九年级数学下册 第三章 圆 3.5 确定圆的条件课件

2021/12/8
第二十三页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
(3)解法 1：∵∠ABE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠ABD＝∠AEB.
AB AD 又∵∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴AE＝AB.
1
25
在 Rt△ABD 中，∵AB＝5，BD＝2BC＝3，∴AD＝4，∴AE＝ 4 .
2021/12/8
第四页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
3．2017·市中区三模 如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，
点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2,－3)．
则经画图(huà tú)操作可知：△ABC的外心坐标应是( C )
A．(0，0)
B．(1，0)
2021/12/8
第十九页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
13．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6， 8)，点B的坐标为(12，0)． (1)求证：AO＝AB； (2)用直尺和圆规(yuánguī)作出△AOB的外心P； (3)求点P的坐标．
2021/12/8
解法 2：由(2)得 AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAO. ∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠OEB＝90°，
1 ∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE.在 Rt△ABD 中，∵AB＝5，BD＝2BC＝3，
∴AD＝4.设 OB＝x, 则 OD＝4－x，
2由021/3122/＋8 (4－x)2＝x2，解得
2021/12/8
第十二页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
9．直角三角形两边(liǎngbiān)的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径 是__1_0_或_8___.
[解析(jiě xī)] 分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为
20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形 的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.
第二十页，共二十八页。
图K－24－7
5 确定(quèdìng)圆的条件
解：(1)证明：过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C. ∵A(6，8)，∴OC＝6，AC＝8. ∵B(12，0)，∴OB＝12，∴BC＝6＝OC， ∴AC 是 OB 的垂直平分线，∴AO＝AB. (2)如图，作 OA 的垂直平分线交 AC 于点 P，点 P 就是所求的外心． (3)连接 PO.∵点 P 是△AOB 的外心，∴PA＝PO＝r. ∵AC＝8，∴PC＝8－r. 在 Rt△POC 中，PO2＝OC2＋PC2，∴r2＝62＋(8－r)2， 解得 r＝245，∴PC＝74，∴P6，74.
有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内
接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三
条边的垂直平分线的交点．
A．1个
2021/12/8
B．2个
C．3个
D．4个
第三页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
2．三角形的外心具有的性质(xìngzhì)是( A ) A．到三个顶点的距离相等 B．到三条边的距离相等 C．是三角形三条角平分线的交点 D．是三角形三条中线的交点
2021/12/8
第十页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
8．2017·十堰模拟 如图 K－24－4，△ABC 是⊙O 的内接三角形， 连接 OB，OC，若∠BAC＋∠BOC＝180°，BC＝2 3 cm，则⊙O 的 半径为____2____cm.
2021/12/8
图K－24－4
第十一页，共二十八页。
2021/12/8
第二十六页，共二十八页。
图K－24－9
5 确定(quèdìng)圆的条件
6．若点O是△ABC的外心(wàixīn)，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为( C )
A．35°
B．110°
C．35°或145°
D．35°或140°
[解析] ①当点 O 在三角形的内部时， 1
如图①所示，则∠BAC＝2∠BOC＝35°； ②当点 O 在三角形的外部时，如图②所示，
1 则2∠021B/1A2/8C＝2(360°－70°)＝145°.故选 C.
2021/12/8
图K－24－5
第十六页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
[解析] (1)作AB，AC的中垂线即得圆心O；(2)已知BC和AB的长度，所以(suǒyǐ)可以构
造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.
解： (1)如图，作 AB，AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心 O. (2)连接 AO 交 BC 于点 E，连接 BO.∵AB＝AC，∴A︵B＝A︵C， ∴AE⊥BC，∴BE＝12BC＝8 cm. 在 Rt△ABE 中，AE＝ AB2－BE2＝ 100－64＝6(cm)． 在 Rt△OBE 中，R2＝82＋(R－6)2， 解得 R＝235 cm，即圆片的半径 R 为235 cm.
图K－24－6
2021/12/8
第十八页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
证明：(1)由圆周角定理(dìnglǐ)，得∠B＝∠E. 又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D. ∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°， ∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形． (2)如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N， ∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE. 又AD＝BC，∴CE＝BC，∴OM＝ON. 又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.
第九页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
二、填空题
7．已知△ABC的三条边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，则这个(zhè ge)三角形 的外接圆的面积为____25_π___cm2.(结果用含π的代数式表示)
[解析] 因为(yīn wèi)62＋82＝102，所以△ABC为直角三角形，且斜边长为10 cm， 则其外接圆的半径为5 cm，所以外接圆的面积为25π cm2.
C．(－2，－1)
D．(2，0)
2021/12/8
第五页，共二十八页。
图K－24－1
5 确定(quèdìng)圆的条件
[解析] C ∵△ABC的外心就是(jiùshì)三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图， ∴EF与MN的交点O′就是所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是(－2， －1)．故选C.
图K－24－2
2021/12/8
第七页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
5．如图 K－24－3，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，
OD⊥AC，垂足为 E，BC＝5，AE＝6，则 DE 的长为( C )
7
A．4 2
B．3 3
C．4
D.2
[解析] C ∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝6.∵AB 是△ABC 的外接圆⊙O
2021/12/8
第十三页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
10．2018·内江 已知△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a＋b2＋|c－6|
25
＋28＝4 a－1＋10b，则△ABC 的外接圆半径为___8_____．
2021/12/8
第十四页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
2021/12/8
第二十一页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
14．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD
的垂线EF，E为垂足(chuízú)，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO
＝CO，BC∥EF.
(1)求证：＝AC；
(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；
第三章 圆
5 确定圆的条件
2021/12/8
第一页，共二十八页。
第三章 圆
5 确定 圆的条件 (quèdìng)
2021/12/8
课堂达标 素养提升
第二页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
课堂达标
一、 选择题
1．下列四个命题(mìng tí)中正确的有(B )
①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定
2021/12/8
第六页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，
下列(xiàliè)三角形中，外心不是点O的是( B )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
[解析] B 只有△ACF的三个顶点(dǐngdiǎn)不都在圆上， 故外心不是点O的是△ACF.
2021/12/8
第十七页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
12.2017·安徽 如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D， AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.
(1)求证(qiúzhèng)：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝ BC2＋AC2＝ 52＋122＝13.
∵OA＝OB，AE＝CE，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE＝12BC＝2.5，
∴DE＝OD－OE＝12×13－2.5＝4.故选 C.
2021/12/8
第八页，共二十八页。
图K－24－3
5 确定(quèdìng)圆的条件
5 确定(quèdìng)圆的条件
[解析] 如图，过点 O 作 OE⊥BC 于点 E. ∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°. ∵OE⊥BC，∴BE＝EC＝ 3，∠BOE＝∠COE＝60°，∴∠OBE＝30°，∴OB＝2OE. 设 OE＝x cm，则 OB＝2x cm，∴4x2＝x2＋( 3)2， ∴x＝1(负值已舍去)，∴OB＝2 cm.
25
25
x＝ 8 ，∴AE＝2OB＝ 4 .
第二十四页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
素养提升
探究题 我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来
探究过四边形四个顶点作圆的条件．
(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形
的内角．如果过某个四边形的四个顶点能
作一个圆，那么其相对(xiāngduì)的两个角之间有什
么关系？
2021/12/8
第二十五页，共二十八页。
图K－24－9
5 确定(quèdìng)圆的条件
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间
有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B ＋∠D与180°之间的关系)；
(3)由上面的探究，试归纳(guīnà)出判定过 四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
[解析] 原式整理，得 b2－10b＋25＋a－1－4 a－1＋4＋|c－6|＝0，即(b
－5)2＋( a－1)2－4 a－1＋4＋|c－6|＝0，(b－5)2＋( a－1－2)2＋|c－
6|＝0.∵(b－5)2≥0，( a－1－2)2≥0，|c－6|≥0，∴b＝5，a＝5，c＝6，
∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，设 O 为外接圆的圆心，
(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝ 90°，求AE的长．
图K－24－8
2021/12/8
第二十二页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
解：(1)证明：∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC. 又∵D是BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC. (2)证明：连接(liánjiē)BO，由(1)知AD是BC的垂直平分线，∴BO＝CO. 又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO， ∴点O是△ABC外接圆的圆心．
则 OA＝OC＝R，∵AC＝BC＝5，AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴CD＝ AC2－AD2＝4，
∴OD＝CD－OC＝4－R.在
Rt△AOD
中，R2＝32＋(4－R)2，解得
25 R＝ 8 .
2021/12/8
第十五页，共二十八页。
5 确定(quèdìng)圆的条件
三、解答题
11．如图 K－24－5，已知弧上三点 A，B，C. (1)用尺规作图法，找出B︵AC所在圆的圆心 O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 为等腰三角形，底边 BC＝16 cm，腰 AB＝10 cm，求圆片 的半径 R.