2016-2017学年吉林省实验中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年吉林省实验中学高二下学期期中考试数学
（理）试题
一、选择题
1．已知i 是虚数单位，复数11z i i
=+-，则复数z 的虚部是
A. 12
-
B.
32
C. 32-
D. 32i -
【答案】C
【解析】因为1132
2
2
i z i i +=+
=+
，所以132
2
z i =
-
，应选答案C ．
2．曲线3
24y x x =-+在点()1,3处的切线的倾斜角为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 120
【答案】B
【解析】因为2
32y x '=-，所以切线的斜率是321k =-=，即tan 145αα=⇒=，应选答案B 。

3．函数()y f x =是R 上的连续可导函数，其导函数为()f x '， 已知
()()()2
23f x x x =
+-'，则()f x 的极值点为
A. 3， 2-
B. ()2,0-
C. ()()2,0,3,0-
D. 2- 【答案】D
【解析】因为()()()2
23f x x x =+-'，所以当2x >-时， ()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当2x <-时， ()0f x '<， ()y f x =函数单调递减；因此2x =-是极值点。

当23x -<<时， ()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当3x >时， ()0f x '<，函数()y f x =单调递增，因此3x =不是极值点，应选答案D 。

4．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~54X B ⎛
⎫
⎪⎝
⎭，，则()21E X +=
A.
54
B.
72
C. 3
D.
52
【答案】B 【
解
析
】
因
为
()11
5
5,5
44
4
X B E
X ⎛
⎫~
⇒=⨯= ⎪⎝⎭
，
所以
()()572121214
2
E X E X +=+=
⨯
+=
，应选答案B 。

5．某校食堂的原料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，
根据表中提供的数据，用最小二乘法得出
对的回归直线方程为8.5.5ˆ7y
x =+，则表中
m 的值为
（ ）
A. 60
B. 50
C. 55
D. 65 【答案】B
【解析】8.557.550m =⨯+= ,选B
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，
则直接根据用公式求ˆˆ,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点()
,x y . 6．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=；三维空间中球的二维测度（表面积）2
4S r π=，三维测度（体积）3
43
V r π=
，
观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度
W =
A. 224r π
B. 2
83
r π C.
514
r π D. 4
2r π
【答案】D
【解析】因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D 。

点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
3
4
4
18824
W r d r r
r πππ=⎰=
⨯=，应选答案D 。

7．如下五个命题:
①在线性回归模型中， 2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”
②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；
③正态曲线关于直线x σ=对称,这个曲线只有当()3,3x σσ∈-时,才在x 轴上方； ④正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越“矮胖”；
⑤若随机变量()~0,1N ξ，且()1,P p ξ>=则()1102P p ξ-<<=
-；
其中正确命题的序号是
A. ②③
B. ①④⑤
C. ①④
D. ①③④ 【答案】B
【解析】对于命题①，因为2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，所以算得
2
0.64R
≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”，故该命题①是正确
的；对于命题②，由于随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的整齐程度，因此方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的差异越大，命题②是错误；对于命题③，由于整个正太曲线都在轴上方，所以命题③的说法是不正确的；对于命题④，由于正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越贴近于轴，因此命题④的说法是正确的；对于命题⑤，由于随机变量
()~0,1N ξ，且()1P p ξ>= ，所以依据正太曲线的对称性可得()1P p ξ<-= ,故
()1112,P p ξ-<<=- 所以()1102
P p ξ-<<=
-，即命题⑤是正确的，综上应选
答案B 。

8．用数学归纳法证明()*
11111,23421
2
n
n n N +
+++
+
>
∈-假设()*
n k k N
=∈
时
成立,当1n k =+时,左端增加的项数是 A. 1项 B. 1k -项 C. k 项 D. 2k 项 【答案】D
【解析】因为从12121k k +-→-有()1
2
22
212k k k
k
+-=-=
项，所以左端增加的项是
2k
项，应选答案D 。

9．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件A = “三次抽到的号码之和为6”，事件B = “三次抽到的号码都是2”，则(|)P B A =（ ） A.
17
B.
27
C.
16
D.
727
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，事件A = “三次抽到的号码之和为6”的概率为
()
3
33
173
27
A P
A +=
=
，事件,A B 同时发生的概率为()3
113
27
P A B ⋂=
=
，所以根据
条件概率的计算公式()
()
1
127
(|)7727
P
A B
P B A P
A ⋂
=
=
=
. 【考点】条件概率的计算.
10．若幂函数()f x 的图象过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，则函数()()2x
g x e f
x =的单调递减区间为
A. (),0-∞
B. (),2-∞-
C. ()10-，
D. ()20-， 【答案】C
【解析】设函数()122
f x x
α
α
⎛=⇒=
⎪⎝⎭
，所以2α=，则()22
x g x e x =，故
()()22
222221x
x
x
g x e
x e
x x e x '=+=+，令()0g x '<可得10x -<<，应选答案C 。

11．如图()y f x =是可导函数，直线:2l y k x =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =， ()g x '是()g x 的导函数，则()3g '=（ ）
A. -1
B. 0
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】试题分析：先从图中求出切线过的点，再求出直线L 的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出'3g （）的值．
∵直线2L y k x =+：是曲线()y f x =在x=3处的切线，∴f （3）=1，又点（3，1）在直线L 上，
11321'3'',
3
3
k k f k g x x f x g x f x x f x ∴+=∴=-
∴==-
=∴=+，，（），（）（），（）（）（） 1'333'31303g f f ∴=+=+⨯-=（）（）（）（），
故选B ． 【考点】利用导数研究函数的单调性
12．已知定义在()0+∞，上的可导函数()f x ，满足①()0f x >，②()()()2f x f x f x '<<，(其中()f x '是()f x 的导函数，
2,71828
e =是自然对数的底数)，则
()()
12f f
的范围是
A. 2
1
1,
2e
e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B. (),2e e
C. ()2
,e e
D. 2
11,
e
e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】构造函数()()
()()()
0x
x
f
x f x f
x F x F x e
e -=
⇒=
'>'，所以()()
x
f
x F
x e
=
是
单调递增函数，由()()()()
2
1212f f
F F e
e
<⇒
<
，所以
()()2
112f e f e
e
<=
；再令
()()
()()()
2220x
x
f x f x f
x G
x G
x e
e '-=
⇒=
<，所以()()
2x
f x G
x e
=
是单调递减函数，
由()()()()
2
4
1212f f
G G e
e
>⇒>
，所以
()()
24
2
112f e f
e
e
>
=
，综上
()()
2
1112f e
f
e
<
<
，应
选答案D 。

点睛：解答本题的难点在于怎样借助题设条件构造函数()()
x
f
x F x e
=
和
()
()
2x
f x G
x e =
，这是解答本题的难点和关键之所在，求解时先对构造的两个函数
()()
x
f
x F
x e
=
和()()
2x
f x G x e
=
求导，再断定函数的单调性，然后借助函数的单调性求
出
()()
12f f
的取值范围使得问题获解。

二、填空题 13．曲线2
x y x =
-在点()1,1-处的切线方程为 .
【答案】21y x =-+
【解析】试题分析：，当时，，根据导数的几何意义，知导数就是在这点处切线的斜率，代入方程，整
理得：
.
【考点】1.导数的四则运算；2.导数的几何意义;3.切线方程.
14．计算由曲线2
2,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________． 【答案】18
【解析】因为
22
2
{{
2
4
x
y x
y
y x
=
=
⇒
=-
=-
或
8
{
4
x
y
=
=
，所
以
)
2833
228
22
02
02
11656
4|4|618
33233
S x x d x x x x
⎛⎫=++=+-+=-+=
⎪
⎪
⎝⎭
⎰⎰
，应填答案18。

15．已知()()()
1
f x a x x a
'=+-是函数()
f x的导函数，若()
f x在x a
=处取到极大
值，则实数a的取值范围是____________．
【答案】（-1，0）
【解析】因为()()()
1
f x a x x a
'=+-，所以当0
a>时，函数()()()
1
f x a x x a
'=+-
的图像的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为()()
1,0,,0
a
-，所以当()
1,
x a
∈-
时，()0
f x
'>，函数()
y f x
=是单调递增函数；当()
,
x a
∈+∞时，()0
f x
'<，
函数()
y f x
=是单调递增函数，故函数()
f x在x a
=处取极小值，不合题设；当0
a<
时，函数()()()
1
f x a x x a
'=+-的图像的开口向下上，与x轴的两个交点坐标分别为
()()
1,0,,0
a
-，所以当()
1,
x a
∈-时，()0
f x
'<，函数()
y f x
=是单调递减函数；
当()
,
x a
∈+∞时，()0
f x
'>，函数()
y f x
=是单调递增函数，故函数在()
f x在
x a
=处取极大值，符合题设，所以10
a
-<<，应填答案()
1,0
-。

点睛：解答本题的关键是运用分类整合的数学思想对实数a分类讨论，再借助导数的函
数值与函数单调性之间的关系进行分析推断，进而确定参数a的取值范围。

16．已知偶函数()
y f x
=对于任意的0,
2
x
π
⎡⎫
∈⎪
⎢
⎣⎭
满足()()
co s sin0
f x x f x x
'+>（其
中()
f x
'是函数()
f x的导函数），则下列不等式成立的有_____________(填上序号) ．
34
f
ππ
⎛⎫⎛⎫
-<
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
34
f
ππ
⎛⎫⎛⎫
->-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
③(
)0
4
f
π
⎛⎫
<-
⎪
⎝⎭
④
63
f
ππ
⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【答案】②③④
【解析】构造函数()
()
c o s
f x
F x
x
=，因()
()()
2
c o s s i n
c o s
f x x f x x
F x
x
+
'
'=且()()
co s sin0
f x x f x x
'+>，故()0
F x
'>，则函数()
()
c o s
f x
F x
x
=是0,
2
π
⎡⎫
⎪
⎢
⎣⎭
上的单调
递增函数，由于
3
4
π
π
>
，故34F F ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以
34f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不成立，
即不等式①不成立；又
3344f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，故
3434f f ππππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--- ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
不成立，即成立，则不等式②成立；又因
04
π
>，故
()()0044f
f
ππ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即
，所以不等式③成立；又因为
3
6
π
π
>
，故36F F ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即36f ππ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故不等式④成立，
应填答案②③④。

点睛：本题是一道多项选择填空问题，由于答案的不唯一，使得问题的求解具有一定的困难。

解答本题的关键是怎样构造函数()()
c o s f
x F x x
=
，这是解答本题的关键和难点之
所在，求解时先将函数()()
c o s f
x F x x
=
的导数求出，断定出函数()()
c o s f
x F x x
=
0,2π⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭在
上的单调性是单调递增函数，然后逐一验证每个答案的正确性，从而做出正确的判断，选出正确的答案序号。

三、解答题
x
（Ⅰ）画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性
回归方程ˆˆˆy
b x a =+； （Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？
（附：线性回归方程中()()
()
112
2
2
11
ˆˆˆ{
n
n i
i
i i i i n
n
i
i i i x x
y y
x y n x y b
x x
x n x
a
y b x ====---==
--=-∑∑∑∑
，其中
1
1n
i
i x x
n
==
∑， 1
1n
i
i y y
n
==
∑）．
【答案】(1)详见解析;(2) 0.70.5ˆ3y
x =+;(3) 当10x =时， ˆ7.35y =万元. 【解析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算4
i 1
x i i y =∑，
4
2i
1
x
i =∑，
再借助()()
()
112
2
2
11
ˆˆˆ{
n
n i
i
i i i i n
n
i
i i i x x
y y
x y n x y b
x x
x n x
a
y b x ====---==
--=-∑∑∑∑
计算出ˆ,b a ，求出回归方程；（3）
依据线性回归方程0.70.5ˆ3y
x =+求出当10x =时， ˆy 的值： 【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证1n =时成立，再假设当
(
)*
n k k N
=∈时，不等式成立，分析推证1n k =+时也成立：
(1)
(2)
4
i
1
x
66.5i i y ==∑； ¯ 4.5,= ¯ 3.5=
4
22222i 1
x 345686i ==+++=∑
0.7,0.5ˆ3b
a ==
所求的线性回归方程： 0.70.5ˆ3y
x =+ (3)当10x =时， ˆ7.35y
=万元 18．用数学归纳法证明对一切*2
2
2
1113,1.2
3
21
n n N n
n ∈++
++
≥
+
【答案】详见解析
【解析】【试题分析】按数学归纳法证明命题的步骤：先验证1n =时成立，再假设当
(
)
*
n k k N
=∈时不等式*2
2
2
1113,12
3
21
n n N n
n ∈+
+
++
≥
+成立，分析推证
1n k =+时也成立：
证：(1)当1n =时,左边=1,右边=
311211
⨯=⨯+,不等式成立;
(2)假设当()*n k k N =∈时，不等式成立， 即2
2
2
111312
3
21
k k
k +
+
++
≥
+
则当1n k =+时，要证()
()()2
2
2
2
3111
11
12
3
211
1k k
k k ++
+
+++
≥
+++成立
只要证
()
()()2
3131
21
2111k k k k k
++
≥
++++即可
因为
()
()
()()
()
()
2
2
2
31231
021
211
11483
k k k k k k k k k
k +++
-
=
≥+++++++
所以
()
()()2
3131
21211
1k k k k k
++
≥
++++
即()
()()2
2
2
2
311111
12
3
211
1k k
k k ++
+
+
+
+
≥
+++成立，
所以当1n k =+时不等式成立.
由（1）（2）知，不等式对一切*n N ∈都成立.
19．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的22⨯列联表：
（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X ，求X 的分布列，数学期望及方差；
（Ⅱ）根据表中数据，能否有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关？若有，有多大把握？
附：
()
()()()()
2
2
n a d b c K
a b c d a c b d -=
++++
【答案】（1）()98
E X = ()4564
D X =
；（2）没有充分证据判断爱好羽毛球运动
与性别有关.
【解析】【试题分析】（1）先求出随机变量X 的概率()0P X =， ()1P X =，
()()23P X P X ==，及分布列，再运用随机变量的数学期望公式及方差计算公式求
解；（2）先借助
22列联表中的数据，运用卡方计算公式
()
()()()()
2
2
n a d b c K
a
b c d a c b d -=
++++
算出2
0.3556K =，再与参数表进比对，从而做出判断：
解：(1)任一学生爱好羽毛球的概率为
38
,故3~3,
8X B ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
. ()3
3512508512P X C ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭
; (
)1
2
1
335225188512P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(
)2
1
2
335135288512P
X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ; ()3
3332738512P X C ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭
()
3938
8
E
X =⨯
=
()354538
8
64
D X =⨯
⨯
=
(2) ()2
2
8020201030800.3556 2.70630503050
225
K
⨯-⨯=
=
=<⨯⨯⨯
故没有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关. 20．已知i 是虚数单位．
（Ⅰ）复平面内表示复数()()22815514z m m m m i =-++-- ()m R ∈的点位于第四象限，求满足条件的m 取值集合；
（Ⅱ）复数()214z m m i =+- ()m R ∈， ()22co s 3sin z i θλθ=++ (),R λθ∈，并且12z z =，求λ的取值范围．
【答案】(1) {}m |-2m 3,5m 7<<<<或;(2) 9,7
16
⎡
⎤
-
⎢⎥⎣⎦
. 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件及第四象限的坐标的符号建立不等式组
22
m 8150{ 5140m m
m -+>--<，通过解不等式使得问题获解；
（2）借助题设条件得到方程组2
2c o s {
43m m
s in θ
λθ
=-=+，通过消参数
m
化为函数
2
2
44co s 3sin 4sin 3sin λθθθθ=--=-问题，再依据正弦函数的有界性确定函数的
定义域，进而求函数的值域： 解：(1) 22
m 8150{
5140
m m
m -+>--< ⇒解集：
{}m |-2m 3,5m 7<<<<或
(2) 根据题意： m 2co s θ=，且243sin m λθ-=+
即： 2
2
44co s 3sin 4sin 3sin λθθθθ=--=-=2
394s in 816θ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
1sin 1θ-≤≤ 3s in 8
θ∴=
当时， m in 916
λ=-
sin 1θ∴=-当时， m a x 7λ=
λ∴的取值范围是9,716⎡⎤
-
⎢⎥
⎣⎦
点睛：解答本题的第一问时，依据题设条件及第四象限的坐标的符号建立不等式组
22
m 8150{ 5140
m m
m -+>--<，通过解不等式使得问题获解；求解第二问时，先借助题设条件建
立方程组2
2c o s {
43m m
s in θλθ
=-=+，通过消参数
m
化为函数
()22
44co s 3sin 4sin 3sin λθθθθθ=
--=-问题，
再依据正弦函数的有界性确定函数的定义域 为[]1,1-，进而求函数()λθ的值域。

21．已知函数()()()21,x f x a x x e a R a =+-∈且为常数． （Ⅰ）当1a =时,求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()1,a f x =-的图象与()3
2
113
2
g x x x m =+
+的图象有3个不同的交点,求实
数m 的取值范围．
【答案】(1) ()f x 的单调递减区间： ()3,0-, ()f x 的单调递增区间：
()(),3;0,-∞-+∞;(2) 31,16e ⎛⎫
---
⎪⎝⎭
. 【解析】【试题分析】（1）先求函数()()21x f x x x e =+-的导数()()3x
f x x x e +'=，
再分类判断导函数当330x x <--<<，及0x >时的符号，确定单调性，进而求出其单调区间；（2）先构造函数()()()h x f x g x =-=()21x a x x e +- 3
2
11
3
2x x m ⎛⎫-+
+
⎪⎝⎭
，再求其导数，分别求出其极大值与极小值，然后数形结合建立不等式组()()10{ 00
h h -<>通
过解不等式确定实数m 的取值范围：
解：(1)当1a =时，函数()()21x f x x x e =+- 求导，得()()3x
f x x x e +'= 令()0f x '=，得120,3x x ==-
当3x <-时， ()0f x '>， ()f x 是单调递增函数； 当30x -<<时， ()0f x '<， ()f x 是单调递减函数； 当0x >时， ()0f x '>， ()f x 是单调递增函数； 综上所述： ()f x 的单调递减区间： ()3,0-
()f x 的单调递增区间： ()(),3;0,-∞-+∞ (2)令()()()h x f x g x =-=()21x a x x e +- 3
2
11
3
2x x m ⎛⎫-+
+
⎪⎝⎭
()(
)()
2
1x
h x x x
e
=-++',
当0x >时， ()0h x '<， ()h x 是减函数； 当10x -<<时，令()0h x '>， ()h x 是增函数； 当1x <-时， ()0h x '<， ()h x 是减函数；
()h x ∴在1x =-处取得极小值()3116h m e -=-
--
在0x =处取得极大值()01h m =--
若函数()(),f x g x 的图象有3个不同的交点，则()h x 有3个不同的零点.
()()10{
00
h h -<∴>,即310
{
6
10
m e
m ---<-->得m 的取值范围为31,16e ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
点睛：本题以含参数的函数解析式为条件，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。

求解第一问时，先求函数()()21x f x x x e =+-的导数
()()3x
f x x x e +'=，再分类判断导函数当330x x <--<<，
及0x >时的符号，确定单调性，进而求出其单调区间；解答第二问时，先构造函数
()()()h x f
x g x =-=()
2
1x
a x x e +- 321132x x m ⎛⎫-+
+ ⎪⎝⎭
，再求其导数，分别求出其极大值与极小值，然后数形结合建立不等式组()()10{ 00
h h -<>，通过解不等式求出实数m
的取值范围。

22．设()()ln 1
x a x
f x x +=
+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线
210x y ++=垂直．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若[)()()1,,1x f x m x ≤∀∈+∞-恒成立，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
()2
1
N *41
n
i i n i =<
∈-∑
．
【答案】（I ）0a =；（II ）12
m ≥
；（III ）证明见解析.
【解析】试题分析：（I ）由题得()112
f '=
解得0a =；（II ）由
[)(
)()1,,1x f x m x ≤∀∈+∞-
得1ln x m x x ≤⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，构造函数
()1ln g
x x m x x ⎛
⎫=-- ⎪
⎝
⎭，本题转化成[)()1,,0x g
x ≤∀∈+∞，求导得
()2
22
1
11m x x m g x m x x x -+-⎛
⎫=-+= ⎪⎭'⎝，对m 进行分类讨论，得12m ≥；（III ）令*
21,N 21
k x k k +=∈-，
是(
)()2
1l n 21l n 21441k k k k
⎡⎤+--
<⎣⎦
-，对m 进行赋值对应相加
得
()2
1
1ln 214
41
n
i i
n i =+<
-∑
，即()2
1
ln N *41
n
i i
n i =<
∈
-∑
.
试题解析：（Ⅰ）因为()()()()
2
ln 1ln 1x a x x x a x x f x x +⎛⎫
++-+ ⎪⎝⎭
+'=
，
由题设()112
f '=
，所以
()2114
2
a +=，所以0a =．
（Ⅱ）()ln 1x x f x x =
+， [)()()1,,1x f x m x ≤∀∈+∞-恒成立，即1ln x m x x ≤⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
， 设()1ln g x x m x x ⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
，即[)()1,,0x g x ≤∀∈+∞， 而()2
22
1
11m x x m g x m x x x -+-⎛
⎫=-+= ⎪⎭
'⎝， ①若0m ≤， ()0g x '>， ()()10g x g ≥=，这与题设矛盾； ②若0m >，方程20m x x m -+-=根的判别式214m ∆=-， 当0≤∆，即12
m ≥
时，
所以()()10g x g ≤=，即不等式成立．
当102
m <<
时，方程其
根1102x m
-=
>，
2112x m
+=
>；当
()21,x x ∈时， ()0g x '>， ()g x 单调递增，则()()10g x g >=，与题设矛盾．
综上， 12
m ≥
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时， 12
m =时， 11ln 2x x x ⎛⎫
<
- ⎪⎝⎭
成立， 不妨令*
21,N 21
k x k k +=
∈-，所以2
21121214ln
21
2212141
k k k k k k k k ++-⎛⎫<
-= ⎪--+-⎝⎭，
即
()()2
1ln 21ln 214
41
k k k k
⎡⎤+--<
⎣⎦-
∴[][]()()2
22
11314411
1
253{
4
421
121214
41
ln ln ln ln n
ln n ln n n -<⨯--<
⨯-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎡⎤+--<⎣⎦
⨯-，
累加得：
()2
1
1ln 214
41
n
i i n i =+<
-∑
，即()2
1
ln N *41
n
i i n i =<
∈-∑
．
【考点】导数的几何意义、导数与函数的单调性、构造法.。