数学理卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测(答案详解)(2017

成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{0,1}A =，{(+2)(1)0,}B x x x x Z =-<∈，则A
B =（ ）
A ．{2,1,0,1}--
B ．{1,0,1}-
C ．{0,1}
D ．{0}
2．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（ ）
A ．5
B ．5
C ．25
D ．217
3．在等比数列{}n a 中，12a =，公比2q =．若1234()m a a a a a m N *
=∈，则m =（ ）
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
4．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201．则下列叙述不正确的是（ ）
A ．这12天中有6天空气质量为“优良”
B ．这12天中空气质量最好的是4月9日
C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90
D ．从4日到9日，空气质量越来越好
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，直线:22l y x =-．若直线l 平行于双曲线C
的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．4
6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的(1,2,
,15)i a i =分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）
A ．6
B ．7
C ． 8
D ．9
7．已知222{(,)}A x y x y π=+≤，B 是曲线sin y x =与x 轴围成的封闭区域．若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为（ ） A ．
2π B ．4
π
C ． 32π
D ．34π
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C ． 32 D ．32-
9．已知抛物线2
:(0)C y mx x =>的焦点为F ，点(0,3)A -．若射线FA 与抛物线C 相
交于点M ，与其准线相交于点D ，且:1:2FM MD =，则点M 的纵坐标为（ ）
A ．13-
B ．33-
C ． 2
3
- D ．233- 10．已知函数2
()2cos 22f x x =-．给出下列命题：①,()R f x ββ∃∈+为奇函数；②
3(0,
)4
π
α∃∈，()(2)f x f x α=+对x R ∈恒成立；
③12,x x R ∀∈，若12()()2f x f x -=，则12x x -的最小值为4π
；④12,x x R ∀∈，若12()()0f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈．其
中的真命题有（ ）
A ．①②
B ．③④
C ． ②③
D ．①④
11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．27π
B ．48π
C ． 64π
D ．81π
12．设等差数列{}n a 的前n 项和为11,13,0,15n m m m S S S S -+===-，其中m N *
∈且
2m ≥．则数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和的最大值为（ ）
A ．
24143 B ．1143 C ． 2413 D ．613
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6
(2)x x
-
的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 14．若变量,x y 满足约束条件03003x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤≤⎩
，则3z x y =-的最小值为 ．
15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 ．（用数字作答）
16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若23b =a c +的最大值．
18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =．M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE ．
（Ⅰ）求BM的长；
--的余弦值的大小．
（Ⅱ）求二面角A DM B
19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
年龄[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)受访人数 5 6 15 9 10 5
4 5 12 9 7 3
支持发展
共享单车
人数
⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22
前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持
不支持
合计
（Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．已知圆2
2
:(1)8C x y ++=，点(1,0),A P 是圆
C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点
Q ，当点P 在圆上运动时，点Q
的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，求MON ∆面积的最大值．
21．已知函数()11,a
f x nx a R x
=+-∈． （Ⅰ）若关于x 的不等式1
()12
f x x ≤-在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数()()f x g x x
=，若()g x 在2
[1,]e 上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值
的正负．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半
轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换1':2'x x
y y
ϕ⎧
=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，
若(,)M x y 为曲线'C 上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离． 23．已知(),f x x a a R =-∈．
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()256f x x +-≥的解集；
（Ⅱ）若函数()()3g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -⊆，求a 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:BABCB 6-10:DDADC 11、12：CD
二、填空题
13．-160 14．-3 15．5040 16．三、解答题
17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=． ∵180()C A B =-+，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=． 化简，得sin (2cos 1)0A B -=． ∵sin 0A ≠，∴1
cos 2
B =． ∵0B π<<，∴3
B π
=
．
（Ⅱ）由已知及余弦定理，得2
2
12a c ac +-=． 即2
()312a c ac +-=． ∵,0a c c >>，
∴2
2
()3(
)122
a c a c ++-≤，即2()48a c +≤．
∴a c +≤a c ==
∴a c +的最大值为
18．解：（Ⅰ）∵底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，
∴AC BD ⊥，且AC =2BD =． ∵四边形BDEF 是矩形，∴DE BD ⊥． ∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，
∴DE ⊥平面ABCD ，AC ⊥平面BDEF ． 记AC
BD O =．取EF 中点H ，则//OH DE ．
∴OH ⊥平面ABCD ．
如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OH 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．
由题意，得(1,0,0)B ，C ，(1,0,0)D -，(0,A ，(1,0,2)E -，(1,0,2)F ．
∴(0,AC =，(2)AE =-． ∵M 为线段BF 上一点，设(1,0,)(02)M t t ≤≤． ∴(2,0,)DM t =．
∵DM ⊥平面ACE ，∴DE AE ⊥． ∵2020DE AE t =-++=．解得1t =． ∴(1,0,1)M ． ∴1BM =．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知AC ⊥平面BDEF ． ∴AC ⊥平面DMB ．
(AD =-，(1,AM =．
设平面ADM 的法向量为(,,)n x y z =．
由
n AD
n AM
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，得
30
30
x y
x y z
⎧-+=
⎪
⎨
++=
⎪⎩
．
取1
y=，则(3,1,23)
n=-．
∵cos n
<，
231
4
||||423
n AC
AC
n AC
>===
⨯
，
∴二面角A DM B
--的余弦值为
1
4
．
19．解：（Ⅰ）根据所给数据得到如下22
⨯列联表：
年龄低于35岁年龄不低于35岁合计
支持30 10 40
不支持 5 5 10
合计35 15 50
根据22
⨯列联表中的数据，得到2
K的观测值为
2
50(305105)
(3010)(55)(305)(105)
k
⨯-⨯
=
++++
2.38 2.706
≈<．
∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．（Ⅱ）由题意，年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在[20,25)的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．
∴随机变量X的所有可能取值为2，3，4．
∵
11
45
22
56
2
(2)
15
C C
P X
C C
===，
1121
4545
22
56
7
(3)
15
C C C C
P X
C C
+
===，
6
(4)
15
P X==，
∴随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P2
15
7
15
6
15
∴随机变量X 的数学期望27649
()23415151515
E X =⨯
+⨯+⨯=
． 20．解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴||||AQ PQ =．
又||||||CP CQ QP =+=
||||||2CQ QA CA +=>=．
∴曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A
为焦点，长轴长为
设曲线E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．
∵1,c a ==
，∴2211b =-=．
∴曲线E 的方程为2
212
x y +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．
联立22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222
(12)4220k x kmx m +++-=．
此时有2
2
16880k m ∆=-+>． 由一元二次方程根与系数的关系，得
122
412km
x x k
-+=+，21222212m x x k -=+．
∴||MN =
=
∵原点O 到直线l
的距离d =
，
∴1
||2
MON S MN d ∆=
=． 由0∆>，得2
2
210k m -+>．又0m ≠，∴据基本不等式，得
2222(21)1222
MON
m k m S k ∆+-+≤=+．
当且仅当22
21
2
k m +=时，不等式取等号．
∴MON ∆面积的最大值为2
． 21．解：（Ⅰ）由1()12f x x ≤-，得1
1112
a nx x x +-≤-． 即2
112
a x nx x ≤-+
在[1,)+∞上恒成立． 设函数2
1()12
m x x nx x =-+，1x ≥．
则'()11m x nx x =-+-． 设()11n x nx x =-+-． 则1
'()1n x x
=-
+．易知当1x ≥时，'()0n x ≥． ∴()n x 在[1,)+∞上单调递增，且()(1)0n x n ≥=． 即'()'(1)0m x m ≥=对[1,)x ∈+∞恒成立． ∴()m x 在[1,)+∞上单调递增．
∴当[1,)x ∈+∞时，min 1()()(1)2
m x m x m >==． ∴12a ≤
，即a 的取值范围是1(,]2
-∞． （Ⅱ）211
()nx a g x x x x
=+=，2[1,]x e ∈．
∴22111'()nx g x x x -=+33
2212a x x nx a
x x
---=． 设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-． 由'()0h x =，得x e =．
当1x e ≤<时，'()0h x >；当2
e x e <≤时，'()0h x <． ∴()h x 在[1,)e 上单调递增，在2
(,]e e 上单调递减． 且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2()2h e a =-． 显然2
(1)()h h e >．
结合函数图象可知，若()g x 在2
[1,]e 上存在极值，
则()0(1)0h e h >⎧⎨
<⎩或2
(1)0
()0
h h e ≥⎧⎨<⎩． （ⅰ）当()0(1)0
h e h >⎧⎨<⎩，即12e
a <<时，
则必定212,[1,]x x e ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2
121x e x e <<<<．
当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：
∴当12
a <<时，()g x 在2
[1,]e 上的极值为12(),()g x g x ，且12()()g x g x <． ∵11211111()nx a g x x x x =
+-1112
11x nx x a
x -+=． 设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12
e
a <<
，1x e ≤<． ∵'()10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在(1,)e 上单调递增，()(1)10x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．
∵11x e <<，∴1()0g x >． ∴当12
e a <<
时，()g x 在2
[1,]e 上的极值21()()0g x g x >>． （ⅱ）当2
(1)0()0
h h e ≥⎧⎨
<⎩，即01a <≤时，
则必定2
3(1,)x e ∃∈，使得3()0h x =．
易知()g x 在3(1,)x 上单调递增，在2
3(,]x e 上单调递减．
此时，()g x 在2
[1,]e 上的极大值是3()g x ，且2
2
34
()()0a e g x g e e +>=>．
∴当01a <≤时，()g x 在2
[1,]e 上的极值为正数． 综上所述：当02
e a <<
时，()g x 在2
[1,]e 上存在极值，且极值都为正数． 注：也可由'()0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在2
[1,]e 上的极值问题．
22．解：
（Ⅰ）由22
x y t ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t
，得y x =+ 即直线l
的普通方程为0x y -+=． ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴2
2
2
4x y ρ+==．
即曲线C 的直角坐标方程为2
2
4x y +=．
（Ⅱ）由1'2'x x y y
⎧=⎪
⎨⎪=⎩，得2''x x y y =⎧⎨
=⎩． 代入方程2
2
4x y +=，得2
2
''14
y x +=． 已知(,)M x y 为曲线'C 上任意一点，故可设(cos ,2sin )M αα，其中α为参数． 则点M 到直线l 的距离
d
=
=
tan 2β=
∴点M 到直线l
= 23．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为|1||25|6x x -+-≥． 当1x ≤时，不等式可化为(1)(25)6x x ----≥，∴0x ≤； 当5
12
x <<
时，不等式可化为(1)(25)6x x ---≥，∴x ∈∅；
当5
2
x ≥
时，不等式可化为(1)(25)6x x -+-≥，∴4x ≥． 综上所述：原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或． （Ⅱ）∵||||3||x a x ---≤ |(3)||3|x a x a ---=-， ∴()|3||||3|[|3|,|3|]f x x x a x a a --=---∈--- ． ∴函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．
∵[1,2]A -⊆，∴|3|1
|3|2a a --≤-⎧⎨
-≥⎩
．
解得1a ≤或5a ≥．
∴a 的取值范围是(,1][5,)-∞+∞．。