2020年广东省湛江市吴川覃巴中学高二数学理模拟试卷含解析

2020年广东省湛江市吴川覃巴中学高二数学理模拟试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知是球表面上的点，，，，
，则球的表面积等于
（A）4（B）3（C）2 (D)
参考答案：
A
2. 在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
参考答案：
C
【考点】余弦定理．
【分析】本题考查的知识点是余弦定理，观察到已知条件是“在△ABC中，求A角”，固这应该是一个解三角形问题，又注意到a2=b2+bc+c2给出的三角形三边的关系，利用余弦定理解题比较恰当．
【解答】解：∵a2=b2+bc+c2
∴﹣bc=b2+c2﹣a2
由余弦定理的推论得：
==
又∵A为三角形内角
∴A=120°
故选C
3. 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5
箱中各任意抽查两枚。

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则（）
A. =
B. <
C.
> D。

以上三种情况都有可能
参考答案：
B
略
4. 数列中，，且，则等于（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
略
5. 已知是两条不同直线, 是三个不同平面,则下列正确的是（▲ ）
A．若,则B．若,则
C．若,则D．若,则
参考答案：
D
略
6. 过椭圆C： +=1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH 到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）
A．（0，] B．（，] C．[，1）D．（，1）
参考答案：
C
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先确定P，Q坐标之间的关系，利用椭圆方程，可得Q点轨迹方程，从而可求离心率的取值范围．
【解答】解：设P（x1，y1），Q（x，y），
因为右准线方程为x=3，
所以H点的坐标为（3，y）．
又∵|HQ|=λ|PH|（λ≥1），
所以=，
∴由定比分点公式，可得x1=，y1=y，
代入椭圆方程，得Q点轨迹方程为+=1
∴离心率e==∈[，1）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．
7. 设是定义在R上的奇函数，,当时，有恒成立，
则不等式的解集
是
（A）（，）∪（，）（B）（，
）∪（，）
（C）（，）∪（，）（D）（，）∪（，）
参考答案：
D
8. 已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）
A．4 B．5 C．7 D．8
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．
【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
9. i是虚数单位，若＝a＋b i(a，b∈R)，则a＋b的值是
A．0 B.
C．1 D．2
参考答案：
C
略
10. 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( )．A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是．
参考答案：
16
略
12. 函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为．
参考答案：
13. 抛物线的焦点坐标是______________．
参考答案：
略
14. 点M的直角坐标是，在，的条件下，它的极坐标是__________.
参考答案：
【分析】
根据，可得．
【详解】，，，，
，且在第四象限，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
15. 在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是_______________________。

参考答案：
16. 设数列{a n}满足a2+a4=10，点P n（n，a n）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{a n}的前n项和S n=．
参考答案：
n2
【考点】数列与向量的综合．
【分析】由已知得a n}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{a n}的前n项和S n．
【解答】解：∵P n（n，a n），∴P n+1（n+1，a n+1），
∴=（1，a n+1﹣a n）=（1，2），
∴a n+1﹣a n=2，
∴{a n}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，
解得a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
∴S n==n2．
故答案为：n2．
17. 若函数f（x）=x2﹣2x+1+alnx在x1，x2取得极值，且x1＜x2，则f（x2）的取值范围是_________ ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
参考答案：
19. 求适合下列条件的的圆锥曲线的标准方程和离心率：
(1) （5分）椭圆焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
（2）（5分）双曲线的焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线
参考答案：
(1)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求椭圆的方程为＋x2＝1.
（2）与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线的焦点在y轴上，
∴方程可写为－＝1.
又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴双曲线方程为－＝1.
20. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
参考答案：
【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．
【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；
（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=．
【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点
构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点,且线段中点的横坐标为
，点，求：的值．
参考答案：
解：（Ⅰ）因为满足，，。

解得，则椭圆方程为
（Ⅱ）将代入中得
因为中点的横坐标为，所以，解得
又由（1）知，
所以
略
22. 设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2（n=1，2，3，…）．
（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式（不需证明）；
（2）记S n为数列{a n}的前n项和，试求使得S n＜2n成立的最小正整数n，并给出证明．参考答案：
【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．
【分析】（1）利用数列的递推关系式，求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式．
（2）利用数列的求和，求解S n，求使得S n＜2n成立的最小正整数n，利用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（1）a2=a12﹣2a1+2=5，a3=a22﹣2×2a2+2=7，
a4=a32﹣2×3a3+2=9．
猜想a n=2n+1（n∈N*）．
（2）数列{a n}是等差数列，首项3，公差为：2，
∴S n==n2+2n（n∈N*），
使得S n＜2n成立的最小正整数n=6．
下证：当n≥6（n∈N*）时都有2n＞n2+2n．
①当n=6时，26=64，62+2×6=48，64＞48，命题成立．
②假设n=k（k≥6，k∈N*）时，2k＞k2+2k成立，那么当n=k+1时，
2k+1=2?2k＞2（k2+2k）=k2+2k+k2+2k＞k2+2k+3+2k=（k+1）2+2（k+1），
即n=k+1时，不等式成立；
由①②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）
都有2n＞n2+2n成立．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．。