1-代数学的经典课题

代数学的经典课题
1若干准备知识
1.1 代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.2 数域的定义
定义(数域的定义) 设P 是某些复数所组成的集合。

如果P 中至少包含两个不同的复数，且P 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对P 内任意两个数a 、b （a 可以等于
b ），必有0/a b P ab P b a b P ±∈∈≠∈，，且当时，，则称P 为一个数域。

典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i ) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。

命题 任意数域P 都包括有理数域Q 。

证明 设P 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0a P a ∈≠，且。

于是
01a
a a P P a
=-∈=
∈，。

进而∈∀m N ,
111m P =+++∈ 。

最后，∈∀n m ,N ，m P n ∈，0m m
P n n
-=-∈。

这就证明了Q ⊆P 。

证毕。

1.3 求和号∑
设给定某个数域P 上n 个数n a a a ,,,21 ，我们使用如下记号：
∑==+++n
i i n a a a a 1
21 。

当然也可以写成
121n i
i n
a a a a
≤≤+++=
∑ 。

容易证明，
∑∑===n i n
i i i a a 1
1
λλ，
∑∑∑===+=+n
i n i n
i i i i i
b a b a
1
1
1
)(，
∑∑∑∑=====n i m j n
i ij m
j ij
a a
111
1。

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
111212122212
..........................................
m m
n n nm
a a a a a a a a a 分别先按行和列求和，再求总和即可。

2 一元高次代数方程的基础知识
2.1 代数基本定理及其等价命题
设P 为数域，以[]P x 表示系数在P 上的以x 为变元的一元多项式的全体。

如果
1010()[](0)n n n f x a x a x a P x a -=+++∈≠ ，
则称n 为)(x f 的次数，记为)(deg x f 。

定理(代数基本定理) C ][x 的任一元素在C 中必有零点。

命题 设1010(),(01)n n n f x a x a x a a n -=+++≠≥ ，是C 上一个n 次多项式，α是一个复数，则存在C 上首项系数为0a 的1-n 次多项式)(x q ，使得
()()()()f x x q x f αα=-+。

证明 对n 作数学归纳法。

推论 0x 为)(x f 的零点，当且仅当)(0x x -为)(x f 的因式（其中1)(deg ≥x f ）。

命题(代数基本定理的等价命题) 设1
01()n
n n f x a x a x
a -=+++ )10(0≥≠n a ，为C
上的n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n 个复数12,,,n ααα ，使
012()()()()n f x a x x x ααα=--- 。

证明 利用代数基本定理和命题，对n 作数学归纳法。

2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设1
01()n
n n f x a x a x
a -=+++ ，其中0,0i a P a ∈≠。

若()0f x =的复根为
12,,,n ααα （可能有重复）
，则 121
01
()()()()()n
i n i f x x x x x a αααα==-=---∏ 11212()(1)n n n n n x x αααααα-=-+++++- 。

所以
)()1(2110
1
n a a ααα+++-= ， ∑≤≤≤-=n
i i i i a a 21210202
)1(αα， 120
(1)n n
n a a ααα=- 。

我们记
1),,,(210=n ααασ ，
n n αααααασ+++= 21211),,,(，
∏≤≤≤≤≤=
n
i i i i i i n r r r
212
1021),,,(ααα
ααασ，
n n n αααααασ 2121),,,(=。

（12,,,n σσσ 称为12,,,n ααα 的初等对称多项式）。

于是有
定理(韦达定理) 设101()n n n f x a x a x a -=+++ ，其中0,0i a P a ∈≠。

若()0f x
=的复根为12,,,n ααα ，则
),,,()1(21110
1
n a a ααασ -=； ),,,()1(21220
2
n a a ααασ -=； 120
(1)(,,,)n n
n n a a σααα=- 。

命题 给定R 上n 次方程
10110n n n n a x a x a x a --++++= ，00≠a ，
如果b a +=αi 是方程的一个根，则共轭复数b a -=αi 也是方程的根。

证明 由已知，
10110n n n n a a a a ααα--++++= .
两边取复共轭，又由于01,,,n a a a ∈ R ，所以
10110n n n n a a a a ααα--++++= .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C 内有奇数个根，故其中必有一根为实数。

3 线性方程组
3.1 数域P 上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的Gauss 消元法。

定义(线性方程组的初等变换) 数域P 上的线性方程组的如下三种变换 (1)互换两个方程的位置；
(2)把某一个方程两边同乘数域P 内一个非零元素c ； (3)把某一个方程加上另一个方程的k 倍，这里k P ∈ 的每一种都称为线性方程组的初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。

命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解。

证明 设线性方程组为
1111221121122222
1122,
,.......
n n n n m m mn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。

设1122,,,n n x k x k x k === 是（*）的解，即（*）中用(1,2,,)i i x k i n == 代入后成为等式。

对其进行初等变换，可以得到1122,,,n n x k x k x k === 代入（**）后也成为等式，即1122,,,n n x k x k x k === 是（**）的解。

反之，（**）的解也是（*）的解。

证毕。

3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义(数域P 上的矩阵) 给定数域P 中的mn 个元素j i a （m i ,,1 =，n j ,,1 =）。

把它们按一定次序排成一个m 行n 列的长方形表格
1112
121
22212
......
....................................n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
称为数域P 上的一个m 行n 列矩阵，简称为n m ⨯矩阵。

定义(线性方程组的系数矩阵和增广矩阵) 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵
A 称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到A 内作为最后一列，得到的
)1(+⨯n m 矩阵
1112112122221
2.............................................n n m m mn n a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 称为方程组的增广矩阵。

定义(矩阵的初等变换) 对数域P 上的矩阵的行（列）所作的如下变换 (1)互换两行（列）的位置；
(2)把某一行（列）乘以P 内一个非零常数c ；
(3)把某一行（列）加上另一行（列）的k 倍，这里k P ∈ 称为矩阵的行（列）初等变换。

定义(齐次线性方程组) 数域P 上常数项都为零的线性方程组称为数域K 上的齐次线性方程组。

这类方程组的一般形式是
1111221211222211220,0,......0.
n n n n
m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解。

证明 对变元个数作归纳。

说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。

事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。

如果所给的是数域P上的线性方程组，那么做初等变换后仍为P上的线性方程组，所求出的解也都是数域P中的元素。

因此，对P上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域P中进行。