人教版数学八年级上册11.2《三角形的内角(2)》名师教案

第十一章三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角第二课时〔袁梅〕
一、教学目标
〔一〕学习目标
1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.掌握与三角形内角有关的计算和证明.
〔二〕学习重点
掌握直角三角形的性质与判定以及综合运用.
〔三〕学习难点
与三角形内角有关的计算与证明的说理.
二、教学设计
〔一〕课前设计
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 .
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
〔1〕在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=40o，那么∠B= _______.
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余，知道其中一个锐角，即可求出另一个锐角的度数．【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠C=90o，∠B=90o−∠A=50o.
【答案】50o
〔2〕在Rt△ABC中，∠C=90o，且∠A=2∠B，那么∠A= _______，∠B= _______.
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余,∠A+∠B=90o，∠A=2∠B，即可得3∠B=90o，求出∠B，再求∠A．
【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠C=90o，那么∠A+∠B=90o，∵∠A=2∠B，∴3∠B=90o，∴∠B=30 o，∴∠A=60 o．
【答案】60 o，30 o
〔3〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，那么与∠1互余的角有 _______.
A
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】此题关键是在图中准确找出直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余进展判断．【解题过程】解：Rt△ADC中，∠A+∠1=90o，∵∠ACB=90o.∴∠1+∠BCD=90o.∴与∠1互余的角有∠A、∠BCD.
【答案】∠A、∠BCD
〔4〕在△ABC中，∠C= 2∠A=2∠B，那么△ABC是〔〕
【知识点】直角三角形的判定
【思路点拨】根据三角形的内角和，利用方程求出各内角的度数确定三角形．
【解题过程】解：设∠A=∠B=x，那么∠C= 2x，由三角形的内角和可得x+x+2x=180 o，解得
x=45 o，∴∠C =90 o，故三角形是直角三角形，选B.
【答案】B
〔二〕课堂设计
〔1〕三角形的内角和为 .
符号语言：在△ABC中，∠A +∠B+∠C= .
〔2〕如何判断一个三角形是直角三角形？
探究一直角三角形的性质
活动①回忆旧知三角形中两个角求第三个角
问题1在△ABC中，∠C=90o，∠A=35o，那么∠B的度数是多少？
生答复：∠B=180 o−∠C−∠A=180o−90o−35o =55o.
问题2 在三角形中，假设两个角的度数可以利用三角形的内角和为180o，求出第三个角的度
数.如果两个角中有一个角为直角，有没有更直接的方法求出第三个角的度数呢？
【设计意图】通过对旧知识的复习，回忆运用三角形的内角和求角的度数的方法，为探索直角三角形的两个锐角互余作铺垫.
活动②整合旧知探究直角三角形的性质
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90o，试说明∠A+∠B=90o.
C
B
.
解：由三角形的内角和为180 o，得∠A +∠B+∠C=180 o，
即∠A +∠B + 90o =180 o，所以∠A+∠B=90o
结论：直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠B=90o.
【设计意图】在直角三角形中，一个锐角的度数能快速求出另一个角的度数对学生而言较容易，可利用本环节进一步培养学生的推理能力.
探究二直角三角形的判定
问题我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.
答：由三角形的内角和为180o，可知当有两个角互余时可求第三个角为90o，所以此三角形是直角三角形.
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.
【设计意图】在完成探究一后，可将直角三角形的性质的题设和结论调换，得到新命题，并证明该命题是真命题，从而得到直角三角形的判定定理.既可复习命题的旧知，又可继续培养学生的推理能力.
探究三综合运用
活动①直角三角形性质的运用
例1 如图，∠D=∠C=90o，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
C
A
【知识点】直角三角形的性质
【解题过程】解：在Rt △ACE 中，∠C =90o ， ∠CAE =90 o −∠AEC 在Rt △DBE 中，∠D =90o
， ∠DBE =90 o −∠DEB ∵∠AEC =∠DEB ∴∠CAE =∠DBE .
【思路点拨】 根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等解决问题． 【答案】∠CAE =∠DBE .
练习：如图，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，垂足为D ，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
B
A
【知识点】直角三角形的性质
【解题过程】∵CD ⊥AB ，所以 ∠CDB =90 o ，∴∠BCD +∠B =90o ，∵∠ACB =90o .∴∠ACD +∠BCD =90
o
，∴∠ACD =∠B
【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等解决问题． 【答案】∠ACD =∠B 活动② 直角三角形的判定
例2 如图，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，AB ∥CD ， ∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P .求证：△EFP 是直角三角形.
C D
【知识点】直角三角形的判定
【解题过程】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180o，又∵∠BEF的平分线与DFE的平分线相交于点
P，∴∠PEF=1
2
∠BEF，∠PFE=
1
2
∠EFD，∴∠PEF+∠PFE=
1
2
∠BEF+
1
2
∠EFD=
1
2
〔∠EFD+∠EFD〕
=1
2
×180o=90 o，∴△EFP是直角三角形.
【思路点拨】由两直线平行可得同旁内角互补，再由角平分线的定义易求出∠PEF+∠PFE= 90 o，从而判断△EFP是直角三角形．
【答案】
练习：如图，在△ABC中，∠C=90o，∠1 =∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
B
E
【知识点】直角三角形的性质和判定
【解题过程】在△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠2=90o，∵∠1 =∠2，∴∠A+∠1=90o，∴△ADE 是直角三角形.
【思路点拨】直角三角形易得∠A、∠2互余，再根据等量代换得到∠A与∠1互余，根据直角三角形的判定解决问题．
【答案】△ADE是直角三角形
活动③三角形的内角和的综合运用
例3 如图，在△ABC中，∠B=52o，∠C=40o，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.
A
B
C
【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义
【解题过程】在△ABC 中，∠B =52o ，∠C =40o ，∴∠BAC =180 o −∠B −∠C =88 o ，∵AD 是∠BAC 的
平分线，∴∠BAD =1
2
∠BAC =44 o ，∴∠ADB =180 o −∠B −∠BAD =84 o ，∵AE 是BC 边上的高，∴∠
AED =90 o ，∴∠DAE =90o −∠ADE =6o .
【思路点拨】法1：利用角的和差解决：∠DAE =∠BAD -∠BAE ，在Rt △AEB 中∠B =52o ，可求∠
BAE ，在△ABC 中∠B =52o ，∠C =40o ，可求∠BAC ，再根据AD 是∠BAC 的平分线，求出∠BAD.法2：利用直角三角形两锐角互余解决：∠DAE =90o -∠ADE ，在△ADB 中∠B =52o ，用法1求出∠BAD ，可求∠ADB.从而解决问题． 【答案】6o
变式练习：如图，在△ABC 中，∠B =α〔0o <α<90 o 〕，∠C =β〔0o <β<90 o 〕，α>β，AE 是
BC 边上的高，AD 是∠BAC 的平分线，请求∠DAE 的度数〔用α、β的式子表示〕.
A
B
C
【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义
【解题过程】在△ABC 中∠BAC =180 o −α−β，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD =12〔180 o −α−β〕
∴∠ADB =180 o −α−12〔180 o −α−β〕=90 o −12α+1
2β. ∵AE 是BC 边上的高，∴∠AED =90 o ，
∴∠DAE =90o −〔90 o −12α+12β〕=12α−1
2
β.
【思路点拨】思考方法同上，关键是用α、β的式子表示各个角的度数．
【答案】1
2
α −
1
2
β.
练习2：如图，在△ABC中，∠A=40o，∠B=86 o，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，CE是∠ACB的平分线，求∠BCE和∠CDF的度数.
A
【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义
【解题过程】在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o ∴∠ACB=54o，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE=1 2
∠ACB=27o，∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90o，∴∠BCD=4o，∴∠FCD=∠BCE−∠BCD=23o，∵DF⊥CE 于F，∴∠CFD=90o，∴∠CDF=90 o−∠FCD=67 o，即∠BCE=27o，∠CDF=67 o.
【思路点拨】此题考察的是三角形的内角和定理及角平分线的性质，高的定义，解答的关键是三角形的内角和定理，需熟记于心中．
【答案】∠BCE=27o，∠CDF=67 o.
3. 课堂总结
知识梳理
〔1〕根据直角三角形的性质可得两个锐角互余．
〔2〕由直角三角形两锐角互余的关系可判定三角形是直角三角形.
〔3〕利用三角形内角和、直角三角形的性质和判定解决有关的计算和证明.
重难点归纳
〔1〕掌握直角三角形的性质与判定.
〔2〕在解决角的度数问题时，假设有直角三角形存在，善于运用直角三角形的两锐角互余求角度更直接简便.
〔3〕学会与三角形内角有关的计算与证明的说理．
(三)课后作业
根底型自主突破
1. 一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1，这个三角形是〔〕．
A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【知识点】三角形的内角和定理，三角形的分类
【数学思想】方程思想
【思路点拨】三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1，可根据三角形的内角和定理设未知数建立方程求解.
【解题过程】三个内角的度数比是1∶2∶1，设三个角的度数分为x o， 2x o，x o由题可得
x+2x+x=180，解得x=45，∴三个角的度数分为45 o， 90 o，45o，∴此三角形是等腰直角三角形.应选D.
【答案】D
2. 如图，直线∠A=35o，∠B=∠C=90 o，那么∠D的度数为〔〕
A．35°B．45° C．55° D．65°
A
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】由直角三角形的两锐角互余和对顶角相等可解决问题.
【解题过程】在Rt△ABE和Rt△CED中，∠A+∠AEB=90o，∠D+∠DEC=90o，因为∠AEB=∠DEC，所以∠D=∠A=35o.应选A.
【答案】A
3. 将一个直角三角尺和一把直尺如图放置，如果，∠1=36°，那么∠2的度数为〔〕
A.56°
B. 76°
C. 66°
D. 60°
【知识点】直角三角形的性质，平行线的性质，邻补角的定义
【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余，可求∠A =30o
，根据三角形内角和定理求∠4，即可求出∠3，再利用平行线的性质得∠2=∠3，从而求解.
【解题过程】解：根据直角三角形两锐角互余，可求∠A =30o ，∴∠4=180 o −30 o −36 o =114 o ，∴∠3=180 o −114o =66 o ，∵直尺对边平行，所以∠2=∠3=66 o ，应选C 【答案】C
4.如图，，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E 、F ，点G 在直线EF 上，GH ⊥AB ，假设∠EGH =43°，那么∠
CEF 的度数为____________.
A
B
【知识点】直角三角形的性质，平行线的性质
【思路点拨】利用直角三角形的两锐角互余和平行线的性质是解决问题的关键.
【解题过程】因为GH ⊥AB ，所以∠GHF =90 o ，所以∠GFH =90 o −∠EGH =47 o ，所以∠BFE= 180 o −∠GFH=133 o ，又因为AB ∥CD ，所以∠CEF=∠BFE=133 o . 【答案】133o
5. 在直角三角形中，两锐角之差为20o ，那么较大的锐角为 度. 【知识点】直角三角形的性质 【数学思想】方程思想
【思路点拨】利用直角三角形两锐角互余建立方程是解决问题的关键.
【解题过程】设较大的锐角为x o ，那么较小的锐角为〔x -20〕o ，所以x +〔x -20〕=90，解得
x =55，所以较大锐角为55o . 【答案】55
6. 如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D ，假设∠BAC =88°，∠C =58°，那么∠DAE 的度数是_______.
A
B
C
【知识点】三角形的内角和及三角形的平分线、高的定义
【解题过程】在△ABC 中∠BAC =88°，∠C =58°，∴∠B =180 o −∠C −∠BAC =34o ，∵AE 是∠BAC
的平分线，∴∠BAE =1
2∠BAC =44o ，∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =90o −∠B=56o ，∴∠DAE=∠BAD −
∠BAE =12o .
【思路点拨】利用角的和差解决：∠DAE =∠BAD -∠BAE ，在△ABC 中∠BAC =88o ，∠C =58o ，可求∠B ，在Rt △ADB 中∠B 可求∠BAD ，再根据AE 是∠BAC 的平分线，求出∠BAE . 【答案】12o
能力型 师生共研
7. 如图，DB 是△ABC 的高，AE 是角平分线，∠BAE =26°，求∠BFE 的度数．
F
E
D
B
A
C
【知识点】直角三角形的性质，角平分线的定义
【思路点拨】由角平分线的性质知，∠FAD =∠BAE =26°，而∠AFD 与∠FAD 互余，与∠BFE 是对顶角，故可求得∠BFE 的度数．
【解题过程】解：∵AE 是角平分线，∠BAE =26°， ∴∠FAD =∠BAE =26°， ∵DB 是△ABC 的高，
∴∠AFD =90°﹣∠FAD =90°﹣26°=64°， ∴∠BFE =∠AFD =64°． 【答案】64°
8. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． 〔1〕假设∠B =35°，∠ACB =85°，求∠E 的度数；
〔2〕当P 点在线段AD 上运动时，猜测∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【思路点拨】〔1〕中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC 的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC 的度数，进一步求得∠E 的度数；〔2〕中，由于∠B 和∠ACB 的大小不确定，故表达式应写为两种情况．根据第〔1〕小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解题过程】解：〔1〕∵∠B =35°，∠ACB =85°， ∴∠BAC =60°，∵AD 平分∠BAC ，
∴∠DAC =30°，∴∠ADC =65°，∴∠E =25°；
（2）∠E=12〔∠ACB −∠B 〕或∠E=1
2
〔∠B −∠ACB 〕
解：∠ADC=180°−∠ADB =180°−〔180°−∠B -∠BAD 〕=∠B +∠BAD
∠BAD=21
(180°−∠B −∠ACB )
∵∠E ≥0
∴∠E=90°−∠ADC=90°−∠B −∠BAD=│90°−∠B-
2
1
(180°−∠B −∠ACB )│ =│2
1
〔∠ACB −∠B 〕│
∴当∠B ＞∠ACB 时，∠E=1
2〔∠B −∠ACB 〕
当∠B ＜∠ACB 时，∠E=1
2
〔∠ACB −∠B 〕
【答案】〔1〕25°；〔2〕∠E=12〔∠ACB −∠B 〕或∠E=1
2
〔∠B −∠ACB 〕
探究型 多维突破
9. 〔1〕如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、
XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A =40°，那么∠ABC +∠ACB = _________ ，∠XBC +∠XCB = _________ ．
〔2〕如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过
B 、
C ，那么∠ABX +∠ACX 的大小是否变化？假设变化，请举例说明；假设不变化，请求出∠ABX +∠ACX 的大小．
【知识点】三角形内角和定理
【思路点拨】此题考察的是三角形内角和定理．∠A=40°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为∠x为90°，所以易求∠XBC+∠XCB．此题注意运用整体法计算．关键是求出∠ABC+∠ACB. 【解题过程】解：〔1〕∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=140°；∠XBC+∠XCB=90°．
〔2〕不变化．
∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=〔∠ABC﹣∠XBC〕+〔∠ACB﹣∠XCB〕
=〔∠ABC+∠ACB〕﹣〔∠XBC+∠XCB〕=140°﹣90°=50°．
【答案】〔1〕140o，90 o〔2〕50o
10. △ABC中，∠BAC=80°．
〔1〕假设∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
〔2〕假设∠ABC和∠ACB的三等分线〔即将一个角平均分成三等分的射线〕相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；
〔3〕如此类推，假设∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【思路点拨】〔1〕根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
〔2〕根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
〔3〕根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难探求∠BOC的大小与n的关系．
【解题过程】解：∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
〔1〕∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=130°．
〔2〕∵点O是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=100
3
o
，∴∠BOC=
440
3
o
．
〔3〕∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=100o
n
，∴∠BOC=180°﹣
100o
n
．
当∠BOC=170°时，是十等分线的交线所成的角．
【答案】〔1〕130°；〔2〕440
3
o
；〔3〕十等分线.
自助餐
1. 将一副三角板按如下图叠放在一起，那么图中∠1的度数是〔〕
A. 90o
B. 75o
C. 60o
D. 45o
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】利用直角三角形的两锐角互余求解.
【解题过程】由直角三角形的两锐角互余可得：∠1=90 o−〔45 o−30 o〕=75 o
【答案】B
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，那么图中与∠C〔∠C除外〕相等的角的个数是〔〕
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
E
F
C
B
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】此题的关键是找准直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的关系，寻找与∠C 〔∠C除外〕相等的角.
【解题过程】∵∠C+∠EDC=90o，∠ADE+∠EDC=90o，∴∠ADE=∠C，∵∠ADE+∠DAE=90o，∠BAD+∠DAE=90 o，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADF+∠BAD=90 o，∠ADF+∠FDB=90 o，∴∠FDB=∠BAD，∴∠FDB=∠BAD=∠ADE=∠C.应选A.
【答案】A
△ABC中，∠A−∠B=30o，∠B−∠C=30o，那么此三角形是三角形.
【知识点】三角形的内角和定理，直角三角形的判定
【思路点拨】三角形内角的数量关系，根据三角形的内角和定理即可求解.
【解题过程】∵∠A−∠B=30o，∠B−∠C=30o，∴∠A=30o+∠B，∠C=∠B−30o，∵∠A+∠B+∠C=180o，∴∠B=60o，∴∠A=90o ，∠C=30o，∴△ABC是直角三角形.
【答案】直角
4.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，∠DBC的度数为 .
B
【知识点】三角形内角和定理，直角三角形的性质
【数学思想】方程思想
【思路点拨】三角形内角的数量关系，可根据三角形的内角和定理设未知数建立方程求解. 【解题过程】设∠A=x，那么∠C=∠ABC=2x，由题可得x+2x+2x=180o，解得x=36o，∴∠C=72 o，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC=90 o，∴∠DBC=90 o−72o =18o.
【答案】18o
5. 如下图，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．
【知识点】三角形内角和定理，平行线的性质
【思路点拨】根据条件，证AD∥FC；根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数即可．【解题过程】解：∵∠1+∠2=90°，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°
∴AD∥FC
∴∠A+∠B=180°
又∵∠B=75°
∴∠A=105° 【答案】105°
6. 如图〔1〕，△ABC 中，AD 是角平分线，AE ⊥BC 于点E ． 〔1〕假设∠C =80°，∠B =50°，求∠DAE 的度数． 〔2〕假设∠C ＞∠B ，试说明∠DAE =
1
2
〔∠C ﹣∠B 〕． 〔3〕如图〔2〕假设将点A 在AD 上移动到A´处，A´E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA´E，〔2〕中的结论还正确吗？为什么？
图（2）
图（1）
B
C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【思路点拨】此题考察了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．〔1〕先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得度数，在△ADC 中，利用三角形内角和求出∠ADC 的度数，从而可得∠DAE 的度数．
〔2〕结合第〔1〕小题的计算过程进展证明即可．
〔3〕用∠B 和∠C 表示出∠A′DE ，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E =1
2
〔∠C ﹣∠B 〕．
【解题过程】解：〔1〕在△ABC 中，∠BAC =180°﹣∠B ﹣∠C =180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线，∴∠DAC =
1
2
∠BAC =25°； 在△ADC 中，∠ADC =180°﹣∠C ﹣∠DAC =75°； 在△ADE 中，∠DAE =180°﹣∠ADC ﹣∠AED =15°．
〔2〕∠DAE =180°﹣∠ADC ﹣∠AED =180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC =90°﹣〔180°﹣∠C ﹣∠DAC 〕=90°﹣〔180°﹣∠C ﹣12∠BAC 〕=90°﹣[180°﹣∠C ﹣12〔180°﹣∠B ﹣∠C 〕] =1
2
〔∠C ﹣∠B 〕．
〔3〕〔2〕中的结论仍正确．
∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+1
2
∠BAC=∠B+
1
2
〔180°﹣∠B﹣∠C〕=90°+
1
2
∠B﹣
1
2
∠C；
在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣〔90°+1
2
∠B﹣
1
2
∠C〕=
1
2
〔∠C﹣∠B〕．
【答案】〔1〕15°．〔2〕略；〔3〕正确。