高中数学第一章数列2.1等差数列(二)学案北师大版必修5(2021学年)

2017-２0１8版高中数学第一章数列２．1 等差数列(二)学案北师大版必修5
编辑整理:
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２０１7-２０１8版高中数学第一章数列 2.1 等差数列（二)学案北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为２01７-２０18版高中数学第一章数列２.1 等差数列（二)学案北师大版必修５的全部内容。

2.1 等差数列(二）
学习目标１。

能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．2。

能运用等差数列的性质解决有关问题.
知识点一等差数列通项公式的推广
思考１已知等差数列{a n}的首项a1和公差d能表示出通项a n＝a１+(n-1)d,如果已知第m项a m 和公差ｄ,又如何表示通项a n?
思考2 由思考１可得d＝错误!，ｄ=错误!，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗?
梳理等差数列{aｎ}中,若公差为d,则aｎ＝aｍ＋（n-m)d,当n≠m时,ｄ＝＼f（ａｎ-a m，ｎ-m）.知识点二等差数列的性质
思考还记得高斯怎么计算1+2＋3+…+10０的吗?推广到一般的等差数列,你有什么猜想?
梳理在等差数列{ａｎ}中，若ｍ＋n=ｐ＋q(m,n，p,q∈N＋),则a m+__＿_＿___＝ａp+_＿＿__＿_＿．特别地，若m＋n=2p，则ａn+a m=２ａp。

知识点三由等差数列衍生的新数列
思考若{aｎ｝是公差为d的等差数列，那么{ａｎ+ａn+2｝是等差数列吗?若是,公差是多少?
梳理若｛a n｝，｛b n}分别是公差为d,d′的等差数列，则有
数列结论
｛c+ａn｝公差为ｄ的等差数列（c为任一常数）
{c·a n｝公差为cd的等差数列(c为任一常数）
{a n＋ａn＋
k }
公差为2d的等差数列（ｋ为常数,k∈N+)
{paｎ+qbｎ}公差为pｄ+qd′的等差数列(p,ｑ为常
数)
类型一等差数列推广通项公式的应用
例１在等差数列{ａn}中,已知a2=5,a８=17,求数列的公差及通项公式. 反思与感悟灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.
跟踪训练1 数列｛a n｝的首项为３，{b n}为等差数列,且b n=a n＋1－a n（n∈N＋）,若b3=-2，ｂ１＝12，则a８等于（）
０
A．0 B.3 C．８D．１1
类型二等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{aｎ}的通项公式a n＝pn＋q，其中ｐ，ｑ为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少？
反思与感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
（1)从递推公式上看，a n+１－aｎ＝ｄ(ｄ为常数，n∈N+)⇔｛ａｎ｝是等差数列;
(2)从任意连续三项关系上看，2a n＋1＝ａｎ＋a n＋2（n∈N+)⇔{aｎ}是等差数列；
(３）从通项公式代数特点上看,a n=kn+b(ｋ,b为常数,n∈N＋)⇔{a n｝是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如:其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N＋,a n+1－a n的结果不等于同一个常数等.
跟踪训练２若数列｛a n}满足a1=1５,３a n+1＝3a n-2,则使a k·ａk＋1<0的k值为_＿＿_____．
类型三等差数列性质的应用
引申探究
１.在例３中，不难验证a１+a4+a7＝a2＋a４＋ａ6,那么,在等差数列｛ａn}中,若ｍ＋n+ｐ＝ｑ+r ＋s，ｍ,n,p,q，r，ｓ∈N+，是否有ａｍ＋ａn+aｐ＝a q＋a r+a s？
2.在等差数列{a n}中,已知a３+a8＝10,则３a５＋a7＝＿__＿____.例3 已知等差数列{a n}中,a1+ａ
＋ａ７=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式．
4
反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{a n｝的性质;二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通项方法;或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3 在等差数列｛a n｝中,已知a１＋a４+a7＝39，a２+ａ5＋ａ8＝33,求a3＋ａ6＋a9的值．
1.等差数列｛aｎ}中，已知a3＝1０,a8＝-2０,则公差d等于( )
A．3 ﻩB．－６
Ｃ．４ﻩＤ．－3
2.在等差数列{a n}中,已知ａ４=2，a８=１4,则a15等于( ) A．３2 ﻩ B.-3２
C．3５ D.－35
3．等差数列{ａn}中，a4+a５=15,a7=１２,则ａ２等于（ )Ａ.３ﻩB．－3
C.3
2
D.－
3
２
1．在等差数列{a n}中,当m≠ｎ时，d＝错误!,利用这个公式很容易求出公差,还可变形为a m＝a n+(m－n）d．
2．等差数列｛a n｝中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列.
3.等差数列{ａn｝中,若m＋ｎ＝p＋q,则a n+a m＝ａp＋ａｑ（n,m,ｐ，q∈N+)，特别地，若m＋n ＝２p,则a n＋a m=2a p.
4．在等差数列｛a n｝中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据ａ1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 设等差数列的首项为a1，则a m＝ａ1＋(ｍ-1）d,
变形得ａ1＝aｍ－(m-1)d,
则a n＝a1＋（ｎ-1)d＝ａｍ-（m-1）ｄ＋(ｎ-1)d
=ａm+（n-m）ｄ。

思考2 等差数列通项公式可变形为aｎ=dn+(ａ1-d）,其图像为一条直线上孤立的一系列点,（1,ａ
１
）,(ｎ，a n)，(m，aｍ)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1,a1),(n,ａn)连线的斜率ｄ＝错误!.当两点为(n,a n)，(m,ａm）时,有d＝错误!。

知识点二
思考利用１+１00＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即ａ1+a n=a２＋a n-１＝ａ３＋a n-2=….
梳理aｎa q
知识点三
思考∵(ａn＋1+a n＋3）－(a n+aｎ+2)
＝(a n＋1－a n)+（a n＋3-a n＋２）
＝d+d＝2d.
∴{a n＋a n+２｝是公差为2ｄ的等差数列．
题型探究
例1 解因为a8＝a２+(8-２)d，所以17=5+6ｄ，解得d＝2。

又因为ａn=ａ2＋（n-2)d，
所以a n＝５＋(n-２)×2=2ｎ＋1。

跟踪训练１ B ［∵{ｂｎ}为等差数列,设公差为d,
则d=＼ｆ(b10-b3,１0-3）=12-－２
７
=2，
∴ｂn＝b3＋(n-３)ｄ＝2n－8。

∴a8＝(a8－a7)+(a7-a6）＋(a6-a5）＋(a５-ａ４）+（ａ4－a3)+（ａ3-a2）+(a2－a1）+a1 =b7+b6＋…+b１+a1
=(b7＋b1）＋(b6+b2)+(ｂ5+b3）+ｂ４+ａ1
＝7b４＋ａ１＝7×０＋3=3．］
例2 解取数列{aｎ｝中任意相邻两项aｎ和a n-1（n〉１）,
求差得a n－a n－１=(pn＋q)-［ｐ（ｎ－1）+q］＝pn+q-(pn－p+q）＝ｐ．它是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列.
由于a n＝pn＋q＝q+ｐ+(n-1)p，
所以首项a1＝ｐ+q,公差d=p。

跟踪训练2 ２３
解析由3a n+1=3a n－2,
得aｎ+1-aｎ＝-错误!.
∴{a n}是首项为15，公差为－错误!的等差数列,
∴aｎ＝a1+(n－１)ｄ
＝1５＋(n－1)×(－错误!)
=－
2
３
ｎ＋错误!.
令a n＝0，解得n=错误!＝２３。

５,
∵ｄ＝-＼f(2，3）,数列{a n｝是递减数列，
∴a23〉0，a２4〈0．
∴k=23。

例3 解方法一因为a１+a７=2a4,ａ1+a4＋ａ7＝3a4＝１5，所以a4=5。

又因为ａ2ａ4a6＝４５，所以ａ２a6＝9,
即(ａ４－２ｄ）（a４＋2d)＝9，（5-2ｄ)(5+2ｄ)＝9，
解得d=±2。

若d=2,ａn=a4＋(n-4)ｄ=2n-3；
若d＝-2，ａn＝a4+(n－4)ｄ=１3-2n。

方法二设等差数列的公差为d,
则由ａ1＋a4＋ａ7＝15,得
a
1
+a1＋3d＋a１+６ｄ=15,
即a1+3d＝５, ﻩ①
由a2a4a6=4５，
得（a１＋d)（a1+3ｄ）(a１+5d)=45，
将①代入上式，得
（a1+d)×5×(5＋2d）=４5,
即(a1＋d）×(5+２d)＝9, ﻩ②
解①,②组成的方程组,得a1=-１,ｄ=2或ａ１＝１1,d=－2，
aｎ＝－1+2(n-1）=2n-3
或a n＝11－2（n-１）＝-2ｎ＋13。

引申探究
1.解设公差为d，则ａｍ＝a1＋（m－１)ｄ,
a n=a
+(ｎ-１)ｄ，
1
a p＝a
＋（p－1）d，
１
a q=a
+（q－1)d，
1
aｒ＝a
＋（r-１)d，
1
a s＝ａ
+(s－1)d，
１
∴aｍ+aｎ＋a p=３ａ1＋(ｍ+n＋p－３)ｄ,
aｑ＋a r+ａs＝3ａ
＋(ｑ＋r+s-３）d,
1
∵ｍ＋ｎ+ｐ＝q＋r＋ｓ,
∴aｍ+a n+aｐ＝a q+ａr+ａs.
2．2０
解析∵ａ3+a8＝10，
∴ａ3+a3+a8+a8=２０。

∵3+3＋8＋8＝5+５+5＋７，
∴a3+a3＋ａ8＋a８＝a5+a５＋ａ5+a7,
即3a5＋a７=２(a３＋a8)＝20.
跟踪训练3 解方法一∵（a2＋a5＋a８)-(a1＋a４＋a7)＝3d，（ａ3+a6＋a9）-(ａ2＋a5＋ａ8)＝3d,
∴a1＋a４＋a７,a２+a5+a8,ａ３+a６＋ａ9成等差数列．
∴a3＋a6＋ａ9＝2(a2＋a５＋a８)－(ａ1+a4＋a7）
=2×３3－39＝27.
方法二∵ａ1+ａ4＋ａ7＝a1+(a1+３ｄ)＋(a1＋6d)
=3a1+9d＝3９,
∴ａ１+3d=13，①
∵ａ2＋a５+ａ8=(ａ1+ｄ）+（a1+４ｄ)＋(a1+７d)
=3ａ1＋１２d=33。

∴a１+4d=11，ﻩ②
由①②联立错误!得错误!
∴a3＋a6＋a９＝(ａ１+2d)+（a1＋5ｄ)＋（a１+8ｄ)
=３a1+１５d＝3×1９+15×(－2)＝27。

当堂训练
1．Ｂ２.Ｃ３。

Ａ
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富，科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了,但只要你依然有着这样一份小小的坚持，你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰,从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。

The aｂove ｉs the whole conteｎt of ｔhis arｔicle, Gorky saiｄ: "the bｏok ｉｓｔhe ｌａdder of humaｎ progresｓ." Ｉ hｏpe yoｕ can maｋe ｐrｏgrｅss with tｈe help oｆ thiｓ laｄdeｒ. Ｍaterｉal ｌife is ｅｘtr ｅmeｌy rich, scieｎce anｄ techｎoｌoｇy arｅ developｉng rapiｄly, all ｏf whiｃh grａdｕally ｃhange the ｗａｙof peoplｅ's sｔｕdｙ and ｌeisure. Ｍａｎy pｅｏple aｒｅｎo longｅr eager tｏ pｕrsｕe a documｅn ｔ， but as long as ｙou ｓtｉll haｖe such ａsmａll ｐersisｔence，
you wilｌ coｎtinｕｅ to gｒow and progrｅｓs． Wｈｅn the comｐlex w ｏrlｄ leads uｓ to cｈasｅoｕt, ｒeadiｎg an artｉcle ｏr ｄoinｇ a problem makeｓ uｓｃaｌm dｏwｎ and returｎ tｏouｒselves. Wｉth l ｅarning, we ｃａn ａｃtiｖaｔe ouｒiｍaginatｉon ａnd tｈｉnkｉng, estabｌish our belieｆ, keep ｏｕr ｐｕre ｓpｉｒitual world and rｅsist ｔｈe atｔaｃk of the eｘｔｅrｎaｌworld．。