变化率问题

表示曲线y=f(x)过点A的切线的斜 率
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请看 当点Q沿 着曲线逐 渐向点P 接近时,割 线PQ绕 着点P逐 渐转动的 情况.
y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P

x
o
从割线到切线，含有 “逼近”的思想！
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作业
• P10 习题1.1 第1题
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65 这段时间的平均速度，并思考下面的问题： 49
计算运动员在 0 t
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
h( ) h(0) 65 在0t 这段时间里， v 49 0( m / s ). 49 65 49 0
65
9
5
1.1.1
变化率问题
6
问题1 气球的膨胀率
吹气球的过程： 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。
设气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）关系： V (r ) 如果将半径r表示为体积V的函数，那么 r (V )
3
3V . 4 当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62( dm), r (1) r (0) 0.62( dm / L). 气球的平均膨胀率为 1 0
也可以把x看作是相对于x1的一个“增量” , 即可用x1 +x代替x2。
类似地，f =f ( x2 ) f ( x1 )。
函数f(x)从x1到x2的平均变化率:
f ( x2 ) f ( x1 ) f x2 x1 x
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思考：
观察函数f(x)的图象，平均变化率
y
f ( x2 )
高台跳水运动中： 运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s） 图象 存在函数关系 h(t)=- 4.9t2+6.5t+10.
探究：
如果用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态，那么 h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 在 0 t 0.5这段时间里， 0.5 0 在 1 t 2这段时间里，v h(2) h(1) 8.2(m / s). 2 1
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1、微积分的创立
微积分(Calculus)是微分学(Differential calculus) 和积分学(Integral calculus)的总称， 它是由牛顿与 莱布尼兹在研究物理和几何的过程中总结前人的经 验，于十七世纪后期建立起来的。
牛顿[英国] (Isaac Newton) 1642—1727 莱布尼兹[德国] (G.W.Leibniz) 1646—1716
当空气容量V从1增加到2L时，气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
4 3 r , 3
r (2) r (1) 0.16( dm),
r (2) r (1) 0.16( dm / L). 2 1
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了。
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问题1 气球的膨胀率
吹气球的过程： 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。
思考
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
4 3 3V 3 由体积公式V (r ) r 得r (V ) . 3 4
所以气球的平均膨胀率为： r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
3
3V2 3 3V1 4 4 。 V2 V1
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问题2 高台跳水
平均变化率的概念：
如果把上述两个问题中的函数关系用f(x)表示，那么问题中的变
化率可用式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 表示，我们把这个式子称为函数f(of change）.
习惯上用x表示x2 x1 ,即x=x2 x1。
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2、关于牛顿
牛顿的三大成就： 流数术（微积分） 万有引力定律 光学分析的基本思想
牛顿[英国] (Isaac Newton) 1642—1727
我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我 自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为 不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美 丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩 瀚的真理的海洋，却全然没有发现。 ——牛顿
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2、关于莱布尼兹
中国是一个大国，它在版图上 不次于文明的欧洲，并且在人数上 和国家治理上远胜于文明的欧洲， 在中国，在某种意义上有一个极其 令人赞佩的道德，再加上一个哲学 的学说，或者有一个自然神论，因 其古老而受到尊敬。这种哲学学说 或自然神论是从三千年来建立的， 莱布尼兹[德国] 并富有权威，远在希腊人的哲学很 (G.W.Leibniz) 久很久以前。 1646—1716 莱布尼兹《论中国哲学》
数学是实践的产物，因需要而发展。17世纪的生产及 技术领域提出了两个迫切需要解决的问题：其一是作变速 直线运动的速度；其二是曲线的切线斜率。随着这两个问 题的逐步完美地解决，在数学中确立了导数与微分的概 念。这是高等数学的第一个里程碑。
导数 (derivative ) ：微分学的核心概念，一个 变量随某个变量变化时的速度和变化率。如路程 对时间的导数便是速度。 微分 (differential)： 一个变量在某变化过程中 的改变量的线性主要部分。
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f x x2 x1
表示什么？
y f ( x)
B f ( x2 ) f ( x1 ) A
x2 x1
表示直线AB的斜率k
0
x1
x2
x
思考：
当x x2 x1越来越小，趋近于0时， f ( x2 ) f ( x1 ) f 函数f ( x)的平均变化率 表示什么？ x x2 x1
1.1 变化率与导数
1.1.1变化率问题
茂名市一中 高二工作室
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在建立了变量变化趋势的数学方法——极限方法后， 我们的主要任务是将极限方法应用于研究形形色色的变量 变化趋势的问题中，一方面解决一些实际问题，另一方面 在极限论的基础上建立高等数学的基本理论体系：微积分
学(differential and interal calculus)。