河北省唐山一中高三数学强化综合训练试题(一)理

唐山一中2012-2013学年第二学期高三强化训练卷
高三理科数学（一）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．若复数)(13R x i
i
x z ∈-+=是实数，则x 的值为（ ）
A.3-
B.3
C.0
D.3 2. 已知集合M={x|-4<x-1≤4},N={x|2
x <25},则(R C M)∩N=( )
(A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5} (C) {x|-5<x ≤-3} (D) {x|-5<x<-3} 3. 若1sin(),(,0)22
π
παα+=
∈-，则tan2α等于（ ）
Ａ． 1
2
-
Ｂ． Ｃ．Ｄ． 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 12 D. 16
5. 三棱锥A-BCD 的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2，AC=1，则A,B 两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ）
A B 2C 4
D 6.已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于
x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ）
A ．45[,)33
B ．2112(,][,)3333
--⋃
C ． 12
[,)33
⋃45(,]33 D ．随a 的值而变化
7. 三棱锥P ABC -中，1PA PB PC AC ====，ABC ∆是等腰直角三角形，
90ABC ∠=.若E 为PC 中点，则BE 与平面PAC 所成的角的大小等于( )
A. 30
B.45
C.60
D.90
8. 在ABC ∆中，若,2,3
==
∠b A π
33=ABC S ∆，则
c
B A c
b a sin sin sin ++++的值为( )
A. 74
B.
3
574 C. 3394 D. 321
4
9． 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧
视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分， 则这个几何体的表面积为( )．
A ．3π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
10．已知点G 是ABC ∆的重心，AC AB AG μλ+=,）、（R ∈μλ若0
120=∠A ，
2-=⋅AC AB ，则AG 的最小值是（ ）
A ．
33 B ．22 C ．32 D ．4
3
11、在实数集R 上随机取一个数x ，事件A =“sinx ≥0, x ∈[0，2π]”，事件B =“sin 3cos 1x x +≤”，则P （B ︱A ）=（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
12.定义方程f )(x = f '
)(x 的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数g )(x =x ，
h )(x =ln （x+1），φ)(x =13
-x 的“新驻点”分别为α，β，η，则的大小关系为 ( ) (A) α>β>η (B) β> α>η (C) η >α>β (D)β>η>α 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 ．
注：将i<=2010改为i<=2012
14．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量
为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60) 元的同学有30人，则n 的值为________．
15．已知双曲线过点(4，473)，渐近线方程为y ＝±4
3x ，圆C 经过双曲线的一个顶点和
一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是 . 16．已知在区间(a ，b)上，f(x)＞0，f′(x)＞0，对x 轴上的任意两点(x 1,0)，(x 2,0)，(a ＜x 1＜x 2＜b)都有f(x 1＋x 22)＞f(x 1)＋f(x 2)2.若S 1＝⎠
⎛a
b f(x)dx ，S 2＝f(a)＋f(b)
2(b －a)，
S 3＝f(a)(b －a)，则S 1、S 2、S 3的大小关系为__________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足：11a =，*11
(14124)()16
n n n a a a n +=+++∈N 。

（1）求23a a ，；
（2）令124n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式；
18、（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AE DB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为64
. （1）在线段DC 上是否存在一点F ，使得EF DBC ⊥面， 若存在，求线段DF 的长度，若不存在，说明理由；
第13题图
（2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.
19．（本题满分12分）因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进
出口的方案，每种方案都需要分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1．0倍、0．9倍、0．8倍的概率分别为0．3、0．3、0．4；第二年可以使出口额为第一年的1．25倍、1．0倍的概率分别是0．5、0．5．若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1．2倍、l ．0倍、0．8倍的概率分别为0．2、0．3、0．5；第二年可以使出口额为第一年的1．2倍、1．0倍的概率分别是0．4、0．6．实施每种方案第一年与第二年相互独立．令ζi （i =1，2）表示方案i 实施两年后出口额达到危机前的倍数。

（Ⅰ）写出1ξ、2ξ的分布列；
（Ⅱ）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大?
（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，
预计利润分别为10万元、15万元、20万元，问实施哪种方案的平均利润更大。

20．（本小题满分12分）
已知抛物线C 1:y 2
=4x 的焦点与椭圆C 2:192
2=+b
y x 的右焦点F 2重合，F 1是椭圆的左焦点； （Ⅰ）在∆ABC 中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C 在抛物线y 2
=4x 上运动，求∆ABC 重心G
的轨迹方程；
（Ⅱ）若P 是抛物线C 1与椭圆C 2的一个公共点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β,求cos αβcos ⋅的值及∆PF 1F 2的面积。

21. (本小题满分12分)
A ﹑
B ﹑
C 是直线l 上的三点，向量OA ﹑OB ﹑OC 满足：
OA -[y+2)1(f ']·OB +ln(x+1)·OC =0 ；
（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x ＞0, 证明f(x)＞2
2+x x
； （Ⅲ）当
32)(2
1222
--+≤bm m x f x 时,x ∈[]1,1-及b ∈[]1,1-都恒成立，求实数m 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，M, N 是圆上两点，直线MN 交AD 的延长线于点C ，交⊙O 的切线于B ，BM ＝MN ＝NC ＝1，求AB 的长和⊙O 的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθ
sin 3cos 2y x （θ为参数），
定点)3,0(-A ，21,F F 是圆锥曲线C 的左，右焦点．
（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线
2AF 的直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）在（I ）的条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于F E ,两点，求弦EF 的长． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数212)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集； （Ⅱ）若R x ∈∀，t t x f 2
11
)(2
-≥恒成立，求实数t 的取值范围．
高三理科数学强化卷（1）答案
一、选择题：ACBCC CBDBC CC 二、13.2 14.100 15.3
16
16. S 1＞S 2＞S 3 17．解析：
（Ⅰ）215
(141168
a =+⨯+=，31515(1416832a =+⨯+= ……4分
（Ⅱ）由124n n b a =+得：21
24
n n b a -=；……………………………………6分
代入11
(14124)16n n n a a a +=+++
得：222211111(14)4(3)241624
n n n n n b b b b b ++--=+⨯+⇒=+， ∴123n n b b +=+
……………8分
∴12(3)3n n b b +-=-，故{3}n b -是首项为2，公比为
1
2
的等比数列 ∴1211
32()()322
n n n n b b ---=⨯⇒=+ ………………………………12分
18．解：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，
又DB ABC ⊥平面，可得DB CG ⊥,所以ABDE CG 面⊥， 所以
6
sin 4
CG CDG CD ∠=
=，CG=
3
,故CD=
22
222DB CD CB =-= ………………………………
……………2分
取CD 的中点为F ，BC 的中点为H,因为1
//2
FH BD =
，
1
//2
AE BD =，所以AEFH 为平行四边形，得
//EF AH ，………………………………4分
AH BC AH AH BD ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
平面BCD ∴
EF DBC ⊥面
存在F 为CD 中点，DF=2时，使得EF DBC ⊥面……6分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(1,3,0)C 、(0,0,0)B 、
(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而BE =(2,0,1)， EC =(1,3,1)--，(2,0,1)DE =-。

设1(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量， 则
1120
30
n BE x z n EC x y z ⎧⋅=+=⎪⇒⎨
⋅=-+-=⎪⎩可以取
13
(1,,2)3
n =-
- ……………………8分 设2(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，
则112030
n DE x z n EC x y z ⎧⋅=-=⎪⇒⎨⋅=-+-=⎪⎩取2(1,3,2)n = 10分
因此，1246
cos 486
3
n n -<⋅>=
=-，…………11分
故二面角D EC B --的余弦值为
6
4
……………12分 19．（Ⅰ）1ξ的所有取值为0．8，0．9，1．0，1．125，1．25，
其分布列为：
1ξ
0．8 0．9 1．0 1．125 1．25 P 0．2 0．15
0．35
0．15
0．15
……………………2分
2ξ的所有取值为0．8，0．96，1．0，1，2，1．44，其分布列为
2ξ 0．8 0．96 1．0 1．2 1．44 P
0．3
0．2
0．18
0．24
0．08
……………………4分
（Ⅱ）设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为1P ， 2P ，则
120.150.150.3,0.240.080.32P P =+==+=
∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大．……………………6分
（Ⅲ）方案一、方案二的预计利润为1η、2η，则
……………………8分
……………………10分
114.75E η∴=
214.1E η=
∴实施方案一的平均利润更大。

……………………12分
20．解：（Ⅰ）设重心G(x,y)，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+'=+-'=3303
04y y x x 整理得(*)3343⎩⎨⎧+='+='y y x x ………2分
将(*)式代入y 2
=4x 中，得(y+1)2
=)34
(34+x ∴
ABC ∆重心G 的轨迹方程为(y+1)2=)3
4(34+x .………4分 (Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y 2=4x 得F 2(1,0)，∴b 2
=8，椭圆方程为
18
922=+y x .………6分 设P(x 1,y 1)
由⎪⎩⎪⎨⎧==+121
2
1214189x
y y x 得0189212
1=-+x x ，∴x 1=23，x 1=-6(舍).∵x=-1是y 2=4x 的准线，
即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F 1。

设点P 到抛物线y 2
=4x 的准线的距离为PN ，则︱PF 2︱=︱PN ︱.
又︱PN ︱=x 1+1=25123=+,
∴27
2,25212=-==PF a PF PF .
………………………8分 过点P 作PP 1⊥x 轴，垂足为P 1，在Rt △PP 1F 1中，cos α=75
在Rt △PP 1F 2中，
cos(л-β)=51,cos β=51-,∴cos αcos β=71
-。

………………………………10分
∵x 1=23
,∴∣PP 1∣=6,
∴62
1
21212
1=⋅=∆P P F F S F PF .………………………12分 21.解I ）由三点共线知识，
∵0)]1ln()]1(2[=•++'+-OC x OB f y OA ,∴OC x OB f y OA •+-'+=)]1ln()]1(2[,∵
A ﹑
B ﹑
C 三点共线，
∴1)]1ln([)]1(2[=+-+'+x f y ∴)1(21)1ln()(f x x f y '-++==.
∴11)(+='x x f ∴21
)1(='f ，
∴f(x)=ln(x+1)………………4分
(Ⅱ)令g(x)=f(x)－22+x x ,
由22
)2)(1()(++='x x x x g ，
∵x>0∴0)(>'x g
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> 22+x x
;………8分
（III ）原不等式等价于32)(2
1222--≤-bm m x f x ,令 h(x)= )(2122x f x -=),1ln(212
2x x +-由,1)(23x x x x h +-='
当x ∈[-1,1]时,[h(x)]max =0, ∴m 2
-2bm-3≥0,令Q(b)= m 2
-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q （-1)
≥0解得m ≤-3或m ≥3. …………12分
22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
解析：∵AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线，∴∠BAC
＝90°，AB 2＝BM ·BN .
∵BM ＝MN ＝NC ＝1，∴2BM 2＝AB 2，∴AB ＝ 2.………4分
∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴2＋AC 2＝9，AC ＝7.
∵CN ·CM ＝CD ·CA ，∴2＝CD ·7，∴CD ＝27
7. ∴⊙O 的半径为12(CA －CD )＝514
7.………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数）， 所以普通方程为C ：13
42
2=+y x ----------------------------------------------2分 )1(3:,3)0,1(),0,1(),3,0(12+==∴--x y l k F F A
∴直线l 极坐标方程为：3)3sin(23cos 3sin =-
⇒+=πθρθρθρ---5
分 （2）⎩⎨⎧085)
1(313422
2=+⇒+==+x x x y y x ， 5
164)(1212212=
-++=x x x x k EF ---------------------------------------------------10分
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=2
,3221,1321,3)(x x x x x x x f ，
----------------------------------------------------------2分
当5,5,23,21-<∴-<>---
<x x x x 当21,1,213,22
1<<∴>>-<≤-x x x x 当2,1,23,2≥∴->>+≥x x x x
综上所述 {}51|-<>x x x 或 ．----------------------5分
（2）易得25)(min -
=x f ，若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立， 则只需5210511221125)(22min
≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f ， 综上所述
521≤≤t ．------------------------------10分。