2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 集合的表示方法 学案

第2课时集合的表示方法
[课程目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.掌握用区间表示数集；3.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合，正确运用区间表示一些数集．
知识点一列举法表示集合
[填一填]
列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
[答一答]
1．什么类型的集合适合用列举法表示？
提示：当集合中的元素较少时，用列举法表示方便．
2．用列举法表示集合的优点与缺点是什么？
提示：用列举法表示集合的优点是元素清晰明确、一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．
知识点二描述法表示集合
[填一填]
描述法
(1)集合的特征性质：
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
(2)特征性质描述法：
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x|p(x)}，这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
[答一答]
3．什么类型的集合适合用描述法表示？
提示：描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集．
4．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？
提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．
知识点三区间及其表示
[填一填]
研究函数常常用到区间的概念，设a、b是两个实数，且a<b，我们规定：(1)满足a≤x≤b 的全体实数x的集合简写为[a，b]，称为闭区间．(2)满足a<x<b的全体实数x的集合简写为(a，
b )，称为开区间．(3)满足a ≤x <b 的全体实数x 的集合简写为[a ，b )，称为半开半闭区间．(4)满足a <x ≤b 的全体实数x 的集合简写为(a ，b ]，称为半开半闭区间．(5)分别满足x ≥a ，x >a ，x ≤a ，x <a 的全体实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，a ]，(－∞，a )．(6)实数集R 也可以用区间(－∞，＋∞)表示，“－∞”读作负无穷大，“＋∞”读作正无穷大．
[答一答]
5．在数轴上如何表示区间[a ，b ]、(a ，b )、[a ，b )、(a ，b ]、[a ，＋∞)、(a ，＋∞)? 提示：如图所示：
a ，
b 叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．
类型一 用列举法表示集合 [例1] 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数构成的集合； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根构成的集合；
(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋4
3
的图像的交点构成的集合．
[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}；
(3)方程y ＝x －1与y ＝－23x ＋4
3
可分别化为x －y ＝1与2x ＋3y ＝4，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝1，2x ＋3y ＝4
的解是⎩⎨⎧
x ＝75
，y ＝2
5，
所求集合可表示为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
⎝⎛⎭⎫75，25.
用列举法表示集合时，应明确集合中的元素所满足的特征，然后把集合中的元素一一列举出来，写在“{ }”内，即表示了这个集合，其中“{ }”具有“所有”“整体”的含义.
[变式训练1] 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合． (2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合． (3)单词look 中的字母组成的集合．
(4)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －6>0，
1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合．
解：(1)小于10的所有自然数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)方程x 2＝x 的实数根为1,0，用列举法表示为{1,0}．
(3)因为集合中的元素具有互异性，所以look 中的字母组成的集合为{l ，o ，k}．
(4)由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －6>0，
1＋2x ≥3x －5
得3<x ≤6，又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．
类型二 用描述法表示集合 [例2] 用描述法表示下列集合： (1)正奇数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． [解] (1){x |x ＝2n －1，n ∈N ＋}．
(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．
(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．
用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ；②“竖线”不可省略；③p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.
[变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； (2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(3)方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，
x －y ＝1的解构成的集合．
解：(1)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x ||x |>3}； (2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x ，y )|xy <0}；
(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，x －y ＝1的解构成的集合，用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪
⎫⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪
⎫⎩⎪
⎨
⎪⎧ x ＝1，y ＝0. 类型三 集合表示法的综合应用 [例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，
3x ＋2y ＝5的解集；
(2)100以内被3除余1的正整数； (3)到两坐标轴距离相等的点的集合； (4)所有的正方形．
[解] (1)方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，故可写成{(1,1)}或{(x ，y )|x ＋y ＝2且3x ＋2y ＝5}；
(2)可以写成{x |x ＝3n ＋1，n ∈N 且1≤x ≤100}或{100以内被3除余1的正整数}； (3)可以写成{(x ，y )|x ±y ＝0}； (4)可以写成{正方形}．
寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”.一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合.
[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)比－5大3的数．
(2)方程2x －1＋|y ＋2|＝0的解的集合． (3)不等式2x ＋3>－x ＋6的解集．
(4)二次函数y ＝x 2－1的图像上所有点的集合． 解：(1)比－5大3的数是－5＋3＝－2， 所以集合是{－2}．
(2)由算术平方根和绝对值的意义可知⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1＝0，
y ＋2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，y ＝－2，所以该方程的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
⎝⎛⎭⎫12
，－2. (3)解不等式2x ＋3>－x ＋6得：x >1， 所以不等式的解集是{x |x >1}．
(4)由于二次函数图像上的点有无数个，所以应选用描述法表示集合，所以所求集合是{(x ，y )|y ＝x 2－1}．
类型四 用区间表示数集
[例4] 将下列集合转化成区间表示． (1){x |x >0}；(2){x |1≤x <2}；(3){x |x ≤－2}； (4){x |－3<x ≤4}；(5){x |－4≤x ≤0}． [解] (1){x |x >0}＝(0，＋∞)； (2){x |1≤x <2}＝[1,2)； (3){x |x ≤－2}＝(－∞，－2]； (4){x |－3<x ≤4}＝(－3,4]； (5){x |－4≤x ≤0}＝[－4,0]．
对区间的几点认识
(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点.
(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆. (4)符号“∞”与数的区别
①无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则. ②以“－∞”和“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号，即区间这一端是开的，不能把[1，＋∞)写成[1，＋∞].
[变式训练4] 将下列集合用区间或描述法表示． (1){x |－2≤x <7}; (2){x |x ≥－5}；
(3){x|3<x<6}; (4)[－3，＋∞)；
(5)[－5,3); (6)(－4,6]．
解：(1)[－2,7)；(2)[－5，＋∞)；(3)(3,6)；
(4){x|x≥－3}；(5){x|－5≤x<3}；
(6){x|－4<x≤6}．
1．下列集合表示法正确的是(C)
A．{a，a，c}
B．{高一·一班全体同学}
C．{无理数}
D．不等式x2－4>0的解集为{x>2或x<－2}
解析：集合{无理数}表示无理数集，故选项C正确．
2．用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N*}为(B)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－2<3，∴x<5，又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故选B.
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(D)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合．故选D.
4．用区间表示下列数集：
(1){x|5<x≤8}＝(5,8]；
(2){x|x<3}＝(－∞，3)．。