窗函数和噪声

1窗函数
1.1窗函数的概念
信号的数字化处理的主要数学工具是傅里叶变换。

应注意到，傅里叶变换是研究整个时域和频域的关系的。

然而，用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段，即从信号中截取一个片段，然后对该片段进行周期延拓，得到虚拟的无限长的信号，再对信号进行傅里叶变换、相关分析等处理(见图1-1)。

图1-1信号的周期延拓 信号的截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。

“窗”的意思是指透过窗口原始信号在“看到”原始信号的一部分，而原始信号在“窗”以外的部分均视为零，如图1-1和1-2所示。

图1-2窗函数 1.2 截断、泄露和窗函数
当用1-4所示的矩形窗函数()w t 与图1-3所示的余弦信号()x t 相乘时，对信号截取一段（-T,T ）,得到截断信号()()()T R x t x t w t =。

根据傅立叶变换关系，余弦信号的频谱()X jf 是位于0f 的δ函数，而矩形窗函数()R w t 的频谱为sinc (f )函数,按照频域卷积定理，则极端信号()T x t 的频谱应为
()()()()R R x t w t X jf W jf ⋅⇔*
()R W jf 是一个频带无限宽的sinc 函数，其频谱为无限带宽，幅值随f 增大逐渐衰减，如图1-3所示。

即使是限带信号(频带宽度为有限值)，如图1-3所示的谐波信号，被截断后也必然成为无限带宽函数。

这说明信号的能量分布扩展了。

将截断信号的谱()T x jf 与原始信号的频谱()X jf 相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。

这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在0f 处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种
现象称为频谱能量泄漏。

图1-3 信号截断与能量泄漏
信号截断后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w R (t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x (t )是有限带信号,在截断后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。

又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致误差，这是信号分析中不容忽视的问题。

增大截断长度T ，即矩形窗口加宽，则窗谱w R (jf)将被压缩变窄(1/T 减小)。

虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。

当窗口宽度T 趋于无穷大时，则窗谱w R (jf)将变为δ (w )函数，而δ (f )与X (j f )的卷积仍为X (j f )，说明，如果窗口无限宽，即信号不截断，就不存在泄漏误差。

为了减少频谱能量泄露，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称窗。

泄露与窗函数的两侧旁瓣有关，如果两侧旁瓣的高度趋近于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。

为此，在时间域中可采取不同的窗函数来截断信号。

1.3 几种常见的窗函数
实际应用的窗函数，有以下几种类型：
1）幂窗。

采用时间变量t 的某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其他高次幂。

2）三角形函数窗。

应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合或符复合函数，例如汉宁窗、海明窗等。

3）指数窗。

采用指数时间函数，如e −st 形式，例如高斯窗等。

几种常用窗函数的性质和特点。

（1）矩形窗，矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为式（1-1），相应的窗谱为是（1-2）。

矩形窗的时域及频域波形如图1-4。

()w t = 1 0 t T t T ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ (1-1)
其傅里叶变换为 sin 2()()22fT w t W jf T fT ππ⇔= (1-2)
图1-4 矩形窗函数及其频谱
矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。

这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄露，甚至出现负谱现象。

如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。

（2）三角窗 三角窗是幂窗的一次方形式，其定义为
()w t =11 0 t T T
t T ⎧-<⎪⎨⎪≥⎩
（1-3） 相应的窗谱为
2sin ()()ft W f T ft ππ= （1-4）
如图1-5所示，三角形与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的2倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。

如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
图1-5 三角窗的时域及频域波形
（3）汉宁（Hanning ）窗 汉宁窗又称升余弦窗，汉宁窗的时域表达式为
()w t =111(+cos ) 22
0 t t T T T t T π⎧<⎪⎨⎪≥⎩
（1-5）
相应的窗谱为 sin 21sin(2)sin(2)()2222fT fT fT W jf fT fT fT ππππππππππ⎡⎤+-=++⎢⎥+-⎣⎦
(1-6) 汉宁窗及其频谱的图形如图1-3所示，和矩形窗比较，汉宁窗的旁瓣
小得多，因而泄露的也少得多，但是汉宁窗的主瓣较宽，汉宁窗是很有用的窗函数。

如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。

如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。

图1-6汉宁窗的时域及频域波形
（4）海明（Hamming ）窗 海明窗本质上和汉宁窗一样，只是系数不
同。

海明窗比汉宁窗消除旁瓣的效果稍好一些，而且主瓣稍窄，但是旁瓣衰减较慢是不利的方面。

适当的改变系数，可得到不同特性的窗函数。

()w t =20.540.46cos() 0 t t T T t T π⎧+≤⎪⎨⎪>⎩ (1-7) sin 2sin(1/)sin(1/)()0.540.2321/1/fT f T f T W jf fT f T f T ππ⎡⎤+-=++⎢⎥+-⎣⎦
(1-8) 与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。

在实际的信号处理中，常用“单边窗函数”。

若以开始测量的时刻作为t=0，截断长度为T ，0≤t <T 。

这等于把双边窗函数进行了时移。

根据傅立叶变换的性质，时域的平移，对应着频域作相移而幅值绝对值不变。

因此以单边窗函数截断信号所产生的泄漏误差与双边窗函数截断信号产生的泄漏相同。

2 噪声
2.1噪声的分类
2.1.1 白噪声
白噪声(white noise)是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。

所有频率具有相同能量密度的随机噪声称为白噪声。

换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率(颜色)的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是"白色的"，此信号也因此被称作白噪声。

相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。

白噪声的功率谱密度Matlab 编程：
Fs=100000; %采样率
X=wgn(100001,1,1,'linear'); %产生高斯白噪声
N=length(X);
% n1=0:N;
t=0:1/Fs:(N-1)/Fs; %时间
X_w=fft(X);
f=(0:length(X)-1)'*Fs/length(X);%进行对应的频率转换
w=2*pi*f;
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,X);grid on;title('噪声的时域波形');
subplot(2,1,2)
plot(f,abs(X_w));grid on;title('噪声的fft变换');
%求噪声的功率谱密度
nfft=1024; %数据位数
X_cor=xcorr(X,'unbiased'); %计算序列的自相关函数
X_corfft=fft(X_cor,nfft);
X_PSD=abs(X_corfft);
idx=0:round(nfft/2-1);
k=idx*Fs/nfft; %频谱序列
figure(2)
% subplot(211),plot(lag/Fs,X_cor),title('噪声自相关函数');
subplot(212),plot(k,10*log10(X_PSD(idx+1))),title('噪声功率谱密度'); 白噪声的功率谱密度图如下2-1所示：
图2-1 白噪声功率谱密度
2.1.2 粉红噪声
粉红噪声的“粉红”是对噪声频率而言的，表示噪声中的低频成分较多，是一种具有连续谱的无规声。

粉红噪声的功率谱密度与频率成反比，在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB(密度与频率成反比)。

功率谱密度如图2-2所示。

每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难,因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。

图2-2粉红噪声
2.1.3 红噪声
红噪声也称作布朗噪声，通常指的是功率密度随着频率的增加每倍频程降低6分贝。

红噪声功率谱密度如图2-3所示。

图2-3红噪声
2.1.4蓝噪声
在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。

对于高频信号来说，它属于良性噪声。

蓝噪声功率谱密度如图2-4所示。

图2-4 蓝噪声
2.1.5 紫噪声。

在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于频率的平方值)。

它也被称为差分白噪声，因为它是白噪声信号微分的结果。

紫噪声功率谱密度如图2-5所示。

图2-5紫噪声
2.1.6灰噪声
该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲线(如反向的A-加权曲线)，因此在所有频率点的噪声电平相同。

灰噪声功率谱如图2-6所示。

图2-6灰噪声。