高二数学上学期期末调研测试试题含解析试题

创作；朱本晓
2022年元月元日
宝安区2021-2021学年高二数学上学期期末调研测试试题〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题〕
1.空间四边形ABCD的四边相等，那么它的两对角线AC、BD的关系是
A. 垂直且相交
B. 相交但不一定垂直
C. 垂直但不相交
D. 不垂直也不相交
2.在等差数列中，，，那么201是该数列的第项．
A. 60
B. 61
C. 62
D. 63
3.方程和所表示的图形是
A. 前后两者都是一条直线和一个圆
B. 前后两者都是两点
C. 前者是一条直线和一个圆，后者是两点
D. 前者是两点，后者是一条直线和一个圆
4.直线关于直线对称的直线方程是
A. B. C. D.
5.数列中，，且数列是等差数列，那么等于
A. B. C. D.
6.经过点且在两轴上截距相等的直线是
A. B.
C. 或者
D. 或者
7.直线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
8.焦点在y轴上的椭圆的离心率为，那么m的值是
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.等差数列的首项为，且从第10项开场为比1大的项，那么公差d的取值范围是
A. B. C. D.
10.抛物线上的点A到焦点F间隔为4，假设在y轴上存点使得，那么该抛物线的方程为
A. B. C. D.
11.点在圆上，那么的最大值是
A. 1
B.
C.
D.
12.是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，那么数列前10项和为
A. 58
B. 56
C. 50
D. 45
二、填空题〔本大题一一共3小题〕
13.九章算术“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上
面4节的容积一共为3升，下面3节的容积一共4升，那么第5节的容积为______升．
14.设等差数列满足，，的前n项和的最大值为M，那么______．
15.，分别是椭圆的左、右焦点，假设直线l：上存在一点P，使得线段的垂直平分线过点，
那么该椭圆离心率的取值范围是______．
三、解答题〔本大题一一共7小题〕
16.设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值是______ ．
17.
18.
19.
20.
21.
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22.
23.
24.如下图，在长方体中，，，M是棱的中点．证明：平面平面
25.
26.
27.
28.
29.
30.过点作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
31.Ⅰ当面积最小时，求直线l的方程；
32.Ⅱ当取最小值时，求直线l的方程．
33.
34.
35.
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36.
37.
38.
39.
40.圆上一定点，为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
41.求线段AP中点的轨迹方程；
42.假设，求线段PQ中点的轨迹方程
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，点到椭圆的最远间隔是，求椭圆
的HY方程．
51.
52.
53.
54.
55.
56.
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57.
58.四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点．
59.Ⅰ证明：平面平面PCD；
60.Ⅱ求AC与PB所成的角余弦值；
61.Ⅲ求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．
62.点，点P为平面上的动点，过点P作直线l：的垂线，垂足为Q，且．
63.Ⅰ求动点P的轨迹C的方程；
64.Ⅱ设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满
足，求的取值范围．
65.
66.
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68.
69.
70.
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71.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考察两直线的位置关系的判断，是根底题．
取BD中点E，连结AE、CE，由条件推导出平面AEC，从而得到．【解答】
解：取BD中点E，连结AE、CE．
，，，且AE、CE为平面ACE内两条相交直线，
平面AEC．
又平面AEC，．
应选：C．
2.【答案】B
【解析】解：数列为等差数列
又，，
那么
当时
应选B
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由中等差数列中，，，我们易求出数列的公差，进而得到数列的通项公式，根据，构造关于n的方程，解方程即可得到答案．
此题考察的知识点是等差数列的通项公式，其中根据条件求出等差数列的通项公式，是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：方程，即或者，表示一条直线和一个圆；
方程，即并且，表示是两点和．
应选：C．
分别将方程化简，即可得到相应的图形．
此题考察曲线和方程，考察学生分析解决问题的才能，属于根底题．
4.【答案】A
【解析】解：因为直线的斜率为1，故有将其代入直线即得：，
整理即得．
应选：A．
利用当对称轴斜率为时，由对称轴方程分别解出x，y，代入直线的方程，
即得此直线关于对称轴对称的直线方程．
此题考察求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为时，
由对称轴方程分别解出x，y，代入直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．5.【答案】A
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【解析】解：根据题意，设，数列是等差数列，
那么，，
那么，
即；
解可得；
应选：A．
根据题意，设，结合题意计算可得、的值，由等差数列的性质计算可得的值，即可得，解可得的值，即可得答案．
此题考察等差数列的性质，关键是求出数列的通项公式．
6.【答案】D
【解析】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，
把代入所设的方程得：，那么所求直线的方程为；
当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，
把代入所求的方程得：，那么所求直线的方程为．
综上，所求直线的方程为：或者．
应选：D．
分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
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此题考察直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道根底题．
7.【答案】B
【解析】解：直线的斜率，
设直线的倾斜角为，
那么，
得．
应选：B．
由直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．
此题考察直线的倾斜角与斜率的关系，是根底的计算题．
8.【答案】D
【解析】解：焦点在y轴上的椭圆的方程为：，
，，
，
该椭圆的离心率，
，
解得．
应选：D．
将焦点在y轴上的椭圆的方程HY化：，可知，，利用及其离心率，即可求得m的值．
此题考察椭圆的简单性质，着重考察椭圆的离心率，属于中档题．
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9.【答案】D
【解析】【分析】
由题意可知，，把代入即可求得d的范围．属于一般题．
此题主要考察了等差数列的通项公式的应用．要纯熟记忆等差数列的通项公式．
【解答】
解：依题意可知，，
应选D．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可得：，，解得，取
，，，
解得经过检验满足条件．
该抛物线的方程为．
应选：A．
由题意可得：，，解得，取利用，即可得出．
此题考察了抛物线的定义HY方程及其性质、向量数量积运算性质，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：设上一点，
那么，
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应选：C．
设圆上一点，那么，利用三角函数求最值，得出结论．
考察圆的参数方程的应用，中档题．
12.【答案】A
【解析】解：是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，
，
，
，
，
数列前10项和为，
应选：A．
由是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，求出q，可得，再求数列前10项和．
此题考察等比数列的通项与求和，考察学生的计算才能，考察学生分析解决问题的才能，比拟根底．
13.【答案】
【解析】解：由题设知，
解得，
．
故答案为：．
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由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．
此题考察等差数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵敏运用．
14.【答案】2
【解析】解：设等差数列的公差为d，，，
，，．
，
令，
解得，
因此当时，的前n项和获得最大值，
．
故答案为：2．
利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：，，即可得出．
此题考察了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考察了计算才能，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，设，
由中点公式得的中点M坐标为，
由与垂直得，
化简得，
所以，
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即，得，或者舍去，
故
故答案为：
设，那么由中点公式可得线段的中点M的坐标，根据线段的斜率与的斜率之积等于，求出的解析式，再利用，得到，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．
此题考察线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．16.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
由中，我们易求出的表达式，进而得到为定值，利用倒序相加法，即可求出的值．
此题考察的知识点是函数的值，倒序相加法，其中根据条件计算出的表达式，进而得到为定值，是解答此题的关键．
17.【答案】证明：由长方体的性质可知平面，
又平面，．
又，M为的中点，
在中，，
同理，又，
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，从而
又，平面，
平面ABM，平面平面
【解析】由长方体的性质可知平面，推导出，，从而平面，由此能证明平面平面
此题考察面面垂直的证明，考察空间中线线、线面、面的位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
18.【答案】解：根据题意，设直线l的方程为，因为直线l过点，从而有
Ⅰ因为，
由根本不等式可得，即，当且仅当，即，等号成立，
此时的面积刚好获得最小值，此时直线l的方程为，即
Ⅱ因为
当且仅当，即，等号成立．
此时直线l的方程为，即．
【解析】直线l的方程为，因为直线l过点，从而有
对于Ⅰ，由根本不等式的性质可得，即，进而结合三角形面积公式计算可得答案；
对于Ⅱ，，结合根本不等式的性质分析可得答案．
此题考察直线的截距式方程，涉及根本不等式的性质以及应用，属于根底题．
19.【答案】解：设AP中点为，
由中点坐标公式可知，P点坐标为
点在圆上，．
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故线段AP中点的轨迹方程为．
设PQ的中点为，
在中，，
设O为坐标原点，那么，
所以，
所以．
故线段PQ中点的轨迹方程为．
【解析】设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到
，利用两点间隔公式求出动点的轨迹方程．
此题考察中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程．
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20.【答案】解：椭圆的中心是坐标原点，长
轴在x轴上，离心率，
设，，那么，，故，
设为椭圆上的点，
由
，
当，当时有最大值，由，得，不成立；
当，，当时有最大值，由，，，
故椭圆的HY方程为：．
【解析】根据题意求出，设为椭圆上的点，由，求出最大值时的a，b，代入即可．
考察椭圆的性质，求椭圆的HY方程，中档题．
21.【答案】因为，，，以A为坐标原点AD长为单位长度，
如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为
0，，2，，1，，0，，0，，1，
Ⅰ证明：因，，故，
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由题设知，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得面PAD．
又DC在面PCD上，故面面PCD．
Ⅱ解：因
，
Ⅲ设平面AMC、平面BMC的法向量分别为
，由，取；
，由，取
．
平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为．
【解析】以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为0，，2，，1，，0，，0，，1，
Ⅰ证明面PAD即可得面面PCD．
Ⅱ由
，得
Ⅲ求出平面AMC、平面BMC的法向量分别为，求出
即可得平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值
此题考察了空间位置关系，及利用空间向量求空间角的根本方法，属于中档题．
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22.【答案】解：Ⅰ设，那么，
因为，，
所以，
即，
整理得，所以点P的轨迹C的方程为；
Ⅱ根据题意知，设MA：，
联立，解得，所以点，
设AB：，
联立，消去x得，
设，，那么，
因为，所以，
那么，
所以，
设，那么，
令，对称轴为，所以y在上单调递增，
所以当时，y取最小值，即取最小值，
所以最小值为，
那么最小值为，
所以取值范围是．
【解析】Ⅰ设，那么，根据代入整理即可得P点的轨迹方程；
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Ⅱ表示出MA方程并与轨迹C联立，可得A的坐标，设出直线AB的方程并与C联立，利用根于系数关系表示出，并用换元思想及二次函数最值可求出范围．
此题考察动点轨迹方程，考察抛物线与直线形成线段的取值范围，利用根与系数关系，二次函数求最值等知识点是关键，属于中档题．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

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耕耘今天，收获明天。

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常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

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敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

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奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

创作；朱本晓
2022年元月元日
不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。

创作；朱本晓
2022年元月元日。