湖南省衡阳 高三数学第一次月考试题解析理

高三第一次月考试卷解析版数 学（理科）
时量：120分钟 总分：150分
（考试内容：选修2-3、集合与逻辑用语、函数、导数）
【试卷点评】该试卷是一份不错的试卷，难度适中，既注重了基础知识的考查，也注重了数学能力的培养；既考查了基础知识，也考查了高考重要的知识点和考点，具有很大的研究价值和参考价值。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分） 1、设集合{}
22,A x x x R =-≤∈，{}2
|,12B y y x x =
=--≤≤，则()R
C A
B 等于（ ）
A ．R
B ．{}
,0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅
1、B 【解析】}40|{402222|2|≤≤=∴≤≤∴≤-≤-∴≤-x x A x x x
}04|{≤≤-=y y B =∴B A }0,|{)(}0|{≠∈=∴=x R x x B A C x x R ，所以选择
B.
2、设232555
322555
a b c ===（
,（）（），则a ， b ，c 的大小关系是（ ）
A 、a ＞c ＞b
B 、a ＞b ＞c
C 、c ＞a ＞b
D 、b ＞c ＞a
3、已知函数31(),3
(),(2log 2)3(1),3
x
x f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为 （ ）
A ．2
-
B ．
1 C ．
2 D ．54-
()2
2110403020207.8
60506050
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
由算得：
参照附表，得到的正确结论是 （ ） A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”.
4、C 【解析】01.0)635.6(2=>K P ，所以性别与爱好某项运动没有关系的概率为1%， 即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，所以选择C.
5、函数()()()
⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦
⎤ ⎝
⎛2
1,0
B. )1,2
1[
C
．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡8
5,21
D ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,85
6、设
1
2
322()log (1)2
x e
x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ ）
A ．(1,2)(3,)⋃+∞
B ．)+∞
C ．(1,2))⋃+∞
D ．（1，2）
6、C 【解析】1
10222110112x x x e
e e x x x --<>∴>=∴->∴>∴<<当时，
2)(10,+∞7、设函数1
()ln (0),()3f x x x x y f x =
->=则 （ ） A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点； B ．在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点；
C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点
D ．在区间1
(,1)e
内无零点，在区间(1,)
e 内有零点.
8、已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：
①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；
③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确命题的个数为 （ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分．）
9
、函数y =
的定义域为 。

10、某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
10、30【解析】333734351430n C C C =--=--=利用间接法。

11、4
2
(
)x x
-的展开式中的常数项为_ . (用数字作答) 11
、
24
【
解
析
】
12、已知,4.0)13(),,1(~2=-≤≤--X P N X 若σ=≤≤-)13(X P 则 ．高&考%资(源#网
12、0.8【解析】由正态分布密度函数的图像的对称性得
(31)(11)(31)20.40.8P X P X P X -≤≤-=-≤≤∴-≤≤=⨯=
13、若幂函数)(x f 的图象经过点(4,2)A ，则它在A 点处的切线方程为 . 22
2101+b a b b -<<或a=b
0<a<b 在（，+∞∞）单调递增，）
15、有下列命题：
①命题“∃x ∈R ，使得x 2
+1＞3x ”的否定是“ ∀x ∈R ，都有x 2
+1＜3x ”；
②设p 、q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“⌝p ∧⌝q 为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件； ④若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a=-1； 其中所有正确的说法序号是 .
15、②④【解析】命题“∃x ∈R ，使得x 2
+1＞3x ”的否定是“ ∀x ∈R ，都有x 2
+1≤3x ”，所
以①是错误的；
设p 、q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则命题P 和命题q 都是假命题，所以p ⌝和q ⌝都
是真命题，所以⌝p ∧⌝q 为真命题，所以②是错误的；
2>a 不能推出5>a ，25>⇒>a s ，所以“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，所以③是错误的；若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则即：),()(x f x f =-
22(1)()(1)()(1)01
x x a x x a x ax x a x ax x a a x a -+-+=++∴--+=+++∴+=∴=-，所以④是正确的，所以正确的说法的序号是②④。

三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、（本题满分12分）某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，
统计结果如右表所示：
已知分3期付款的频率为0.2 ，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用
η表示经销一辆汽车的利润．
（Ⅰ）求上表中a ，b 的值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有l 位采用 3期付款”的概率P （A ）；
（Ⅲ）求η的分布列及数学期望E η．
16、【解题指导】(1)第1问，主要是利用已知条件和分布列的性质构建方程组解答；（2）
17、(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ax 2
+bx+c(a>0,b ∈R, c ∈R). (Ⅰ)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,⎩⎨⎧<->=0
),(0
),()(x x f x x f x F ,
求F(2)+F(-2)的值；
(Ⅱ)若a=1,c=0,且1)(≤x f 在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围。

17、【解题指导】（1）第1问，直接列方程组解答得到函数)(x f 的值，再代入求)2(F 和)2(-F 的值；（2）第（2）问，类似这种恒成立问题一般用分离参数求最值。

【解析】：（1）由已知：c=1,a-b+c=0,-b/2a=-1,,a=1,b=2,f(x)=(x+1)2
⎪⎩⎪⎨⎧<+->+=0
,)1(0
,)1()(2
2
x x x x x F
18、(本小题满分12分) 一个口袋里有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球，则这个黑球不放回而另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的球是白球时结束取球。

求直到取到白球所需的抽取次数ξ的概率分布列。

19、 (本小题满分13分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g；
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
10kg，时间单位：天)
(注：市场售价和种植成本的单位：元/2
20、（本小题满分13分）
已知函数4()log (41)x f x kx =++ ()k R ∈ 是偶函数．
（Ⅰ）求k 的值;
（Ⅱ）设44
()log (2)3
x
g x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求 实数a 的取值范围．
20、【解题指导】（1）第1问，直接根据偶函数的定义得到方程，得到k 的值；（2）第2问，首先要化简等式，再换元，得到一个二次方程，讨论二次方程的根的情况，得到参数的取值范围。

【解析】（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-
综上：实数a 的取值范围是),1(}3{+∞- -------------13分 21、（本小题满分13分）
已知函数x
a
x x f -
=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)(2+-=
mx x x h , 当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有
)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．
- 11 -。