2023届四川省绵阳市高三上学期12月二诊模拟数学(文)试题(含答案)

绵阳市2022-2023学年高三上学期12月二诊模拟
数学试题（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．
1．集合{
}
2
340A x x x =--≥，{}15B x x =<<，则集合等于(
)A B ⋃R
（）
A ．[)1,5-
B ．()1,5-
C ．(]1,4
D ．()1,4
2．下列函数中为偶函数的是（） A ．2
sin y x x =
B ．2
cos y x x =
C ．ln y x =
D ．2x
y -=
3．下表是关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）的统
计表．
万元，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
4．若P ，Q 分别为直线34120x y +-=与6850x y ++=上任意一点，则PQ 的最小值为（） A ．
9
5
B ．
185
C ．
2910
D ．
295
5．若直线()0,0ax by ab a b +=>>过点()1,1，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（） A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<、
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
7．在区间()0,1与()1,2中各随机取一个数，则两数之和大于7
4
的概率为（） A ．
2332
B ．
932
C ．
79
D ．
29
8．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-．若1133
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（） A ．
13
B ．
53
C ．53
-
D ．13
-
9．已知圆C 的方程为()()2
2
112x y -+-=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB +的最小值为（）
A ．
2
B ．
C ．
D ．3
10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线()1
0y x x x
=+
>上，则点P 到直线3420x y --=的距离的最小值为（）
A ．
45
B ．1
C ．
65
D ．
75
11．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为()2,0F 过点F 的直线交C 于A ，B 两点，
OAB △的重心为点G ，则点G 到直线3310x y -+=的距离的最小值为（）
A ．2
B
C ．
2
D ．12．已知函数()()2
e x
f x ax a =-∈R 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）
A ．e ,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．e ,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．2e ,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．2e ,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．复数()()3i 14i z =+-，则复数z 的实部与虚部之和是______． 14．函数()()sin f x A x b ωϕ=++的图象如右图，
则()()()()()()()0122020202120222023S f f f f f f f =+++⋅⋅⋅++++的值为______．
15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线2C ：
()220x py p =>交于点O ，
A ，
B ，若OAB △的垂心为2
C 的焦点，则1C 的离心率为______． 16．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，B
D ，且两切线斜率之积等于9
16
-
，则椭圆的离心率为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）设{}n a 是各项都为正数的单调递增数列，已知14a =，且n a 满足关
系式：14n n a a n *++=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n b a =
-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本题满分12分）某中学高三共有男生800人，女生1 200人．现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人．记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图．将所抽取的女生的日均消费分为以下五组：(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,35，(]35,40，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”
．
（1）请完成下面22⨯的列联表；
根据以上的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？ （2）现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人．现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率．
附：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
（1）若2sin 3sin C A =，求ABC △的的面积；
（2）是否存在正整数a ，使得ABC △为为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的两焦
点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点
为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）BMN △是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN △的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．
21．（本题满分12分）已知函数()2
1ln 2
f x x x mx x =-
-，m ∈R ． （1）若()()g x f x '=（()f x '为()f x 的导函数），求函数()g x 在区间[]1,e 上的最大值；
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：2
12e x x >．
二选一：第22~23题为选考题，只选一题作答，计入总分。

两题都作答，阅卷默认第一题． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 42
πρθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．
（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点()1,0A ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，求AP AQ AM
+的值．
23．（本题满分10分）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =． （1）证明：0ab bc ca ++<；
（2）用{}max ,,a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：{}max ,,a b c ≥
绵阳市2022-2023学年高三上学期12月二诊模拟
数学试题（文史类）参考答案
一、选择题：BBDC DBAA BCCC
二、填空题：13．－4 14．2024 15．3
2
16
三、解答题：
17．解（1）因为14n n a a n *
++=+∈N ，所以14n n a a ++-=，即
2
4=，
又{}n a 2=，
2=，所以
是首项为2，公差为2的等差数列，
()2212n n =+-=，所以2
4n a n =．
（2）()()2111111141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫
=
===- ⎪---+-+⎝⎭
，
所以121111111112323522121n n S b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭． 18．解（1）由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生为30人．依题意，男“节俭之星”共7人，女“节俭之星”共18人，填表如下：
从而()2
501813127 3.000 2.70625252030
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
故有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关．．
（2）记2名男生分别为1A ，2A ，记4名女生分别为1B ，2B ，3B ，4B ，则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有()12,A A ，
()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，()2
4,B B ，
()34,B B ，
共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，因此，所求概率为3
5
P =
． 19
．解（1）因为2sin 3sin C
A =，则()2223c a a =+=，则4a =，
故5b =，6c =，2221
cos 28
a b c C ab +-=
=， 所以C 为锐角，则sin 8
C ==， 因此，11sin 452284
ABC S ab C =
=⨯⨯⨯=△． （2）显然c b a >>，若ABC △为钝角三角形，则C 为钝角，
由余弦定理可得()()()()
2
2
2
22221223
cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---
=
==<++， 则03a <<，由三角形三边关系可得12a a a ++>+
， 可得1a >，因为a *
∈N ，故2a =．
20．解（1）设椭圆C ：22
2
21x y a b
+=的右焦点()2,0F c ，则以椭圆C
的右焦点为圆心，椭圆
C 的长半轴长为半径的圆()2
22x c y a -+=， 所以圆心到直线10x y ++=的距离d a =
=，
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以2a c =，b =， 解得2a =，b =
1c =，
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=． （2）设(),B m n ，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点， 因为O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，所以,22m n D ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．
当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．
由2OB =，得1OD =，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3． 当MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则有22
1122
221,43
1,
43
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得
()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=， 因为D 为线段MN 的中点，
所以12x x m +=-，12y y n +=-，所以121234y y m
k x x n
-==--，
所以直线MN 的方程为3242n m m y x n ⎛⎫+
=-+ ⎪⎝⎭
，即22
68430mx ny n m +++=， 所以原点O 到直线MN
的距离22d =
．
因为
22
143
m n +=，
所
以
22
3124m n =-，所
以
22d =
=
=
．
因为2
03n <≤，
所以3<
1
3≤
<，
33d ≤<， 即点B 到直线MN
的距离的取值范围为2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
21．解（1）因为()ln g x x mx =-，()1mx
g x x
-'=，
①当0m ≤时，因为[]1,e x ∈，所以()0g x '>，所以函数()g x 在[]1,e 上单调递增， 则()()max e 1e g x g m ==-； ②当
1e m ≥，即1
0e
m <≤时，[]1,e x ∈，()0g x '≥，所以函数()g x 在[]1,e 上单调递增， 则()()max e 1e g x g m ==-；
③当11e m <
<，
即11e m <<时，函数()g x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e m ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 则()max 1ln 1g x g m m ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
； ④当1
01m
<
≤，即1m ≥时，[]1,e x ∈，()0g x '≤，函数()g x 在[]1,e 上单调递减， 则()()max 1g x g m ==-．
综上，当
1
e m ≤时，()()max e 1e g x g m ==-； 当11e m <<时，()max 1ln 1g x g m m ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
； 当1m ≥时，()()max 1g x g m ==-．
（2）证明 要证2
12e x x >，只需证12ln ln 2x x +>，
若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个变号零点， 又()ln f x x mx '=-，
所以1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同的实根，即1122
ln 0,
ln 0,x mx x mx -=⎧⎨-=⎩
解得12
12ln ln x x m x x +=+，
另一方面，由1122
ln 0,
ln 0,x mx x mx -=⎧⎨-=⎩得()2121ln ln x x m x x -=-，
从而可得
2112
2112ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+，于是
()()2221211112221
1
1ln
ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+=
=--．
不妨设120x x <<，设2
1x t x =
，则1t >．因此()121ln ln ln 1
t t x x t ++=-，1t >． 要证12ln ln 2x x +>，即证
()1ln 2
1t t t +>-，1t >，即当1t >时，有()
21ln 1
t t t ->+，
设函数()()21ln 1t h t t t -=++，1t >，则()()()()
()()2
22
212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增．又()10h =，因此()()10h t h >=． 于是当1t >时，有()21ln 1
t t t ->
+．所以12ln ln 2x x +>成立，即2
12e x x >得证．
22．解（1）因为直线l
：cos 42πρθ⎛
⎫+
= ⎪
⎝⎭
，故cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=，
因为曲线C ：()2
2
13sin 4ρθ+=，
则曲线C 的直角坐标方程为2
2
44x y +=，即2
214
x y +=． （2）点()1,0A 在直线l 上，设直线l
的参数方程为1,2
x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），
代入曲线C
的直角坐标方程得2
560t +-=． 设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则126
5
t t =-
，125t t +=-，
所以M
对应的参数12025
t t t +=
=-，
故
1212008AP AQ t t t t AM t t ++-====． 23．证明（1）∵()2
2222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ∴()2
2212
ab bc ca a b c ++=
++． ∵1abc =，∴a ，b ，c 均不为0，∴2
2
2
0a b c ++>， ∴()2
22102
ab bc ca a b c ++=-
++<． （2）不妨设{}max ,,a b c a =，
由0a b c ++=，1abc =可知，0a >，0b <，0c <， ∵a b c =--，1a bc
=
， ∴()2
22322224b c b c bc bc bc
a a a bc
bc bc
++++=⋅=
=≥=．
当且仅当b c =时，取等号，
∴a ≥
{
}max ,,a b c ≥．。