高中物理经典问题弹簧类问题全面总结解读DOC

高中物理经典问题---弹簧类问题全面总结解读
一：专题训练题
1、一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m 的物体,有一水平板
将物体托住,并使弹簧处于自然长度。

如图7所示。

现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g ＝
匀加速向下移动。

求经过多长时间木板开始与物体分离。

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg ，弹簧的弹力F=kx
和平板的支持力N 作用。

据牛顿第二定律有：
mg-kx-N=ma 得N=mg-kx-ma
当N=0时，物体与平板分离，所以此时k a g m x )(-=
因为221at x =，所以ka
a g m t )(2-=。

2、如图8所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静
止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。

现在给P 施加一个竖直向上的力F ，
使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s 内F 是变力，在0.2s 以后F 是恒
力，g=10m/s 2,则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。

．分析与解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离
开秤盘。

此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于
原长。

在0_____0.2s 这段时间内P 向上运动的距离：
x=mg/k=0.4m 因为221at x =，所以P 在这段时间的加速度22/202s m t
x a == 当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+F min =ma,又因此时N=mg ，所以有
F min =ma=240N.
当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m(a+g)=360N.
3．如图9所示，一劲度系数为k =800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m =12kg 的
物体A 、B 。

物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面
物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整个
过程中弹簧都处于弹性限度内，取g =10m/s 2 ，求：
（1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F 所做的功。

解：(1)A 原来静止时：kx 1=mg ①
当物体A 开始做匀加速运动时，拉力F 最小，设为F 1，对物体A 有：
F 1＋kx 1－mg =ma ②
当物体B 刚要离开地面时，拉力F 最大，设为F 2，对物体A 有：
F 2－kx 2－mg =ma ③
对物体B 有：kx 2=mg ④
对物体A 有：x 1＋x 2＝22
1at ⑤ 由①、④两式解得 a =3.75m/s 2 ，分别由②、③得F 1＝45N ，F 2＝285N F 图8 A B
F 图 9 图7
(2)在力F 作用的0.4s 内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：
W F =mg (x 1＋x 2)+=2)(2
1at m 49.5J 4．如图5所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B 相连，木块A 放在木块B 上，
两木块质量均为m ，在木块A 上施有竖直向下的力F ，整个装置处于静止状态．
（1）突然将力F 撤去，若运动中A 、B 不分离，则A 、B 共同运动到最高点时，B 对A
的弹力有多大？
（2）要使A 、B 不分离，力F 应满足什么条件？
【点拨解疑】 力F 撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最
高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．
（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在
最低点，即原来平衡的系统在撤去力F 的瞬间，受到的合外力应为F /2，方向竖直向上；当
到达最高点时，A 受到的合外力也为F /2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B 对A 的弹力为2
F mg -． （2）力F 越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最
高点时，A 、B 间虽接触但无弹力，A 只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg ．那么，在
最低点时，即刚撤去力F 时，A 受的回复力也应等于m g ，但根据前一小题的分析，此时回
复力为F /2，这就是说F /2=mg ．则F =2mg ．因此，使A 、B 不分离的条件是F ≤2mg ．
5．两块质量分别为m 1和m 2的木块，用一根劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，现在m 1上施
加压力F ，如图14所示．为了使撤去F 后m 1跳起时能带起m 2，则所加压力F 应多大？
g m m F )(21+>（对称法）
6．如图1-4-8所示，离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A 、B ，质量分别为2m
和m ，两球用劲度系数为k 的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为l ．当两球随着离
心机以角速度ω转动时，两球都能够相对于杆静止而又不碰两壁．求A 、B 的旋
转半径r A 和r B ．
2
23ϖm k kl
r A -=
7．（14分）如图14所示，A 、B 两滑环分别套在间距为1m 的光滑细杆上，A 和B 的质量之
比为1∶3，用一自然长度为1m 的轻弹簧将两环相连，在 A 环上作用一沿杆方向的、大小
为20N 的拉力F ，当两环都沿杆以相同的加速度a 运动时，弹簧与杆夹角为53°。

（cos53°
=0.6）
求：（1）弹簧的劲度系数为多少？
（2）若突然撤去拉力F ，在撤去拉力F 的瞬间，A 的加速度为a /，a /
与a 之间比为多少？
解：（1）先取A +B 和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A 、B 支
持力与加速度方向垂直，在沿F 方向应用牛顿第二定律F =(m A +m B )a ①
再取B 为研究对象F 弹cos53°=m B a ②
①②联立求解得，F 弹=25N
由几何关系得，弹簧的伸长量⊿x =l (1/sin53°－1)=0.25m
所以弹簧的劲度系数k =100N/m
（2）撤去F 力瞬间，弹簧弹力不变，A 的加速度a /= F 弹cos53°/m A
所以a /：a =3∶1。

8．（14分）如图所示，质量M =3.5kg 的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与
水平桌面相平，小车长L =1.2m ，其左端放有一质量为0.5kg 的滑块Q 。

水平放置的轻弹簧左
端固定，质量为1kg 的小物块P 置于桌面上的A 点并与弹簧的右端接触。

此时弹簧处于原
长，现用水平向左的推力将P 缓慢推至B 点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为W F =6J ，
撤去推力后，P 沿桌面滑到小车上并与Q 相碰，最后Q 停在小车的右端，P 停在距小车左
端0.5m 处。

已知AB 间距L 1=5cm ，A 点离桌子边沿C 点距离L 2=90cm ，P 与桌面间动摩擦
因数4.01=μ，P 、Q 与小车表面间动摩擦因数1.02=μ。

（g =10m/s 2）求：
（1）P 到达C 点时的速度 V C 。

（2）P 与Q 碰撞后瞬间Q 的速度大小。

图
14
解：（1）对P 由A →B →C 应用动能定理，得2121112
1)2(C F v m L L g m W =+-μ s m V C /2=∴
（2）设P 、Q 碰后速度分别为v 1、v 2，小车最后速度为v ，由动量守恒定律得，
22111v m v m v m C += v M m m v m C )(211++= 由能量守恒得，
()22122221122122
12121v m m M v m v m gL m gS m ++-+=
+μμ 解得，s m v /22= s m v /3
22=' 当s m v /322='时，'>=21/35v s m v 不合题意，舍去。

即P 与Q 碰撞后瞬间Q 的速度大小为s m v /22=
9．质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩
量为x 0，如图1-9-15所示．一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上
并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为
m 时，它们恰能回到O 点．若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O
点时，还具有向上的速度．求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离．
解：质量为m 的物块运动过程应分为三个阶段：第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和
钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O 点．质量为2m 的物块
运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m 物块在O 点与钢板分离后做竖直上抛运动．弹簧
对于m ：
第二阶段，根据动量守恒有mv0=2mv1 ②
对于2m 物块：
第二阶段，根据动量守恒有2mv0=3mv2 ④ 第三阶段，根据系统的机械能守恒有
又因 E ′p=Ep ⑦
上几式联立起来可求出：l=x0/2
二：常见弹簧类问题归类
高考要求
轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概
念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每
年高考卷面均有所见，应引起足够重视.
弹簧类命题突破要点
1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的
大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹
簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的
弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.
2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认
为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.
3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计
算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：
W k =-（21kx 22-21kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p =2
1kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转
化与守恒的角度来求解.
下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析
（收集整理中，欢迎提供更多信息，不好意思）
一、与物体平衡相关的弹簧问题
1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为
k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现
缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动
的距离为( )
A.m 1g/k 1
B.m 2g/k 2
C.m 1g/k 2
D.m 2g/k 2
此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要
通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡
过程，直至m 1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m 1 + m 2)g ／k 2，而
m l 刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m 2g ／k 2，因而m 2移动△x ＝(m 1 + m 2)·g
／k 2 - m 2g ／k 2＝m l g ／k 2．
此题若求m
l 移动的距离又当如何求解?
参考答案:C
2.（1996全国）如图所示，倔强系数为k 1的轻质弹簧两端分别与质量为m 1、
m 2的物块1、2拴接，倔强系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在
桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态。

现施力将物块1缓慢竖直上提，
直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。

在此过程中，物块2的重力势能增加了____，物块1的重力势能增加了____。

答案：，
3.S1和S2表示劲度系数分别为k1，和k2两根轻质弹簧，k1>k2；A和B表示质量分别为m A
和m B的两个小物块，m A>m B,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总
长度最大则应使( )．
A.S1在上，A在上
B.S1在上，B在上
C.S2在上，A在上
D.S2在上，B在上
参考答案:D
2004年高考全国理综卷二）如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动 .若认为弹簧的质量都为零，以 l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）
A. B.
C. D.
答案：D
【解析】首先，因为题中说明可以认为四个弹簧的质量皆为 0，因此可断定在每个弹簧中，不管运动状态如何，内部处处拉力都相同 .因为如果有两处拉力不同，则可取这两处之间那一小段弹簧来考虑，它受的合力等于它的质量乘加速度，现在质量为 0，而加速度不是无穷大，所以合力必为 0，这和假设两处拉力不同矛盾 .故可知拉力处处相同 .按题意又可知大小皆为 F.其次，弹簧的伸长量 l=Fk，k为劲度系数 .由题意知四个弹簧都相同，即 k 都相同 .故可知伸长量必相同
命题意图与考查目的：本题通过对四种不同物理场景中弹簧的伸长量的比较，考查考生对力的概念的理解、物体的受力分析、牛顿一、二、三定律的掌握情况和综合运用能力．本题涉及到2004年《考试大纲》中第11、13、14、15、16；17、18、24共八个知识点．
解题思路、方法与技巧：要比较四种不同物理场景中弹簧的伸长量，就要比较弹簧在四种不同物理场景中的所受合外力的大小和弹簧的劲度系数．由题意知，四个弹簧完全相同，故弹簧的劲度系数相同，弹簧的质量都为零，故弹簧不论作什么性质的运动都不影响弹簧所受的合外力，弹簧只是传递物体间的相互作用．可将弹簧等效为一个测力计，当弹簧的右端受到大小为F的拉力作用时，弹簧将“如实”地将拉力F传递给与弹簧相连接的物体，故弹簧由于弹性形变所产生的弹力大小也为F ，由胡克定律F= k△x，则四个弹簧的伸长量△x 相
同．
总体评价与常见错误分析：本题尽管涉及到的知识点比较多，但这些知识点都是力学中非常基础的内容，也是考生必须熟练掌握、灵活运用的内容．故本题是基础题．①②两种情形中弹簧所受的合外力相同，均为零，所以弹簧中由于弹性形变所产生的弹力大小也相同．在平时教学过程中，常有学生错误地认为第②种情形中弹簧所产生的弹性形变比第①种情形中弹簧所产生的弹性形变要大些，这一错误观念的形成主要是对力的概念理解不深，一旦将第①种情形中的墙壁和弹簧隔离受力后，不难发现第①种情形与第②种情形的受力情况是等效的，其实在第①种情形中，弹簧对墙壁的作用力与墙壁对弹簧的作用力是一对作用力与反作用力，所以第①②两种情形中弹簧的受力情况完全相同，第③④两种情形中，虽然物块的受力情况、运动状态不尽相同，但这并不影响弹簧的“如实”地将拉力F传递给与弹簧相连接的物块，所以弹簧中产生的弹力大小由拉弹簧的外力F的大小决定，而与物块处于什么样的运动状态、是否受摩擦力没有必然联系。

有些考生曾错误地认为物块在有摩擦的桌面上滑动时，拉物块所需要的拉力要大些，所以弹簧的形变量也大些。

这是没有读懂题意，没有注意到弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用这一前提件。

4.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m，
它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧
的劲度系数k1(大弹簧)和k2(小弹簧)分别为多少?
(参考答案k1=100N/m k2=200N/m)
5.(2001年上海高考)如图所示，一质量为m的物体系于
长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，
与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．
(1)下面是某同学对该题的一种解法：
解设L1线上拉力为T l，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作
用下保持平衡
T l cosθ=mg，T l sinθ=T2，T2=mgtanθ，
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度．
因为mgtanθ=ma，所以加速度a=g tanθ，方向在T2反方向．你认为这个结果正确吗?清对该解法作出评价并说明理由．
解答：错．因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生了变化．此瞬间
T
2=mgcosθ， a=gsinθ
(2)若将图中的细线L l改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条
件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个
结果正确吗?请说明理由．
解答：对，因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度未及发生变化，T1大小和方向都不变．
二、与动力学相关的弹簧问题
6.如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为
M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体．当剪掉m后发现：当木板的速率
再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m、M间的相互作用)则M
与m之间的关系必定为 ( )
A.M>m
B.M=m
C.M<m
D.不能确定
参考答案:B
7.如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用
手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( ) 参考答案：C
A.一直加速运动 B．匀加速运动
C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动
[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的
受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作
用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，
弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．
8.如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由
落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在
小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是( ) 参
考答案:C
A.小球加速度方向始终向上
B.小球加速度方向始终向下
C.小球加速度方向先向下后向上
D.小球加速度方向先向上后向下
(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系)
9.如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( )
A.物体从A到B速度越来越大，从B到C
速度越来越小
B.物体从A到B速度越来越小，从B到C
加速度不变
C.物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动
D.物体在B点受到的合外力为零
参考答案:C
10.如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A点，然后放手。

物体向右运动至C点而静止，AC距离为L。

第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s可能为：
A.s=L
B.s>L
C.s<L
D.条件不足，无法判断
参考答案:AC
(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑)
11. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过
程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对
木块做的功.
分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离. 解:
当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平
衡时弹簧的压缩量为x ，有
kx =（m A +m B ）g
x =（m A +m B ）g /k ①
对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图
对A F +N -m A g =m A a ②
对B kx ′-N -m B g =m B a ′ ③
可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小F 增大.当N =0时，F 取得了最大值F m ,
即F m =m A （g +a ）=4.41 N
又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知，
此时，弹簧压缩量kx ′=m B （a +g ）
x ′=m B （a +g ）/k ④
AB 共同速度 v 2=2a （x -x ′） ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J
设F 力功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理
W F +E P -（m A +m B ）g （x -x ′）=2
1（m A +m B ）v 2
⑥
联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J
可知，W F =9.64×10-2 J 12.（2005全国理综3）（19分）如图所示，在倾角为θ的光滑斜
面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、
m B ，弹簧的劲度系数为k,C 为一固定挡板。

系统处一静止状态，现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

解析：令x 1表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知
1sin kx g m A =θ ①
令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量， a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：
k x 2=m B gsin θ ②
F －m A gsin θ－k x 2=m A a ③
由②③式可得A
B A m g m m F a θsin )(+-= ④ 由题意 d=x 1+x 2 ⑤
由①②⑤式可得k
g m m d B A θsin )(+= ⑥
A
B C θ
三、与能量相关的弹簧问题
13.(全国.1997)质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定
在地上.平衡时弹簧的压缩量为x 0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为
3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.
它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m 时，它们恰能回到O 点.
若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有
向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离.
分析：本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析，且在每一过程中
运用动量守恒定律，机械能守恒定律解决实际问题，本题的难点是对弹性势能的理解，并不要求写出弹性势能的具体表达式，可用Ep 表示，但要求理解弹性势能的大小与伸长有关，弹簧伸长为零时，弹性势能为零，弹簧的伸长不变时，弹性势能不变．答案：02
1x 14.如图所示，A 、B 、C 三物块质量均为m ，置于光滑水平台面上.B 、C 间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块A 以初速度v 0沿B 、C 连线方向向B 运动，相碰后，A 与B 、C 粘合在一起，然后连接B 、
C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分
离，脱离弹簧后C 的速度为v 0.
（1）求弹簧所释放的势能ΔE .
（2）若更换B 、C 间的弹簧，当物块A 以初速v 向B 运动，
物块C 在脱离弹簧后的速度为2v 0，则弹簧所释放的势能ΔE ′是多少?
（3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C 在脱离弹簧后的速度仍为 2v 0，A 的初速度v 应为多大?
解析：（1）因开始B 、C 间夹有“不能再压缩”的弹簧，因而在受到外界冲击时应看作一个整体，所以A 与B 相碰后的瞬间三者的速度相同，设相碰后三者的共同速度为v '，由动量守恒定律：v m m mv '+=)2(0，得03
1v v =' 以后绳断，弹簧伸展，弹性势能从开始的最大值开始释放，转化为系统的动能，弹簧恢复到原长时，弹簧不再对C 有弹力，从而使C 与A 、B 分离。

由题意，此时C 的速度为0v ，设此时A 、B 的共同速度为1v ，由动量守恒定律得：
0123mv mv v m +='，解得01=v
由系统的能量守恒（或系统的机械能守恒）得：
02
1321202+=∆+'⨯mv E v m ，解得2031mv E =∆ （2）按照（1）的分析方法，有v m m mv '+=)2(，得v v 3
1=' 01223v m mv v m ⨯+='，得012
v v v -= 20212)2(2
1221321v m mv E v m +⨯='∆+'⨯ 解得20)6(121v v m E -='∆
（3）根据题意，E E '∆=∆，即20203
1)6(121mv v v m =-，解得04v v =和，由于弹簧伸展过程中，C 受到向右方向的弹力，速度必定增大，即必定有02v v <'，将04v v =带入到
v v 31='，得00234v v v <='，符合题意，是其解。

将带入到v v 31='，得0023
8v v v >='，与实际不符，故该解应该舍去。

所以，这一问的答案为04v v =。

注意： A 与B 相碰有机械能损失，只有碰撞结束后，A 、B 、C 及弹簧组成的系统机械能守恒。

15.（2000年全国高考）两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。

在它们左边有一垂直轨道的固定档板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度0v 射向B 球，如图所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D 。

在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。

然后，A 球与档板P
发生碰撞，碰后A 、D 静止不动，A 与P 接触而不粘连。

过一段时间，突然
解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A 、B 、C 三球的质量
均为m 。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度。

（2）求在A 球离开档板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：
（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为v1，由动量守恒得102mv mv =
当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为v 2，由动量守恒得2132mv mv = 解得A 的速度为023
1v v = （2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep ，由能量守恒得
P E v m v m +=2221)3(2
1)2(21 撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成D 的动能，设D 的速度为v 3，则有 23)2(2
1v m E P = 以后弹簧伸长，A 球离开档板P ，并获得速度，当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长。

设此时的速度为v 4，由动量守恒得4332mv mv =
当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为Ep ′，由能量守恒，得
P E v m v m '+=2423)3(2
1)2(21 联立解得2036
1mv E P =' 注意：C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D 这个过程有机械能损失。

16.某宇航员在太空站内做丁如下实验：选取两个质量分别为m A =0.1kg 、m B =0.20kg 的小球。