专题27.3 位似-2020-2021学年九年级数学下册课时同步练(人教版)(解析版)

第27章相似
位似
一、基础巩固
1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：B．
【知识点】位似变换
2.将△OAB以点O为位似中心放大为原来的2倍，得到△OA′B′，则S△OAB：S△OA′B′等于（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：8
【解答】解：∵将△OAB以点O为位似中心放大为原来的2倍，得到△OA′B′，
∴△OAB与△OA′B′的位似比为2，
则S△OAB：S△OA′B′＝1：4．
故选：C．
【知识点】位似变换
3.下列说法不正确的是（）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
【解答】解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．故选：D．
【知识点】位似变换
4.如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则
位似中心的坐标和k的值分别为（）
A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（2，2），3
【解答】解：连接OD、AC，易得交点也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：CD＝6：3＝2，
故选：C．
【知识点】位似变换
5.如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一
象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（）
A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）
【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴＝，
又∵OB＝6，AB＝3，
∴OD＝2，CD＝1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【知识点】位似变换、坐标与图形性质
6.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到
线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为
（）
A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），∴＝，
∴位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故选：D．
【知识点】坐标与图形性质、位似变换
7.如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
【解答】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．
故选：C．
【知识点】位似变换
8.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O
为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标为（）A．（﹣4，8）B．（4，﹣8）
C．（﹣4，8）或（4，﹣8）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【解答】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，
∴点A的对应点C的坐标为：（﹣4，8）或（4，﹣8）．
故选：C．
【知识点】坐标与图形性质、位似变换
9.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线
段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（）
A．2B．C．3D．
【解答】解：∵A（6，6），B（8，2），
∴AB＝＝2，
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴线段CD的长为：×2＝．
故选：D．
【知识点】坐标与图形性质、位似变换
10.如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE
和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【解答】解：∵点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1＝1：3，
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为：1：3，
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是：1：9．
故选：D．
【知识点】位似变换
11.如图，在△ABC所在平面上任意取一点O（与A，B，C不重合），连接OA，OB，OC，分别取OA、
OB、OC的中点A1、B1、C1，再连接A1B1、A1C1、B1C1得到△A1B1C1，则下列说法不正确的是（）
A．△ABC与△A1B1C1是位似图形
B．△ABC与△A1B1C1是相似图形
C．△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的面积比为1：2
【解答】解：根据位似图形的性质可得：
A、△ABC与△A1B1C1是位似图形，正确，不合题意；
B、△ABC与△A1B1C1是相似图形，正确，不合题意；
C、△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，正确，不合题意；
D、△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【知识点】位似变换
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵
坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为A'，B'．已知正方形ABCD内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是（）
A．（1，4）B．（1，5）C．（﹣1，4）D．（4，1）
【解答】解：由点A到A′，可得方程组；
由B到B′，可得方程组，
解得，
设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组，
解得，
即F（1，4）．
故选：A．
【知识点】坐标与图形变化-平移、规律型：点的坐标、位似变换
13.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C
的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为﹣﹣．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为，若点C的坐标为（4，1），
∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），
故答案为：（12，3）或（﹣12，﹣3）；
【知识点】坐标与图形性质、位似变换
14.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′
的周长比为．
【解答】解：
由题意可知△ABC∽△A′B′C′，
∵AA′＝2OA′，
∴OA＝3OA′，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：3：1．
【知识点】位似变换
15.如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，
﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为﹣﹣．
【解答】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
【知识点】位似变换、坐标与图形性质
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B
（3，1），B′（6，2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∵△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积为4m，
故答案为：4m．
【知识点】位似变换、坐标与图形性质
二、拓展提升
17.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．
【知识点】作图-位似变换
18.如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原
来的2倍，得到对应点D、E、F．
（1）在图中画出△DEF；
（2）点E是否在直线OA上？为什么？
（3）△OAB与△DEF位似图形（填“是”或“不是”）
【解答】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；
（2）点E在直线OA上，
理由：设直线OA的解析式为：y＝kx，
将A（3，2）代入得：2＝3k，
解得：k＝，故直线OA的解析式为：y＝x，
当x＝6时，y＝×6＝4，
故点E在直线OA上；
（3））△OAB与△DEF是位似图形．
故答案为：是．
【知识点】作图-位似变换
19.平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【知识点】作图-位似变换、作图-平移变换
20.如图，在边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点．
（1）画图并填空：请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3），（6，2），那么点B的坐标的为；
（2）画图：以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′；
（3）请直接写出△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，B点坐标为（2，1）；
故答案为（2，1）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
（3）△A′B′C′的面积＝×4×8＝16．
【知识点】作图-位似变换
21.如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△A n B n∁n组成的相似图形，其中第一
个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点…A n是OA n﹣1的中点，顶点B2，B3，…，B n．C2，C3，…，∁n都在B1C1边上．
（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
（2）求出第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长．
【解答】解：（1）∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，
∴正△A2B2C2的边长为，
正△A3B3C3的边长为（）2，
正△A10B10C10和的边长为（）9，正△A7B7C7的边长为（）6，
∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝；它们的位似中心为点O；
（2）∵第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的边长为（）n﹣1，
∴第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长为．
【知识点】位似变换
22.在平面直角坐标系，点A，B，E，D，F的坐标分别是A（4，3），B（4，0），E（5，0），D（13，6），
F（13，0），△DEF是由△AOB经过位似变换得到的，求位似中心的坐标．
【解答】解：连接DA，并延长交x轴于点P，
∵A（4，3），B（4，0），E（5，0），D（13，6），F（13，0），△DEF是由△AOB经过位似变
换得到，
∴位似比为：＝，
则＝，即＝，
解得：PO＝5．
故位似中心的坐标为：P（﹣5，0）．
【知识点】位似变换、坐标与图形性质。