2019届高三二轮复习：圆周运动题型归纳

2019届高三二轮复习圆周运动题型归纳
类型一、传动装置中各物理量之间的关系
例1、如图所示的皮带传动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，R A ：R C =1：2， R A ：R B =2：3。

假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是__________；线速度之比是_________； 向心加速度之比是_________。

【答案】3:2:3 1:1:2 3:2:6
【解析】A 、C 角速度相等，写着1: ：1， A 、B 线速度相等，v r ω=，可知角速度与
半径成反比，::3:2A B B A R R ωω==, 代入上面的空格，即得三点的角速度之比是3:2:3。

求线速度之比，写着1:1： ，就是要求A 、C 的线速度之比，而A 、C 的角速度相等，同理，由v r ω=可知线速度与半径成正比，即:1:2A C v v =,所以，线速度之比是1:1:2。

求向心加速度之比，a v ω=（2
a r r v ωωωω==⋅=⋅）将已求出的角速度之比、线速度之
比代入，可知向心加速度之比3:2:6。

【总结升华】这类问题必须首先抓住是线速度相等还是角速度相等，再根据公式按比例计算。

举一反三
【变式】如图中，A 、B 为啮合传动的两齿轮，2A B R R =，则A 、B 两轮边缘上两点的（ ） A ．角速度之比为2:1 B ．周期之比为1:2 C ．向心加速度之比为1:2 D ．转速之比为2:1
【答案】C
【解析】本题是齿轮传动问题，A 、B 两轮边缘上两点线速度相等 由公式v r ω=有：:1:2A B B A R R ωω==：，A 项错；由公式2r
v T
π=
有 ::2:1A B A B T T R R ==，B 项错；由公式2
v a r
=有：::1:2A B B A a a R R ==，
C 项正确；由公式2v rn π=有：::1:2A B B A n n R R ==，
D 项错。

类型二、向心力来源分析
向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种性质力，而是根据力的效果命名的。

在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力等）以外再添加一个向心力。

向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受到的几个力的合力或某一个力的分力。

例2、圆锥摆如图所示，小球质量为m ，绳长为l ，一端固定在天花板上，绳与竖直方向成θ角，求小球在水平面内转动的周期。

【答案】2T = 【解析】 作出力的平行四边形，拉力与重力的合力F 提供向心力
t a n
F
mg
θ= 即 tan F mg θ=
（也可以这样分析：轻绳竖直方向的分力与重力平衡，轻绳水平方向的分力提供向心力。

cos T mg θ= s i n T m a F θ== 解得 tan F mg θ=） 所需要的向心力为 2
2m r T π⎛⎫ ⎪⎝⎭
s i n
r l θ=（r 为做圆周运动的半径） 提供的向心力=所需要的向心力2
24tan sin mg m l T
πθθ=
解得2T =
【总结升华】只有当物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体所受所有力的合力。

当物体做变速圆周运动时不能认为向心力一定是物体所受外力的合力。

要分析清楚提供的向心力、所需要的向心力，再将未知量用已知量表示出来。

举一反三
【变式1】杂技演员在表演“水流星”的节目时（如图），盛水的杯子经过最高点杯口向下时，水也不洒出来．对于杯子经过最高点时水的受力情况，下面说法正确的是（ ） A ．水处于失重状态，不受重力的作用 B ．水受平衡力的作用，合力为零
C ．由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用
D ．杯底对水的作用力可能为零
【答案】D
【解析】当杯子在最高点时，有向下的加速度，因此处于失重状态，但仍受重力作用，故A 错。

又因圆周运动是曲线运动，其合外力必不为零。

因此杯子不可能处于平衡状态，故B 项错误。

由于向心力并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力等之外的另一种力。

因此杯子不能同时受重力和向心力两个力作用，而是重力是向心力的一部分，还有可能受杯底对水的作用力，故C 错、D 正确。

【变式2】如图，物体随圆盘转动，设物体质量为m ，所在位置距圆盘中心为r 处，物体与圆盘动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

要使物体相对圆盘不滑动，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？
【答案】ω≤
【解析】静摩擦力提供向心力，2=f m r mg ωμ≤静 解得 ω≤。

【变式3】如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是( )
A ．b 一定比a 先开始滑动
B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等
C ．ω＝
kg
2l
是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝
2kg
3l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
【解析】a 与b 所受的最大摩擦力相等，而b 需要的向心力较大，所以b 先滑动，A 项正确；在未滑动之前，a 、b 各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b 受到的摩擦力大于a
受到的摩擦力，B 项错误；b 处于临界状态时kmg ＝mω2·2l ，解得ω=
，C 项正确；
ω=
a 的临界角速度，a 所受摩擦力没有达到最大值 ，D 项错误． 例3、如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做
匀速圆周运动，若男运动员的转速为30转/分，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7m/s 。

g 取10m/s 2。

求：
（1）女运动员做圆周运动的角速度及触地冰鞋做圆周运动的半径；
（2）若男运动员手臂与竖直夹角600，女运动员质量50kg ，则男运动员手臂拉力是多大？
【答案】（1）π /rad s （2）850F
N
【解析】（1）女运动员做圆周运动的角速度等于男的角速度，
30230/min /60
r rad s π
ωπ⋅==
= /rad s 已知女的线速度 4.7/v m s = 根据 v r ω=
做圆周运动的半径 4.7
1.53.14
v
r m m ω=
=
=
（2）如图 60θ=，女的质量50m kg = ，
女的作圆周运动的向心力是重力与拉力的合力 sin F F θ=向 2
s i n =F F m r
θω
=向 则男运动员手臂拉力 22850
sin 60m r F N ω=
=
【总结升华】解题的关键是分析清楚提供的向心力、需要的向心力，列出方程。

求出的拉力数值是将女运动员的质量全部集中圆周上的拉力，实际拉力要小一点。

举一反三
【变式】甲、乙两名溜冰运动员,面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演,如图所示。

已知
=80m kg 甲,=40m kg 乙,两人相距0.9 m,弹簧秤的示数为96 N,下列判断正确的是 ( )
A.两人的线速相同，约为40 m/s
B.两人的角速相同，约为2 rad/s
C.两人的运动半径相同，都是0.45 m
D.两人的运动半径不同，甲为0.3 m,乙为0.6 m
【答案】 BD
【解析】两人运动时相互作用的拉力为向心力，因此拉力总通过圆心，使两人具有相同的角
速度， 22
=m r m r ωω乙乙甲甲 即 =m r m r ωω乙乙甲甲 =m v m
v 乙乙甲甲，线速度不同，轨道半径
由 2
96m r ω=乙乙 求得 =2/rad s ω。

故选BD 。

类型三、圆周运动的连接体问题
例4、如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球p 和q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，m p ＝2m q ，当整个装置绕中心轴以角速
度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时( )
A
．两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用
B ．p 球受到的向心力大于q
球受到的向心力
C ．ｒp 一定等于
2
q r
D ．当ω增大时，p 球将向外运动
【答案】C
【解析】向心力不是单独的一个力，A 错。

由于两球离转轴的距离保持不变，而且球p 和q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，所以绳子的拉力提供了两个小球的向心力，可知两个小
球的向心力大小相等，B 错。

由向心力公式2=F m r ω向，22p p q q m r m r
ωω=，得到p p q q m r m r = 即
1
2
p q q
p
r m r m =
=
，所以C 对。

p p q q m r m r =说明了两球的质量与运动半径的乘积始终相等， 与角速度的大小无关，D 错。

故正确选项为C 。

【总结升华】本题解题的关键是分析得出绳子的拉力提供了两个小球的向心力，拉力相等，向心力相等，列出方程。

举一反三
【变式】如图所示，两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整
个装置能绕过CD 中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD 对物块A 、B 的最大静 摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A 到OO'轴的 距离为物块B 到OO'轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳 子处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．
B 受到的静摩擦力一直增大 B ．B 受到的静摩擦力是先增大后减小
C ．A 受到的静摩擦力是先增大后减小
D ．A 受到的合外力一直在增大
【答案】D
【解析】在转动过程中，两物体都需要向心力，开始时是静摩擦力提供向心力，当静摩擦力不足以提供向心力时，绳子的拉力就会来做补充，速度再快，当这2个力的合力都不足以提
供向心力时，物体将会发生相对滑动。

根据向心力公式，2=v F m R
向，在发生相对滑动前物
体的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体的合力，D 对。

由于A 的半径比B 大。

根据向心力2
=F m r 向可知 A 、B 的角速度相同，所以A 所需向心力比B 大，因为两物体的最大静摩擦力一样，所以A 物体的静摩擦力会先不足以提供向心力而使绳子产生拉力，之后随着速度的增大，静摩擦力已经最大不变了，绳子拉力不断增大来提供向心力，所以A 所受静摩擦力是先增大后不变的，C 错。

再看B ，因为是A 先使绳子产生拉力的，所以当绳子刚好产生拉力时B 受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力，此后B 的向心力一部分将会由绳子拉力来提供，静摩擦力会减小，而在产生拉力前B 的静摩擦力是一直增大的，B 对A 错。

故选D 。

类型四、圆周运动的临界问题
例5、（1）长为l 的轻绳拉着小球在竖直面内转动，要使小球能做完整的圆周运动，那
么小球最高点的速度必须满足的条件是什么？若在最高点时小球对绳的拉力等于重力的一 半，则小球的速度是多少？
（2）长为l 的轻杆拉着小球在竖直面内转动，要使小球能做完整的圆周运动，那么小球最 高点的速度必须满足的条件是什么？若在最高点时小球对杆的弹力等于重力的一半，则小球 的速度是多少？
【答案】（1）v ≥
= v '=
（2）0v > 当支持力方向向下时，
v =
v '=【解析】（1）“使小球能做完整的圆周运动”意思是速度小于某一值，小球就不能通过最高
点，即临界速度，向心力完全由重力提供，2
v mg m R ≤,解得v =
当 1
2
T mg =时，根据牛顿第二定律 212v mg mg m l '+=， 解得 v '=
（2）轻杆与轻绳是有区别的，杆对小球有支撑作用，
2
v mg N m R
-= ，可以看出只要0v >即可。

当1
2
N mg =时，设方向向下， 2v mg N m l += 解得v = （支持力与重力方向相同时，提供的向心力较大，因此速度较大）
当支持力方向向上时 2
v mg N m l
'-= 解得v '=（支持力与重力方向相反时，提供的向心力较小，因此速度较小）
【总结升华】要准确理解临界条件的物理意义，轻绳拉小球作圆周运动，到最高点的最小速
度是
v =，把这种情况叫做“绳球模型”。

轻杆：到最高点的最小速度是零（类似的圆管道内，小球穿在环上），叫做“杆球模型”。

举一反三
【变式】有一轻质杆，长l =0.5m ，一端固定一质量m=0.5kg 的小球，轻杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。

（1）当小球运动到最高点的速度大小为4m/s 时，求小球对杆的作用力；（2）当小球运动到最低点时，球受杆的拉力为41N ，求此时小球的速度大小。

【答案】（1）11.1F N =，方向向上。

（2）6/v m s '=
【解析】做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，合外力指向圆心；轻杆上的小球在竖直面内做的是非匀速圆周运动。

其合外力并不总指向圆心，只有在运动到最高点或最低点时，合外力才指向圆心，提供向心力。

（1）当小球运动到最高点时，小球受重力mg ，和杆对球的作用力F （设为拉力），合力作向心力。

根据牛顿第二定律 2
v mg F m l
+=
2
11.1v F m mg N l
=-= 0F >说明所设拉力是正确的，即小球受到杆的拉力。

根
据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为11.1N ，方向向上。

（2）当小球运动到最低点时，小球受到重力mg 、杆对小球的拉力F 指向圆心，合力提供
向心力。

根据牛顿第二定律 2
v F mg m l
''-= 41F N '=
6/v m s '==
【总结升华】这是典型的“杆球模型”。

杆或管对物体能产生拉力，也能产生支持力。

当物体通
过最高点时有2
N v F mg m r
+=，因为N F 可为正（拉力），也可以为负（支持力），还可
以为零，故物体通过最高点的速度可为任意值。

有以下四种情况： （1）0v =时，N F mg =-，负号表示支持力。

（2）v =0N F =，杆对物体无作用力
（3）0v <<
0N F <，杆对物体为支持力
（4）v >0N F >，杆对物体产生拉力
类型五、圆周运动的综合应用
例6、如图，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，小车AB 段是半径为R 的四分之一圆弧光滑轨道，BC 段是长为L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点，一质量为m 的滑块在小车上从A 点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g 。

（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
（2）若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，然后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车，已知滑块质量2
M m =,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，求：①滑块运动过程中，小车的最大速度v m ；②滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s 。

【答案】（1）3mg （2）①m v =② s=L /3 【解析】（1）由图知，滑块运动到B 点时对小车的压力最大
从A 到B ，根据动能定理：2102
B mgR mv =- 在B 点：2B N v F mg m R
-= 联立解得： F N =3mg ，根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为3mg
（2）①若不固定小车， 滑块到达B 点时，小车的速度最大
根据动量守恒可得：m mv Mv '=
从A 到B ，根据能量守恒：221122
m mgR mv Mv ='+
联立解得：m v =②设滑块到C 处时小车的速度为v ，则滑块的速度为2v ，根据能量守恒：
2211(2)22
mgR m v Mv mgL μ=++
解得：v =
小车的加速度：12
mg a g M μμ=
= 根据v m 2–v 2=2as
解得：s=L /3
举一反三 【变式】某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。

若将人和座椅看成是一个质点，则可简化为如图所示的物理模型。

其中P 为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO '转动，设绳长l =10 m ，质点的质量m= 60kg ，转盘静止时质点与转轴之间的距离d =4m 。

转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖
直方向的夹角37θ=。

（不计空气阻力及绳重，绳子不可伸长，
sin 370.6=，cos370.8=，
210/g m s =）求：
（1）质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及
绳子的拉力；
（2）质点从静止到做匀速圆周运动的过程中，绳子对质
点做的功。

【答案】（1）/s ω=
（2）3450W J = 【解析】（1）如图所示，对质点受力分析可得
2t a n
m g m D θω= 绳中的拉力750cos mg T N θ
== 根据几何关系可得 sin D d l θ=+
代入数据得 /2r a d s ω=
（2）转盘从静止启动到转速稳定这一过程，绳子对质点做的功等于质点机械能的增加量 212
W mv mgh =+ cos 2h l l m θ=-=
/v D m s ω== 代入数据得3450W J =。