⇔ x ＋22x ＋1
≥0. 解法一：x ＋2
2x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.
得{xx ＞－1
2
或x ≤－2}．
解法二：x ＋2
2x ＋1≥0 ⇔⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.
得{x |x ＞－1
2或x ≤－2}．
故填{x |x ＞－1
2
或x ≤－2}．
(2)不等式x －2
x 2＋3x ＋2＞0的解集为．
解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2
（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔
(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，
数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．
点拨：
分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．
(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}， B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x －2x
≤0，则A ∩B ＝( )
A ．{x |－1≤x ＜0}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |0≤x ≤2}
D ．{x |0≤x ≤1} 解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝
{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B.
(2)不等式x －1
2x ＋1
≤0的解集为( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1 C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －1
2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0
得－1
2
<x ≤1.故选A.
类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题
(1)若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦
⎥
⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )
A ．0
B ．－2
C ．－5
2
D ．－3
解法一：不等式可化为ax ≥－x 2
－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12， ∴a ≥－⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝
x ＋1x 在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，1
2上是减函数，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2
＋ax ＋1，对称轴为x ＝－
a
2
.
①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0 ⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12
，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)
③⎩
⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≥0
⇒－52≤a ≤－1.(如图3)
图1 图2 图3
综上 ①②③，a ≥－5
2
.故选C.
(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )
A ．1＜x ＜3
B ．x ＜1或x ＞3
C ．1＜x ＜2
D ．x ＜1或x ＞2
解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2
－4x ＋4，a ∈[－1，1]，
依题意，只须⎩
⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－3x ＋2＞0，
x 2
－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.
点拨：
(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．
(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x －2x
＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解：不等式可变形为a >2x
－14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
，令
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x
＝t －t 2＝－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122
＋14
，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞.
(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2
＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．
解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2
－2x ＋1＞0，
设f (a )＝(x －1)a ＋x 2
－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]
上恒大于0，故有：⎩
⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，
f （2）＞0， 即
⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1. ∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
类型七 二次方程根的讨论
若方程2ax 2
－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，
则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1，1)
D ．[0，1)
解法一：令f (x )＝2ax 2
－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.
解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排
除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2
＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B.
点拨：
本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b
2a
与区间端
点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．
(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．
解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，
∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－5
6
.
又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．
不等式f (x )>1即为－x 2
－x ＋1>1，解得－1<x <0.
∴故填{x |－1＜x ＜0}．
类型八 一元二次不等式的应用
(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生
产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获
得利润是100⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x 元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元，求x 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，
问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x
－14－3x
≥0⇒5x 2
－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x －
3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.
(2)设利润为y 元，则y ＝900x
·100⎝
⎛⎭⎪
⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 2＋1x ＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112. 故x ＝6时，y max ＝457 500元．
点拨：
和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．
(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1
成＝10%)，售出商品数量就增加8
5
x 成．要求售价不
能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．
解： (1)由题意得y ＝
100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1－x 10－
80≥0.
∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．
(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化
简得8x 2
－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134
.∴x 的取值
范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.
1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2
＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符
号及判别式Δ＝b 2
－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应
的函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求
得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．
2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式
组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）
g （x ）
≤0的不等式称
为非严格分式不等式)
3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．
4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．
5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．
6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：
1．不等式
x －2
x ＋1
≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]
解：x －2x ＋1
≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，
即x ∈(－1，2]，故选D.
2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2
－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )
解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝1
a ，－2×1＝－c a ， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＝－1，
c ＝－2.则f (x )＝－x 2
－x ＋2，∴f (－x )＝－x 2
＋x ＋2.故选
C.
3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0
的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x
)>0的解集为
( )
A ．{x |x <－1或x >lg2}
B ．{x |－1<x <lg2}
C ．{x |x >－lg2}
D ．{x |x <－lg2}
解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝
⎛⎭⎪⎫10x －12<0，从而10x <12，解
得x <－lg2，故选D.
4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m )
的取值范围是( )
A ．[15，20]
B ．[12，25]
C ．[10，30]
D ．[20，30] 解：设矩形的另一边为y m ，依题意得
x
40
＝
40－y
40
，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C.
5．若关于x 的不等式2x 2
－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－12)
B ．(－4，＋∞)
C ．(－12，＋∞)
D ．(－∞，－4)
解：关于x 的不等式2x 2
－8x －4－a ＞0在(1，
4)内有解，即a ＜2x 2
－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D.
6．若关于x 的方程3x 2
－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(－12，＋∞)
C ．(－22，0)
D ．(－12，0)
解：设f (x )＝3x 2
－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，
a ＜0，
－2＋a ＜0，12＋a ＞0.
解得－12
＜a ＜0.故选D.
7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x
＋6≤3
的解集为________．
解：log 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x
＋6≤3⇔log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x
＋6≤log 28
⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋
1
x
≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1
x
≤－2，此时x
＋1
x
＞－6，解得－3－22＜x ＜－3＋22.
故填(－3－22，－3＋22)∪{1}． 8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不
等式1＋x ≥1＋x 2－x 2
a
对一切非负实数x 恒成立，
则a 的最大值是______________．
解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x
2
－1＋x (*)，令
1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2
－1，所以(*)即
（t 2－1）2a
≥1＋t 2－12
－t ＝t 2－2t ＋12
＝（t －1）22
，对t ≥1恒
成立，所以（t ＋1）2
a ≥12
对t ≥1恒成立，又a 为正
的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2
]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.
9．若关于x 的不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
解法一：设f (x )＝x 2
－ax －a.则关于x 的不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，
即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＝－4a ＋a 2
4≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.
解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2
－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.
10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m )与车速x (km /h )之间分别有如下关系：
s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问甲、乙两车有无超速现象？
解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2
＞12，
即x 2
＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．
这表明甲车的车速超过30 km /h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km /h.
对于乙车有0.05x ＋0.005x 2
＞10，
即x 2
＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)．
这表明乙车超过40 km /h ，超过规定限速． 11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)．
(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；
(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x
＝ax 2
－(2＋4a )x ＋3a.①
由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2
－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②
因为方程②有两个相等的实根，所以
Δ＝[－(2＋4a )]2
－4a ·9a ＝0，
即5a 2
－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15
.
由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－1
5
代入①得f (x )
的解析式
f (x )＝－15x 2－65x －3
5
.
(2)由f (x )＝ax 2
－2(1＋2a )x ＋3a
＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1＋2a a 2－
a 2＋4a ＋1a
， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1
a
.
由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，
a ＜0，
解得a ＜－2－3或－2
＋3＜a ＜0.
故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是
(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．
解关于x 的不等式：
a （x －1）
x －2
＞1(a ＜1)．
解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，
当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －a －2a －1＜0，
若a－2
a－1
＞2，即0＜a＜1时，解集为{x|2＜x＜
a－2
a－1
}；
若a－2
a－1
＝2，即a＝0时，解集为∅；
若
a－2
a－1
＜2，即a＜0时，解集为{x|
a－2
a－1
＜x＜
2}．
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设________，画出直线l0.
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即________，在可行域内求得使目标函数________．
自查自纠：
1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号
2．(1)目标函数线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解可行域最优解
(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解。