双曲线的几何性质-苏教版选修1-1同步分层练习

(九)双曲线的几何性质
(建议用时：45分钟)
［基础达标练］
一、填空题
2 2
X y
1.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线--彳=1的离心率是
a 2= 4,
b 2= 3,
c 2 = a 2+ b 2
=
7,
•- a =2, e
=-2-
【答案】
[:95902122】 X
2
1
十=1，则有：a 2
= 1, b 2
=-m ，
m
【答案】 -
> 0且入工1)所表示的双曲线有如下结论:
中正确的是
心率
和渐近线.
2 2
程为4-
12= j
2 2
X y 一一匚=1 4 12
2
2
俣
5.已知双曲线C ： 古=1(a >0,b>0)的离心率为 善-，则C 的渐近线方程为
对于方程X - y 2 = 1, a = 2, b = 1, c =&；对于方程
X *
4- y 2
=
入，a '= 对〒,
2.双曲线
mX + y 2
= 1的虚轴长是实轴长
的
2倍，贝y m 等于
由题设条件知，2=
1
m
，
(1)有相同的顶点；(2)有相同的焦点; (3)有相同的离心率；(4)有相同的渐近线.其
b '=V I,
c =>/5J ^,显然 a'、b’、 c '分别是 a 、b 、c 的寸亍倍，因此有相同的离
【解析】
【解析】 双曲线方程化为标准形式:
【解析】
【答案】 ⑶(4)
4.已知双曲线的焦点为(一4,0) , (4,0) ,离心率为 2,则双曲线的标准方程为
【解析】
c
•/ e = a =2, c = 4a = 2,
••• b 2= c 2- a 2 = 12,且焦点在X 轴上，故标准方
【答案】
【解析】由e n*5，得0=违
2 a
• c= £a, b= c—a = _a.
XV b 而02 —^2 = 1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=± ax,
1
•••所求渐近线方程为v =±尹
【解析】由已知得，双曲线焦点在X轴上，且C = 5, a= 3,
•••双曲线方程为7—±= 1. •渐近线方程为7—士 = 0，即X±V= 0.
9 16 9 16 3 4
【答案】 4X±3y= 0
2
八y
&已知F1, F2是双曲线孑—書=1（a> 0, b>0）的两个焦点，以线段
形MFF2，若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
••• PR—PF= 2a,. a n^c.[:95902123】
【答案】
1 y =± _x
6.与椭圆
9 25 14
=1共焦点，离心率之和为7的双曲线标准方程为
5
【解析】椭圆的焦点是（0,4） , （0，- 4）,
414 4
e=z,.双曲线的离心率等于百一7= 2,
= 2,.・.a=2. •- b = 4—2 = 12. 双曲线的标准方程为a
2 2
y x_
4 一 12= j
【答案】
2 2
y X
—一—=1
4 12
2 2
X V_
7.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆一+£=1
25 16
的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为
[:95902124】
F i F2为边作正三角
【解析】如图，设MF的中点为P, 由题意知MF丄PFi
在Rt△ PFF2 中，PR = F1F2 • sin60
1
F1F2 • cos 60 ° = 2C • 2=
=2c •当=V3c
C 2
• e
=亍=严=西+
1
【答案】 /+ 1 二、解答题
9.求双曲线9y 2
— 4X 2=— 36的顶点坐标、焦点坐标、
2 2
2
2
X y
【解】 将9y — 4x =— 36变形为云—"7 = 1,
"" 9 4 因此顶点为 A ( — 3,0) , A 2(3,O), 焦点坐标为F i (—屮3, 0) , F 2(屮3, 0),
实轴长是2a = 6,虚轴长是2b = 4,离心率 e =，渐近线方程： y =± -X =± |x .
a 3 a 3
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
5
(1)
虚轴长为12
,离心率为4； ⑵一条渐近线方程是 X — 2y = 0,且过点R4,3).
2 2
【解】 (1)设双曲线的标准方程为*一 ^2= 1
C ^5 . . 222
由题知 2b = 12, -=:且 C = a + b , • b = 6,
a 4
2
2
2
2
•标准方程为64一36=1
或64一36 = j
[:95902125】
实轴长、虚轴长、离心率和渐近
2
32—= 1 ,• a = 3, b = 2, c=/T3
2 2
y X
或g — f= 1(a >0, b >0).
c = 10, a = 8,
(2)方法一：•••双曲线的一条渐近线方程为 •••双曲线的焦点在y 轴上.从而有a
=2
X — 2y = 0,当 X = 4 时，y = 2< y p =
3.
2 2
•- b = 2a .设双曲线方程为^2 —右二1,
由于点F(4,3)在此双曲线上，••• 4 — 44=
a 4a 1,解得
a 2 = 5. •••双曲线方程为
方法二：•••双曲线的一条渐近线方程为
X — 2y = 0,
2
X 2
•••双曲线的渐近线方程为 -—y 2
= 0.设双曲线方程为 •••双曲线过点 F (4,3) ,••• 4
4 — 32
=入，
即入=一 5.
2
■y
•••所求双曲线方程为 -—y 2
= — 5,
［能力提升练］
2 2
1
.双曲线
x -
存1
的焦点到渐近线的距离为
2 2
X y
【解析】 由双曲线———=1，知 a =
2, b = 2yJ 3, c = 4,.••焦点 F 1( — 4,0) ,
F 2(4,0),
渐近线方程y =±{3x .由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等.
...d=年+L = 2萌.
寸3+ 1 V
【答案】 2羽
2.设△ ABC 是等腰三角形，/ AB & 120°则以A , B 为焦点且过点 C 的双曲线离心率是
[:95902126】
AB= 2c ,由 AB= BC / ABC= 120° 得 AC= ^/Sc ,再由 | AC- BC f = 2a ,得
|2{3
【答案】
[:95902127】
【解】 设直线l 的方程为X + y
= 1，即bx + ay — ab = 0.由点到直线的距离公式，且a >1,
2 2
即着-20 = 1.
【解析】
C — 2c | = 2a ,
即 a=^, e=^
【答案】
2 2
X y
3.已知双曲线 孑一話=1(a >0, b >0)的一条渐近线平行于直线 I : y = 2x +10,双曲线
的一个焦点在直线I 上，则双曲线的方程为
【解析】 因为双曲线的一个焦点在直线 l 上，所以0 = 2C + 10,即c =— 5又因为渐
近线平行于直线
b
l : y = 2x + 10,故有- = 2,结合
c = a + b ,得a = 5, b = 20,所以双曲
线的标准方程为
2
20= j
2 2
4
.双曲线务器=1(a >1, b >0)的焦距为2c
,
直线I 过点(a, 0)和(0，b )，且点(1,0)到 直线I 的距离与点(一1,0)到直线I 的距离之和s
>£c ,求双曲线离心率 e 的取值范围. 5
a b
ba — b
得点（1,0）到直线l 的距离d i = ,2
2，点（一
1,0）到直线I 的距离d 2=
yj a + b
d 2=¥2±^=型由 s >5c ,得型》4
c ,
^y a v b ^ c 5 c 5
t ~~2 2 2 4M
…42 5 2
••5e 2— 1 >2e ,A 25( e -1) >4e , 即 卩 4e — 25e + 25< O ,； 4W e <
5( e >1).
X 2
X 2
3.对于方程——y =1和——y =入(入
2
•• 字 e 書，即e 的取值范围为
ba + b
,2
2.二
S = d l +
2
2
C
即 5a 寸c —a 》2c ・•.•。