江西高二高中数学月考试卷带答案解析

江西高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若直线与直线互相垂直，则的值为（）
A．1B．-1C．D．
2.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3.圆和圆的位置关系是( )
A．相离B．相交C．内切D．外切
4.设，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
5.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为() A．a2B．a2C．a2D．a2
6.下列说法错误的是（）
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直；
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行．
7.设等差数列的前项和为，若,则的值是
A．24B．19C．36D．40
8.过点（1，1）的直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A．B．4C．D．5
9.在中，若，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
10.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11.已知实数，满足，其中，则的最小值为（）
A．4B．6C．8D．12
12.曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()
A．(0，)B．(，＋∞)C．(，]D．(，]
二、填空题
1.二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为_____________,最大值为
________________.
2.点在上，则点到直线的最短距离为____________
3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________．
4.如图所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是
________．
三、解答题
1.已知数列的首项，前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
（Ⅰ）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（Ⅱ)若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．
3.已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且
求
的面积．
4.如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，点G 是AC 的中点．
（1）求证：B 1C ∥平面 A 1BG ； （2）若AB=BC ， ，求证：AC 1⊥A 1B ． 5.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是、边长为2的菱形，又
，且PD=CD ，点M 、N 分别
是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面 PMB 平面PAD ；
（3）求二面角P-BC-D 的余弦。

（理科生做，文科生不做） 6.已知圆经过点， ，并且直线平分圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
江西高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由两直线
垂直充要条件
得：
，选C.
2.已知是三条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则
D ．若
，则
【答案】B
【解析】A中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：是两条相交直线，结论才成立，故A项错误；B中，因为，所以. 又，所以，故B项正确；C中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面外，结论才成立，故C项错误；D中，与还可以相交或异面，故D项错误，故选B.
【考点】空间中直线与平面的平行与垂直关系.
3.圆和圆的位置关系是( )
A．相离B．相交C．内切D．外切
【答案】B
【解析】因为两圆圆心之间距离为 ,所以位置关系是相交,选B.
4.设，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
,故选B.
【考点】指数函数、对数函数的性质.
5.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为() A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】D
【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝ (a)2，∴S＝a2.
6.下列说法错误的是（）
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直；
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行．
【答案】D
【解析】由平面性质的公理1,，2,3易知A,B正确；由面面垂直的判定定理知选项C正确；而选项D不正确，因为这两条直线可能相交，可能平行，可能异面
【考点】空间中点线面的位置关系
7.设等差数列的前项和为，若,则的值是
A．24B．19C．36D．40
【答案】A
【解析】得，，
=
8.过点（1，1）的直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【解析】因为弦心距最大为，此时此时|AB|的最小值为2，选B
9.在中，若，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理得
即形状是等腰或直角三角形
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
10.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】如图所示，直线与平行，故为异面直线与所成的角，；
【考点】异面直线所成的角；
11.已知实数，满足，其中，则的最小值为（）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【解析】实数，满足，其中,当且仅当即时取等号.的最小值是4.所以A选项是正确的.
点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件化为1，即
.
12.曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()
A．(0，)B．(，＋∞)C．(，]D．(，]
【答案】C
【解析】
由题设可化为过定点的动直线与半圆有两个交点，如图，圆心到直线的距离是，又，结合图形可知：当，即，应选答案C。

二、填空题
1.二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为_____________,最大值为
________________.
【答案】 8 8
【解析】不等式组画出的平面区域如下。

则区域为梯形，其面积为，当取点P时，取得
最大值为8.
【考点】线性规划
点评：线性规划一般作为选择题和填空题，因而可用特殊法。

大家用常规方法求这类题目会发现，目标函数取得最值一定是在交点处，所以本题先将不等式变成直线，求出交点，再代入目标函数，得到的值就有最大者跟最小值。

2.点在上，则点到直线的最短距离为____________
【答案】2
【解析】由题意得圆的圆心为则圆心到直线的距离为
所以点到直线的最短距离为
【点评】解决此类题目的关键是熟悉直线与圆的位置关系，熟记点到直线的距离公式，然后准确的计算出最小距离．
3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________．
【答案】
【解析】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；
由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，
在中,BC=，
在中,BD=，
在中,AD=
则三棱锥中最长棱的长为
故答案为：
4.如图所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是
________．
【答案】①②③
【解析】所在的平面，,
,又为圆的直径，是圆上的一点，
,又,
平面,平面，
，又,
平面，又平面，
,即①正确；
又，故不与平面垂直，即④错误；
又,同理可证平面,平面，
,即②正确；
由平面,平面知，,即③正确；
故答案为①②③.
【考点】线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理.
三、解答题
1.已知数列的首项，前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先根据和项与通项关系，将条件转化为项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求数列的通项公式；（2）因为，所以利用分组求和法求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意得
两式相减得，
所以当时， 是以为公比的等比数列.
因为
所以， ，对任意正整数成立， 是首项为，公比为的等比数列，
所以得.
（2）
，
所以，
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如
），符号型（如
），周期型 （如
）
2.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．
（Ⅰ）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ)若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a 的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】
(Ⅰ)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．
(Ⅱ)分别求得直线在坐标轴上的截距，然后结合面积公式得到关于实数a 的方程，解方程可得a ＝0或a ＝8. 试题解析：
（Ⅰ）直线l 的方程(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 因为直线l 不经过第二象限，所以解得a ≤－1.
所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}． （Ⅱ)当x ＝0时，y ＝a －2；当y ＝0时，x ＝. 所以|(a －2)·|＝2，解得a ＝0或a ＝8.
3.已知分别是内角的对边，
．
（1）若，求
（2）若
，且
求
的面积． 【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出
（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得 又，可得 由余弦定理可得
（2）由（1）知 因为，由勾股定理得 故，得 所以的面积为1
【考点】正弦定理，余弦定理解三角形
4.如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，点G 是AC 的中点．
（1）求证：B 1C ∥平面 A 1BG ； （2）若AB=BC ， ，求证：AC 1⊥A 1B ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）连结，交于点，连结，由三角形中位线定理得，由此能证明平面；（2）由线面垂直得，由已知推导出，从而得到，由此能证明
.
试题解析：（1）证明：连结AB 1，交A 1B 于点O ，连结OG ，在△B 1AC 中，∵G 、O 分别为AC 、AB 1中点，∴OG ∥B 1C ，又∵OG ⊂平面A 1BG ，B 1C ⊄平面A 1BG ，∴B 1C ∥平面 A 1BG ．
（2）证明：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BG ，∵G 为棱AC 的中点，AB=BC ，∴BG ⊥AC ，∵AA 1∩AC=A ，∴BG ⊥平面ACC 1A 1，∴BG ⊥AC 1，∵G 为棱AC 中点，设AC=2，则AG=1，∵，∴在Rt △ACC 1和Rt △A 1AG 中，，∴∠AC 1C=∠A 1GA=∠A 1GA+∠C 1AC=90°，∴A 1G ⊥AC 1，∵，∴AC 1⊥平面A 1BG ，∵A 1B ⊂平面A 1BG ，∴AC 1⊥A 1B.
5.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是、边长为2的菱形，又，且PD=CD ，点M 、N 分别
是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面 PMB 平面PAD ；
（3）求二面角P-BC-D 的余弦。

（理科生做，文科生不做） 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【解析】（1）要证明DN //平面PMB ，只要证明DN // MQ ；（2）要证明平面PMB 平面PAD ，只要证明MB 平面PAD .
（1）证明：取中点，连结、，因为分别是棱中点， 所以////，且， 所以四边形是平行四边形， 于是//
．
. （2），
又因为底面
是
,边长为的菱形，且为
中点，
所以.又，所以.
6.已知圆经过点， ，并且直线平分圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ;(2) 不存在直线.
【解析】试题分析: (1)由弦的中垂线必过圆心,所以求出线段的中垂线,与3x-2y=0的交点即为圆心,由两点间距离公式求圆的半径.(2) 设，由向量的数量积坐标表示可知,直线与圆组方程组,利用韦达代入上式,可求得k,同时检验判别式.
试题解析:（1）线段的中点，，
故线段的中垂线方程为，即.
因为圆经过两点，故圆心在线段的中垂线上.
又因为直线：平分圆，所以直线经过圆心.
由解得，即圆心的坐标为，
而圆的半径，
所以圆的方程为：
（2）设，
将代入方程，得，即，
由，得，
所以，.
又因为
所以
，解得或
此时式中，没有实根，与直线与交于两点相矛盾，所以不存在直线，使得.。