高中数学 1.1.2四种命题和四种命题间的相互关系练习 新人教A版高二选修2-1数学试题

1．1.2 四种命题和四种命题间的相互关系
基础梳理
1．原命题与逆命题．
想一想：“若x＞y，则x2＞y2”的逆命题是__________________．
2．原命题与否命题．
想一想：“若x＞y，则x2＞y2”的否命题是________________________．3．原命题与逆否命题．
想一想：“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题是________________________．4．四种命题之间的关系：
5．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．
想一想：命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它的逆否命题：
“______________________”也是真命题；否命题“________________”是假命题，逆命题
“________________________________________________________________________”也是假命题．
基础梳理
1．(1)条件结论(2)“若q，则p”
想一想：若x2＞y2，则x＞y
2．(1)否定(2)“若綈p，则綈q”
想一想：若x≤y，则x2≤y2
3．(1)否定互换(2)“若綈q，则綈p”
想一想：若x2≤y2，则x≤y
5．相同的没有关系
想一想：若sin x≠sin y，则x≠y若x≠y，则sin x≠sin y若sin x＝sin y，则x ＝y
自测自评
1．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
自测自评
1．解析：由a＞－3⇒a＞－6，但由a＞－6D⇒/a＞－3，故真命题是原命题及原命题的逆否命题，故选B.
答案：B
2．B
3．解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题．
(2)是假命题．原命题(如取x＝1，y＝0)是假命题，所以其逆否命题是假命题．
(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，显然是假命题．
(4)是假命题．该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．
答案：B
基础巩固
1．下列命题中，正确的个数是( )
①“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的逆命题；③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
1．C
2．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A⊇B
B．若A∩B≠A，则A⃘B
C．若A⃘B，则A∩B≠A
D．若A⊇B，则A∩B≠A
2．解析：先明确条件和结论，再根据要求进行转换．
答案：C
3．(2014·某某高二检测)命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的等价命题是( ) A．如果x＜a2＋b2，那么x＜2ab
B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2
C．如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2
D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab
3．解析：等价命题即为原命题的逆否命题，故选C.
答案：C
4．命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的等价命题是____________________．
4．解析：原命题与逆否命题是等价命题，所以，命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的等价命题是“若sin α≠sin β，则α≠β”．
答案：若sin α≠sin β，则α≠β
能力提升
5．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是( )
A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
5．解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案：A
6．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
6．解析：原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b＜2”，是真命题，故原命题为真；原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，如a＝3，b＝－2，满足条件，可是结论不成立．答案：A
7．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为________________________________________________________________________．7．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角．
8．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根”的逆否命题；
②若f(x)＝cos x，则f(x)为周期函数；
③“若A ＝B ，则sin A ＝sin B ”的逆命题；
④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是________．
8．解析：对于①，因为Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以原命题为真．所以①是真命题． 显然②是真命题．
③的逆命题：“若sin A ＝sin B ，则A ＝B ”是假命题．
④的否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题．
答案：①②④
9．已知命题P ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0没有实根”．
(1)写出命题P 的否命题；
(2)判断命题P 的否命题的真假，并证明你的结论．
9．解析：(1)命题P 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．”
(2)命题P 的否命题是真命题．证明如下：
因为ac <0，
所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．
所以该命题是真命题．
10．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，某某数m 的取值X 围．
10．解析：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.
设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2
－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 2，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 2＋x 2≥0，x 2x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0
⇒m ≥32， 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪
⎪⎪m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．。