人教版高中数学《不等式07课时》教案

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第七课时
教材:不等式证明二(比较法、综合法)
目的:加强比商法的训练,以期达到熟练技巧,同时要求学生初步掌握用综合法
证明不等式。

过程:
一、比较法:
1.复习:比较法,依据、步骤
比商法,依据、步骤、适用题型 2.例一、证明:3
42
2+-=x x
y 在),2[+∞是增函数。

证:设2≤x 1<x 2, 则)4)((443
43
42121121
212222*********-+-+--+-+-===x x x x x x x x x x x x y y
∵x 2 - x 1 > 0, x 1 + x 2 - 4 > 0 ∴1202
1
=>y y 又∵y 1 > 0, ∴y 1 > y 2 ∴3
42
2+-=x x
y 在),2[+∞是增函数
二、综合法:
定义:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法。

例二、 已知a , b , c 是不全相等的正数,
求证:a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc
证:∵b 2 + c 2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a (b 2 + c 2) ≥ 2abc 同理:b (c 2 + a 2) ≥ 2abc , c (a 2 + b 2) ≥ 2abc ∴a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) ≥ 6abc
当且仅当b =c ,c =a ,a =b 时取等号,而a , b , c 是不全相等的正数 ∴a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc
例三、 设a , b , c ∈ R ,
1︒求证:)(2
2
22b a b a +≥
+ 2︒求证:)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ 3︒若a + b = 1, 求证:22
1
21≤+++
b a 证:1︒∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2
|2|222b
a b a b a +≥+≥+ ∴)(2
2
22b a b a +≥
+ 2︒同理:)(2222c b c b +≥
+, )(2
222a c a c +≥+ 三式相加:)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ 3︒由幂平均不等式:
12
2
2
)
1(2
)
21
()21()2
1
21(21==++=+++≤+++b a b a b a ∴22
1
21≤+++
b a 例四、 a , b ,
c ∈R , 求证:1︒9)1
11)((≥++++c
b a
c b a
2︒2
9
)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 3︒
2
3≥+++++b a c a c b c b a 证:1︒法一:33abc c b a ≥++,
313111abc
c b a ≥++, 两式相乘即得。

法二:左边)()()(3c
b
b c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++=
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2︒∵3
))()((2
3222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++
3
)
)()((1
3111a c c b b a a c c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得 3︒由上题:2
9
)111)(
(≥+++++++a c c b b a c b a ∴29
111≥++++++++a c b c b a b a c
即:
2
3
≥+++++b a c a c b c b a 三、小结:综合法
四、作业: P15—16 练习 1,2 P18 习题6.3 1,2,3
补充:
1.已知a , b ∈R +
且a ≠ b ,求证:21
212
12212)()(b a a
b b a +>+(取差)
2.设α∈R ,x , y ∈R ,求证:y x y x +<⋅α
α
2
2
cos
sin
(取商)
3.已知a , b ∈R +
,求证:2
)2(3
33b a b a +≤+ 证:∵a , b ∈R + ∴0)(2≥-b a ∴ab b ab a ≥+-22
∴)())((2233b a ab b ab a b a b a +≥+-+=+ ∴)(3)(333b a ab b a +≥+
∴33333)()(3)(4b a b b a ab a b a +=+++≥+
∴2
)2(3
33b a b a +≤+ 4.设a >0, b >0,且a + b = 1,求证:2
25
)1()1(22≥+++b b a a
证:∵212=+≤
b a ab ∴41≤ab ∴41
≥ab
∴2
2
22211122112)1()1(⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++≥+++b a b b a a b b a a 2252412211221222
2
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ab ab b a。

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