2020-2021年高中数学 数列 2.5 等差、等比数列的综合应用练习(含解析)新人教

第2课时 等差、等比数列的综合应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
5项和为( )
A.15
8或5 B.31
16或5 C.
3116
D.158
解析：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9（1－q 3
）1－q ＝1－q 6
1－q
，所以1＋q 3
＝9，得
q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125
1－12
＝31
16.
答案：C
2．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40
等于( )
A ．150
B ．－200
C ．150或－200
D ．400
解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2
＝S 10(S 30
－S 20)．
即(S 20－10)2
＝10(70－S 20)， 解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20>0，
因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 答案：A
3．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1，1，2，…，则数列{c n }的前10项和为( )
A ．978
B ．557
C ．467
D ．979
解析：由题意可得a 1＝1，设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，所以q 2－2q ＝0， 因为q ≠0，所以q ＝2，所以d ＝－1， 所以a n ＝2n －1
，b n ＝(n －1)(－1)＝1－n ， 所以c n ＝2
n －1
＋1－n ，
设数列c n 的前n 项和为S n ， 所以S 10＝978. 答案：A
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
解析：设该等比数列的项数为2n ， 依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，
S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n
＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇． 因为S 偶＝2S 奇，所以q ＝2. 又a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1
＋a 1q n ＝2
n －1
＋2n ＝3×2
n －1
＝24，
所以2
n －1
＝8＝23
，所以n －1＝3，
解得n ＝4，所以2n ＝8. 答案：C
5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *
，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 2
3＋…＋
a 2n 等于( )
A ．(3n
－1)2
B.12(9n
－1) C ．9n －1
D.14
(3n
－1) 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n
－1，n ∈N *
， 当n ≥2时，有a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1
－1， 所以当n ≥2时，a n ＝3n
－3
n －1
＝2·3
n －1
，
又n ＝1时，a 1＝2适合上式，所以a n ＝2·3
n －1
，
故数列{a 2
n }是首项为4，公比为9的等比数列． 因此a 2
1
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝4（1－9n
）1－9＝12
(9n
－1)．
答案：B
二、填空题
6．数列{a n }中，a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2n －1
，n 为正奇数，
2n －1，n 为正偶数，则它的前n 项和S n ＝________．
解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．
(1)当n 为奇数时，奇数项有
n ＋1
2
项，偶数项有
n －1
2
项，
所以S n ＝1－4n ＋12
1－4＋（n －1）×3
2
＋
n －12·⎝
⎛⎭
⎪⎫
n －12
－1
2
·4＝
2n ＋1
－13＋n 2
－n 2
； (2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n
2
项，
所以S n ＝1－4n 2
1－4＋n
2
×3＋
n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n
2－12
×4＝2n －13＋n 2
＋n
2
.
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧2
n ＋1－13＋n 2
－n
2
，n 为奇数，2n －13＋n 2
＋n
2
，n 为偶数 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝40，S 20＝120，则S 30＝________． 解析：由等比数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，所以S 30－S 20＝（S 20－S 10）
2
S 10
＝（120－40）2
40
＝160，
所以S 30＝280. 答案：280
8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝a －3
n ＋1
，则a 的值为________．
解析：若数列{a n }是等比数列，则它的前n 项和公式为S n ＝A －Aq n
，其中A ＝a 1
1－q
，而此数列S n ＝a －3×3n
，故a ＝3.
答案：3 三、解答题
9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *
)，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1， 即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2
－1，整理得2q ＝q 2
. 又q ≠0，解得q ＝2，所以a n ＝2
n －1
.
(2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1； 当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2
，
即b n ＝
2n －2
n
，
所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2
n
，n ≥2.
10．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2
＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，
q ＝3. 所以{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1
＝3
n －1
，
又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝3
4－1
＝27，
所以1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.
所以{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…)． (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . 因为c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3
n －1
，
所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝2×1－1＋30
＋2×2－1＋31
＋2×3－1＋32
＋…＋2n －1＋3
n －1
＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×（1－3n ）1－3＝2×（n ＋1）n 2－n ＋3n －12＝n 2＋3n
－12.
即数列{c n }的前n 项和为n 2
＋3n
－1
2
.
B 级 能力提升
1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20
，接下来的两项是20
，21
，再接下来的三项是20
，21
，22
，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为
n （1＋n ）
2
.
由题意知，N >100，令
n （1＋n ）
2
＞100⇒n ≥14且n ∈N *
，即N 出现在第13组之后．
第n 组的各项和为1－2n
1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2（1－2n
）1－2－n ＝2n ＋1
－2－n .
设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则第n ＋1组的前k 项的和2k
－1应与－2－n 互为相反数，即2k
－1＝2＋n (k ∈N *
，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×（1＋29）
2
＋5＝440.
答案：A
2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．
解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝1
2
，a 4＝－4，
所以q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2，所以a n ＝12
(－2)n －1
，
所以|a n |＝2n －2
，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12（1－2n
）1－2＝2n －12.
答案：2n
－1
2
3．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n
＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）
n ＋1
（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
解析：(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ， 由⎩⎪⎨
⎪
⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，
即⎩
⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3， 所以b n ＝3n ＋1.
(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1
（3n ＋3）
n ＝3(n ＋1)·2
n ＋1，
又T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，
得T n ＝3×[2×22
＋3×23
＋4×24
＋…＋(n ＋1)×2n ＋1
]，
2T n ＝3×[2×23
＋3×24
＋4×25
＋…＋(n ＋1)×2n ＋2
]，
两式作差，得－T n ＝3×[2×22
＋23
＋24
＋…＋2
n ＋1
－(n ＋1)×
2n ＋2
]＝3×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋4（2n
－1）2－1－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2
所以T n ＝3n ·2n ＋2
.。