课时讲练通2018版高中数学选修1-1模块质量评估 含解析

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模块质量评估
(第一至第三章)
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1.命题“若A⊆B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.
2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,所以f(x)>f(a)≥0.
3.已知命题p:∀x∈[-1,2],函数f(x)=x2-x的值大于0.若p∨q是真命题,则命题q可以是( )
A.∃x∈(-1,1),使得cosx<错误！未找到引用源。

B.“-3<m<0”是“函数f(x)=x+log2x+m在区间错误！未找到引用源。

上有零点”的必要不充分条件
C.x=错误！未找到引用源。

是曲线f(x)=错误！未找到引用源。

sin2x+cos2x的一条对称轴
D.若x∈(0,2),则在曲线f(x)=e x(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于-错误！未找到引用源。

【解题指南】首先根据题中所给的条件,判断出命题p是假命题,再结合p∨q是真命题从而断定命题q是真命题,下边关于命题q所涉及的知识点比较多,需要逐个去分析,A项需要对余弦函数的性质要熟练掌握,B项利用函数零点存在性定理即可解决,C项将函数解析式化简,利用其性质求得,D项利用导数的几何意义,求导函数的值域即可,所以对学生的要求标准比较高.
【解析】选C.可判断命题p是假命题,若p∨q是真命题,则命题q为真命题,A,B,D均不正确.f(x)=错误！未找到引用源。

sin2x+cos2x=2sin 错误！未找到引用源。

,则x=错误！未找到引用源。

是曲线f(x)的一条对称轴.
4.“a>0”是“|a|>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选 A.因为|a|>0,所以a>0或a<0,所以a>0⇒|a|>0,但|a|>0a>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.
5.(2016·长春高二检测)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程
为( )
A.x2=-28y
B.x2=28y
C.y2=-28x
D.y2=28x
【解析】选D.由抛物线的准线方程为x=-7,可以得出该抛物线的焦点在x轴上,开口向右,设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则错误！未找到引
用源。

=7,所以p=14,抛物线方程为y2=28x.
【补偿训练】(2016·邯郸高二检测)抛物线的准线方程为y=-4,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=16y
B.x2=8y
C.y2=16x
D.y2=8x
【解析】选A.由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴,
设抛物线标准方程为:x2=2py(p>0),
因为抛物线的准线方程为y=-4,
所以-错误！未找到引用源。

=-4,
所以p=8,
所以抛物线的标准方程为:x2=16y.
6.当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点( )
A.8
B.6
C.4
D.2
【解析】选C.f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),
知函数的极值点为x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,结合选项可知当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点.
7.已知命题p:函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为π;命题q:函数g(x)=sin错误！未找到引用源。

的图象关于原点对称.则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q
B.p∨q
C.¬p
D.(¬p)∨q
【解析】选B.命题p:函数f(x)=sinxcosx=错误！未找到引用源。

sin2x,最小正周期为T=错误！未找到引用源。

,故命题p是真命题;
命题q:函数g(x)=sin错误！未找到引用源。

=cosx,图象关于y轴对称,
故命题q为假命题,所以p∨q为真命题.
8.设椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=错误！未找到引用源。

(x+c)与椭圆的一个交点为M,若∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆离心率为( )
A.错误！未找到引用源。

B.2-错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

-1
【解析】选D.如图所示,直线y=错误！未找到引用源。

(x+c)的斜率k=错误！未找到引用源。

,
所以倾斜角α=60°,
因为∠MF1F2=2∠MF2F1,
所以∠MF2F1=30°,
所以∠F1MF2=90°,
设错误！未找到引用源。

=m,错误！未找到引用源。

=n,
则有错误！未找到引用源。

解得e=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

-1.
【补偿训练】设F1,F2是椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=错误！未找到引用源。

a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆的离心率e为( ) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
所以错误！未找到引用源。

=
错误！未找到引用源。

,
因为P为直线x=错误！未找到引用源。

a上一点,
所以2错误！未找到引用源。

=2c,
所以椭圆的离心率为e=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
9.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。

x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.(-∞,2]
D.(-∞,2)
【解析】选A.f′(x)=x2-4x,
由f′(x)>0,得x>4或x<0.
所以f(x)在(0,4)上单调递减,
在(4,+∞)上单调递增,
所以当x∈[0,+∞)时,f(x)min=f(4).
所以要使f(x)+5≥0恒成立,只需f(4)+5≥0恒成立即可,代入解之得m ≥错误！未找到引用源。

.
【补偿训练】已知f(x)=alnx+错误！未找到引用源。

x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有错误！未找到引用源。

≥2恒成立,则a的取值范围是.
【解析】因为f(x)=alnx+错误！未找到引用源。

x2(a>0),
对任意两个不等的正实数x1,x2都有错误！未找到引用源。

≥2恒成立, 所以f′(x)=错误！未找到引用源。

+x≥2(x>0)恒成立,
所以a≥2x-x2恒成立,
令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,
则a≥g(x)max,
因为g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1为开口方向向下,对称轴为x=1的抛物线, 所以当x=1时,g(x)=2x-x2取得最大值g(1)=1,
所以a≥1.即a的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
10.(2016·南昌高二检测)设O为坐标原点,F1,F2是错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=错误！未找到引用源。

a,则该双曲线的渐近线方程
为( )
A.x±错误！未找到引用源。

y=0
B.错误！未找到引用源。

x±y=0
C.x±错误！未找到引用源。

y=0
D.错误！未找到引用源。

x±y=0
【解析】选D.如图所示,因为O是F1F2的中点,
错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以(错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

)2=(2错误！未找到引用源。

)2.
即|错误！未找到引用源。

|2+|错误！未找到引用源。

|2+2|错误！未找到引用源。

|·|错误！未找到引用源。

|·cos60°=4|错误！未找到引用源。

|2.
又因为|PO|=错误！未找到引用源。

a,
所以|错误！未找到引用源。

|2+|错误！未找到引用源。

|2+|错误！未找到引用源。

||错误！未找到引用源。

|=28a2. ①
又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,
所以(|PF1|-|PF2|)2=4a2.
即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2. ②
由①-②得|PF1|·|PF2|=8a2,
所以|PF1|2+|PF2|2=20a2.
在△F1PF2中,由余弦定理得
cos60°=错误！未找到引用源。

,
所以8a2=20a2-4c2.即c2=3a2.
又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2.
即错误！未找到引用源。

=2,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
所以双曲线的渐近线方程为错误！未找到引用源。

x±y=0.
11.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选D.设g(x)=e x(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g′(x)=e x(2x+1),所以当x<-错误！未找到引用源。

时,g′(x)<0,当x>-错误！未找到引用源。

时,g′(x)>0,
所以,当x=-错误！未找到引用源。

时,[g(x)]min=-2错误！未找到引用源。

.
当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,
且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得错误！未找到引用源。

≤a<1.
12.已知a,b∈R,直线y=ax+b+错误！未找到引用源。

与函数f(x)=tanx 的图象在x=-错误！未找到引用源。

处相切,设g(x)=e x+bx2+a,若在区间[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,则实数
m ( )
A.有最小值-e
B.有最小值e
C.有最大值e
D.有最大值e+1
【解析】选D.注意到函数f(x)=tanx=错误！未找到引用源。

,
所以f′(x)=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
即得a=f′错误！未找到引用源。

=2,又点错误！未找到引用源。

在直线y=ax+b+错误！未找到引用源。

上,所以-1=2·错误！未找到引用源。

+b+错误！未找到引用源。

,得b=-1,
又g(x)=e x-x2+2,所以g′(x)=e x-2x,g″(x)=e x-2,
当x∈[1,2]时,g″(x)≥g″(1)=e-2>0,
所以g′(x)在[1,2]上单调递增,所以g′(x)≥g(1)=e-2>0,
所以g(x)在[1,2]上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得错误！未找到引用源。

所以m≤-e或e≤m≤e+1,
所以m的最大值为e+1,无最小值.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的条件.
【解析】对于导数存在的函数f(x),若f′(x)<0,
则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f′(x)<0,如f(x)=-x3在R上是单调递减的,但f′(x)≤0. 答案:充分不必要
14.已知椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1的焦距为6,则k的值是.
【解析】当椭圆的焦点在x轴时,a2=20,b2=k,
所以c2=a2-b2=20-k,所以c=错误！未找到引用源。

,
因为椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1的焦距为6, 所以c=错误！未找到引用源。

=3,所以k=11;
当椭圆的焦点在y轴时,a2=k,b2=20,
所以c2=a2-b2=k-20,所以c=错误！未找到引用源。

,
因为椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1的焦距为6, 所以c=错误！未找到引用源。

=3,所以k=29.
答案:11或29
【误区警示】焦点的位置
忽视讨论焦点的位置,从而导致漏解,对双曲线与椭圆的题目一定要分清焦点的位置,若不能确定要进行分类讨论.
15.若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱,则它的高为
时,材料最省.
【解题指南】把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题,然后列出所用材料的面积关于边长a的函数关系式.
【解析】设水箱的高度为h,底面边长为a,那么V=a2h=324,则h=错误！未找到引用源。

,水箱所用材料的面积是S=a2+4ah=a2+错误！未找到引用源。

,
令S′=2a-错误！未找到引用源。

=0,
得a3=648,a=6错误！未找到引用源。

,
所以h=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=3错误！未找到引用源。

,
经检验当水箱的高为3错误！未找到引用源。

时,材料最省.
答案:3错误！未找到引用源。

16.下列语句:
①“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件;
②“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为真命题;
③命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”;
④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是.
【解析】因为当x=1成立时有x2=1成立;
当x2=1时,不一定有x=1,
所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,故①错;
“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“x≠2时,有x2-3x+2≠0”,而x=1时,x2-3x+2=0,故②错;
命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定应为:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故③错误;
命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”是真命题,故④正确.
答案:①②③
【误区警示】“否命题”与“命题的否定”
如果原命题是“若p则q”,那么这个命题的否命题是“若非p,则非q”,而这个命题的否定是“若p则非q”.可见,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,“任意两个”的否定是“某两个”.“p且q”的形式,其否定应该为“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定应该为“非p且非q”.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)命题p:方程错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1,(k∈R)表示双曲线,命题q:函数y=log2(kx2+kx+1)的定义域为R,若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数k的取值范围.
【解题指南】首先分别求出命题p,q为真命题时,实数k的取值范围,然后由真值表并结合已知条件命题p,q的关系可得,命题p,q为一真一假,最后根据补集的思想可得出实数k的取值范围.
【解析】命题p:由(k-3)(k+3)<0,得-3<k<3,
命题q:令t=kx2+kx+1,
由t>0对x∈R恒成立.
(1)当k=0时,1>0,所以k=0符合题意.
(2)当k≠0时,错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以q:0≤k<4,
又因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
所以错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

所以-3<k<0或3≤k<4.
【补偿训练】命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m的取值范围.
【解析】命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,所以错误！未找到引用源。

解得m>2.
命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,
所以Δ′=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,
解得1<m<3.
因为“p或q”为真,“p且q”为假,
所以p为真、q为假或p为假、q为真,
则错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

解得m≥3或1<m≤2.
18.(12分)设椭圆C:错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,ΔPF1F2的周长为16.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求过点(3,0)且斜率为错误！未找到引用源。

的直线l被椭圆C所截的线段的中点坐标.
【解题指南】(1)利用椭圆的标准方程及其参数a,b,c的关系即可得出.(2)把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系和线段的中点坐标公式即可得出.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,
则由题设得错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以b2=a2-c2=52-32=16,
故所求C的方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1.
(2)过点(3,0)且斜率为错误！未找到引用源。

的直线方程为y=错误！未找到引用源。

(x-3),将之代入C的方程,得错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1,
即x2-3x-8=0.
设直线l与椭圆有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1+x2=3,所以线段AB中点的横坐标为错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,纵坐标为错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

.
故所求线段的中点坐标为错误！未找到引用源。

.
19.(12分)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程.
(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在[错误！未找到引用源。

,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,
f′(x)=错误！未找到引用源。

-2x+2,切点坐标为(1,1),
切线的斜率k=f′(1)=2,
则切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
(2)g(x)=2lnx-x2+m,
则g′(x)=错误！未找到引用源。

-2x=错误！未找到引用源。

.
因为x∈错误！未找到引用源。

,
所以当g′(x)=0时,x=1.
当错误！未找到引用源。

<x<1时,g′(x)>0;
当1<x<e时,g′(x)<0.
故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.
又g错误！未找到引用源。

=m-2-错误！未找到引用源。

,
g(e)=m+2-e2,g(e)-g错误！未找到引用源。

=4-e2+错误！未找到引用源。

<0,
则g(e)<g错误！未找到引用源。

,
所以g(x)在错误！未找到引用源。

上的最小值是g(e).
g(x)在错误！未找到引用源。

上有两个零点的条件是
错误！未找到引用源。

解得1<m≤2+错误！未找到引用源。

,
所以实数m的取值范围是错误！未找到引用源。

.
20.(12分)(2016·广州高二检测)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q与e x成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,销售量为100公斤.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)).
(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式.
(2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的每日利润y 最大,并求最大值.
【解析】(1)设日销售量q=错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

=100,
所以k=100e30,所以日销售量q=错误！未找到引用源。

,
所以y=错误！未找到引用源。

(25≤x≤40,2≤t≤5).
(2)当t=5时,y=错误！未找到引用源。

,y′=错误！未找到引用源。

. 由y′≥0得x≤26,由y′≤0得x≥26,
所以y在[25,26]上单调递增,在[26,40]上单调递减,
所以当x=26时,y max=100e4.
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为100e4元.
21.(12分)(2015·北京高考)设函数f(x)=错误！未找到引用源。

-klnx,k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值.
(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,错误！未找到引用源。

)上仅有一个零点.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
因为k>0,所以令f′(x)=0得x=错误！未找到引用源。

,列表如下:
减区间为(0,错误！未找到引用源。

),增区间为(错误！未找到引用源。

,+∞).
当x=错误！未找到引用源。

时,取得极小值f(错误！未找到引用源。

)=错误！未找到引用源。

.
(2)当错误！未找到引用源。

≤1,即0<k≤1时,f(x)在(1,错误！未找到引用源。

)上单调递增,
f(1)=错误！未找到引用源。

,f(错误！未找到引用源。

)=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

>0,所以f(x)在区间(1,错误！未找到引用源。

)上没有零点.
当1<错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

,即1<k<e时,f(x)在(1,错误！未找到引用源。

)上递减,在(错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

)上递增,
f(1)=错误！未找到引用源。

>0,f(错误！未找到引用源。

)=错误！未找到引用源。

>0,f(错误！未找到引用源。

)=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

>0,
此时函数没有零点.
当错误！未找到引用源。

≥错误！未找到引用源。

,即k≥e时,f(x)在
(1,错误！未找到引用源。

)上单调递减,f(1)=错误！未找到引用源。

>0,f(错误！未找到引用源。

)=错误！未找到引用源。

<0.所以f(x)在区间(1,错误！未找到引用源。

)上仅有一个零点.
综上,若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,错误！未找到引用源。

)上仅有一个零点.
22.(12分)(2016·银川高二检测)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为错误！未找到引用源。

.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

时,求m的取值范围.
【解题指南】(1)首先设出椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0),然后由已知可得a,b,c之间的关系,求解即可.
(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去y可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式Δ>0,再设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2,x1x2的值,即可得出MN的中点P的坐标,并结合已知条件可得等式3k2=2m-1,最后得出m的取值范围即可.
【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,
故设椭圆的方程为:错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a>b>0),
又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为错误！未找到引用源。

,
所以b=1,e=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,即b=1,c=错误！未找到引用源。

a,
又a2=b2+c2,所以a2=1+错误！未找到引用源。

a2,
所以a2=3,
所以椭圆的方程为:错误！未找到引用源。

+y2=1.
(2)联立错误！未找到引用源。

消y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
因为直线与椭圆相交于不同的两点,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0,
得:3k2-m2+1>0,①
所以x1+x2=-错误！未找到引用源。

,x1x2=错误！未找到引用源。

,
所以y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m=错误！未找到引用源。

,
取MN的中点P,则点P错误！未找到引用源。

,
又错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,则AP⊥MN,
所以由直线MN的斜率k≠0知直线AP的斜率必存在,
所以k AP·k=错误！未找到引用源。

·k=-1,
化简得3k2=2m-1,
代入①式得2m-1-m2+1>0,
所以m2-2m<0,
所以0<m<2,所以m的取值范围是(0,2).
【补偿训练】(2016·梅州高二检测)如图所示,椭圆C:x2-错误！未找到引用源。

=1(0<m<1)的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.
(1)若点P的坐标为错误！未找到引用源。

,求m的值.
(2)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求m的取值范围.
【解题指南】(1)由题意知M是线段AP的中点,由中点坐标公式可得点M 坐标,代入椭圆方程即可得到m值.
(2)设M(x0,y0)(-1<x0<1),则错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1,①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标,由OP⊥OM得错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=0②,联立①②消去y0,分离出m用基本不等式即可求得m的范围.
【解析】(1)依题意,M是线段AP的中点,
因为A(-1,0),P错误！未找到引用源。

,
所以,点M的坐标为错误！未找到引用源。

,
由于点M在椭圆C上,
所以错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1,解得m=错误！未找到引用源。

.
(2)设M(x0,y0)(-1<x0<1),
则错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1,①
因为M是线段AP的中点,
所以P(2x0+1,2y0).
因为OP⊥OM,
所以错误！未找到引用源。

⊥错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=0,
即x0(2x0+1)+2错误！未找到引用源。

=0.②
由①,②消去y0,整理得m=错误！未找到引用源。

,
所以m=1+错误！未找到引用源。

≤错误！未找到引用源。

-错误！未找
到引用源。

,
当且仅当x0=-2+错误！未找到引用源。

时,上式等号成立.
所以m的取值范围是错误！未找到引用源。

.
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