迭代法和二分法

迭代法和二分法
非线性方程——就是因变量与自变量之间的关 系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方 关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等 等。求解此类方程往往很难得到精确解，经常 需要求近似解问题。
解决此问题的最主要的两种方法是——迭代法 和二分法。
1、定义
迭代法——逐次逼近的方法，在工程技术上也 叫做试算法。从隔根区间（a0，b0）中的任一 个初始近似值x0出发，按照某种格式构造一个 序列
假设有一个非线性方程f(x)=0，x在[a0, b0]区间 内，当f(x)在区间[a0, b0]上单调连续，且f(x)在 其 区 间 [a0, b0] 的 两 个 端 点 处 的 值 异 号 ， 即 f(a0)·f(b0)<0时，则方程在[a0, b0]程不收敛的可能性，这将无法求解；
如果f(x1)与f(a0)同号，则方0 程的根0 必在[x1, b0]区1 间，1 反之，f(x1)与2 f(a0)异2 号，则根在[a0, x1]区间。kk
判别条件——迭代函数的一阶导数在其定义区 间[a,b]内的绝对值小于1，迭代过程收敛，否 则，则发散。
加速迭代过程的3个因素：
（1）选择的迭代初值应尽量接近于方程的根；
（2）迭代函数一阶导数在迭代区间的绝对值 越小，收敛速度越快；
（3）所求解方程的原函数f(x)的泰勒展开式中 的二阶及二阶以上的高阶导数的值尽可能小， 以致可以略去不计时，收敛速度越快。
不仅克服了迭代法可能不收敛的缺欠，即在有根区间用二分法肯定收敛于极值，而且其收敛速度也很快。
x——迭代中存放第k+1次近似值，最终存放方程的跟（实型变量，输出参数）；
从隔根区间（a0，b0）中的任一个初始近似值x0出发，按照某种格式构造一个序列
若小区间两端点处的函数值f(a0)与f(b0)异号，则用二分法找出其中存在的一个根；
1 0 迭代法——逐次逼近的方法，在工程技术上也叫做试算法。
01
样的方法找出并确定新的有根区间[a , b ]，然 ep2——根的精度控制量ε2（实型变量，输入参数）；
1 时，认为xk+1是方程的跟。
判别条件——迭代函数的一阶导数在其定义区间[a,b]内的绝对值小于1，迭代过程收敛，否则，则发散。
1
基本思想——将方程有根区间[a , b ]分为两个 eps——根的精度控制量，即ε2（实型变量，输入参数）；
二分法——也称对分法，是另一种简单易行的求非线性方程数值解的方法。
00
小 区 间 （ 称 二 分 ） ， 取 a ， b 的 中 点 ep2——根的精度控制量ε2（实型变量，输入参数）；
x[n]——存放所求的根的一维实型数组（输出参数）； a0，b0——求根区间的下限与上限（实型变量，输入参数）；
2、求单根算法核心 x——迭代中存放第k+1次近似值，最终存放方程的跟（实型变量，输出参数）；
不仅克服了迭代法可能不收敛的缺欠，即在有根区间用二分法肯定收敛于极值，而且其收敛速度也很快。
如果从初值x0出发，按照迭代公式进行迭代计算的过程中，xk逐次接近于方程的跟，则称迭代公式是收敛的，否则是发散的。
后再将新的有根区间二分为两个小区间，如此 迭代法可行的必要条件是迭代过程必须收敛，收敛越快，则其收敛性越好。
另一种方法是把方程f(x)=0写成等价形式x=φ(x)，然后令xk+1=φ(xk) k=0,1,2，……
继续下去，就可得到一个有根区间套 通过这样的方法找出并确定新的有根区间[a1, b1]，然后再将新的有根区间二分为两个小区间，如此继续下去，就可得到一个有根区间
套
通过这样的方法找出并确定新的有根区间[a1, b1]，然后再将新的有根区间二分为两个小区间，如此继续下去，就可得到一个有根区间
套
a , b a , b a , b . . . . . . a , b . . . . . . x，y——分别存放近似根及其相应的函数值（实型变量，输出参数）；
x0，x1，x2，…… 使得这个序列的极限就是f(x)=0的跟x*，即
lki m xkx*,f(x*)0
另一种方法是把方程f(x)=0写成等价形式 x=φ(x)，然后令xk+1=φ(xk) k=0,1,2，……
2、算法核心
参数说明：
x0——开始存放初始值，迭代中存放第k次近 似值（实型变量，输入参数）；
迭代法缺点——一是存在迭代过程不收敛的可 能性，这将无法求解；二是存在收敛速度极缓 慢的问题，这将导致大大降低效率甚至难于计 算。
1、定义
二分法——也称对分法，是另一种简单易行的 求非线性方程数值解的方法。不仅克服了迭代 法可能不收敛的缺欠，即在有根区间用二分法 肯定收敛于极值，而且其收敛速度也很快。
0
0
x =(a +b )/2 ， 并 计 算 f(x ) 的 值 ； 如 果 f(x ) 与 ep2——根的精度控制量ε2（实型变量，输入参数）；
1 0 0 ep2——根的精度控制量ε2（实型变量，输入参数）；
1
1
f(a )同号，则方程的根必在[x , b ]区间，反之， k——实际求出的根的个数（整型变量，输出参数）；
0 1 0 迭代法缺点——一是存在迭代过程不收敛的可能性，这将无法求解；
假设有一个非线性方程f(x)=0，x在[a0, b0]区间内，当f(x)在区间[a0, b0]上单调连续，且f(x)在其区间[a0, b0]的两个端点处的值异号，
f(x )与f(a )异号，则根在[a , x ]区间。通过这 即f(a0)·f(b0)<0时，则方程在[a0, b0]区间内有根，且只有一个根x*。
x——迭代中存放第k+1次近似值，最终存放方 程的跟（实型变量，输出参数）；
eps——根的精度控制量（实型变量，输出参 数）。
xk1 xk 时，认为xk+1是方程的跟。
3、迭代法的收敛性
如果从初值x0出发，按照迭代公式进行迭代计 算的过程中，xk逐次接近于方程的跟，则称迭 代公式是收敛的，否则是发散的。迭代法可行 的必要条件是迭代过程必须收敛，收敛越快， 则其收敛性越好。