四川省广安市2021届新高考数学四月模拟试卷含解析

四川省广安市2021届新高考数学四月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2
615C =种取法， 从5名女干部中选出1名女干部，有1
55C =种取法，
则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ． 【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
2．如图所示点F 是抛物线2
8y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线2
8y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）
A ．(6,10)
B ．(8,12)
C ．[6,8]
D ．[8,12]
【答案】B 【解析】 【分析】
求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】
抛物线2
8y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，
根据抛物线定义可得2A AF x =+，
圆()2
2216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，
点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22
4120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2. 点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，
则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 3．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，2
2
π
π
ϕ-<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，则下述四个结论：
①3ω=②4
π
ϕ=
③62
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭④点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据三角函数的平移规则表示出()g x ，再根据对称性求出ω、ϕ，即可求出()f x 的解析式，从而验证可得； 【详解】
解：由题意可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，
又∵()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴12
42
4
32k k π
πωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+
⎪⎩()12,k k ∈Z ，
∴解得
()123
k k π
ωπ=-()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ，又∵06ω<<，∴3ω=，
4
π
ϕ=-
，∴()sin 34
f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，∴3sin 6642
f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴①③④正确，②错误. 故选：B 【点睛】
本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.
4．不等式42,
3x y x y -⎧⎨+⎩
的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；
2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是
（ ） A ．12,p p B ．23,p p
C ．13,p p
D ．24,p p
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【详解】
作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以
1(,),25,x y D y x p ∀∈-为真命题；
2(,),22,x y D y x p ∃∈-为真命题；34,p p 为假命题.
故选：A
【点睛】
此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.
5．若将函数()2sin 16f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)得到函数()g x 的图
象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是
2
π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】
将()f x 横坐标缩短到原来的
12得：()2sin 216g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
当0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ sin x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 正确；
()g x 的最小正周期为：22T π
π=
= 2
π∴不是()g x 的周期，B 错误； π
()g x ∴关于点,112π⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
对称，C 错误；
当0,
6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，2,662x π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
6．若函数()()2
2
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）
A B C ．4- D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-，
则()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，
()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，
()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()2
14cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数
()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；
②当2m =时，
()cos 11x +≤，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成
立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -
C ．1-
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
2
1i
z =
+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)
z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
8．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4
C ．14
±
D ．
14
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A ．
78
B ．
158
C ．
3116
D ．
1516
【答案】D 【解析】 【分析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论．
执行该程序可得1
2341111150222216
S =++++=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．
10．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准
线l 与x 轴交于C ，ACF ∆
的面积为AB =（ ） A ．6 B ．9
C
．
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2
p
x my =+
，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，
将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，
由韦达定理得122y y pm +=，2
12y y p =-，
11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-，
2
21222y y y p ∴=-=-
，可得22
y p =
，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
ACF ∆
的面积为2122
p p ⨯=
=4p =，则抛物线的方程为2
8y x =， 所以，2221
2
12524988
p
y y AB x x p p +=++=+=+=.
本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 11．函数()3
2
f x x x x =-+的图象在点()()
1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()
1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【详解】
()2321f x x x '=-+，故()12f '=，
所以曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 【点睛】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
12．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-
得到方程组120
x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题．
【详解】
设(),z x yi x y R =+∈，
因为12z z i =+-
()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，
所以120x y =++=⎪⎩，解得：322
x y ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩，
3
【点睛】
本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 【答案】25
【解析】 【分析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5C 种方法,根据公式即可求得概率. 【详解】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有1
4C 种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5
C 种方法,1
42
5125
C P C ⨯==. 故答案为:25
. 【点睛】
本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.
14．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为1
12
V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】
根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为112
V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高）,可得()2
21212r h r h ππ⨯=,进而
可求出π的值 【详解】
解:设圆柱底面圆的半径为r ,圆柱的高为h ,由题意知
()2
212r h r h ππ⨯=,解得3π=.
【点睛】
本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果. 15．已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =____________.
【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】
根据并集的定义计算即可. 【详解】
由集合的并集，知A B ={}2,3,5.
故答案为：{}2,3,5 【点睛】
本题考查集合的并集运算，属于容易题.
16．已知函数(
)
2()cos log 21()x
f x x ax a R =-++∈为偶函数，则a =_____. 【答案】12
【解析】 【分析】
根据偶函数的定义列方程，化简求得a 的值. 【详解】
由于()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 即()(
)()22cos log 2cos l 1og 21x x
x ax x ax ----+++-=，
即(
)()22cos log 21cos log 2
1x x
x a x x x a --+-=-++，
即(
)(
)22l log 2
1012og 2x
x
ax -+-+-=，
即221log 2021x x ax -+-=+，即()()2212log 20212x x x x ax -+⋅-=+⋅，即()2212log 2021
x x x ax +⋅-=+，即()2log 222120x ax x ax a x -=-=-=，所以1
120,2
a a -==
. 故答案为：12
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1
2
. （1）求证：21a b +=；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）最大值为9. 【解析】 【分析】
（1）将函数()y f x =表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立； （2）由2a b tab +≥可得出12t a b ≤
+，并将代数式12
a b
+与2+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得12
a b
+的最小值，进而可得出实数t 的最大值. 【详解】
（1）
()3,22,23,a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧
--+<-⎪⎪
⎪
=++-=++-≤<⎨⎪
+-≥⎪⎪⎩
.
当2a x <-
时，函数()y f x =单调递减，则()2a f x f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭
； 当2
a
x b -
≤≤时，函数()y f x =单调递增，则()()2a f f x f b ⎛⎫
-≤≤ ⎪⎝⎭
； 当x b >时，函数()y f x =单调递增，则()()f x f b >.
综上所述，()122
2a a
f x f b ⎛⎫≥-=+= ⎪
⎝⎭，所以21a b +=； （2）因为2a b tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以2a b
t ab +≤
恒成立，即min
21t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭. 因为
(
)2121222559b a a b b a b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时等号成立，
所以9t ≤，实数t 的最大值为9. 【点睛】
本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F
，离心率为2
，A 为椭圆上一动点
（异于左右顶点），12AF F ∆
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于点,A B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2214
x y +=；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1
）由面积最大值可得bc =
c a =
222a b c =+，解得,a b ，即可得到椭圆的方程，（2）假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM BM ⊥，MN l ⊥，即可求出
m 的值，可得点M 的坐标.
【详解】
（1）12AF F ∆
，则：bc =
又2
c e a =
=
，222a b c =+，解得：24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2
214
x y += （2）假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y
由2
214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 可得：2258440x mx m ++-= ()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得：25m < ∴1285m x x ∴+=-，21244
5
m x x -=
120425x x m x +∴=
=-，005m y x m =+= 4,55m m N ⎛⎫
∴-
⎪⎝⎭
依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥
由MN l ⊥可得：
5114015m t m -
⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭
，可得：35m t =- 由AM BM ⊥可得：1212
1y t y t
x x --⋅=- 11y x m =+，22y x m =+
代入上式化简可得：()()()2
121220x x m t x x m t +-++-=
则：()222
244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：1m =±
当1m =时，点30,5M ⎛
⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
满足题意
故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝
⎭
，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形
【点睛】
本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. 19．已知函数()|1|||f x x x a =+-+. （1）若1a =-，求不等式()
1f x -的解集；
（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围. 【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
（2）[]2,0- 【解析】 【分析】
（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()
21f x a +”为真命题，只需满足
()max
|21|f x a +即可.
【详解】
解：（1）当1a =-时，()2,1,
112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪
=+--=-<<⎨⎪≥⎩
由()
1f x -，得12
x
. 故不等式()
1f x -的解集为1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题， 所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，
所以()max
|21|f x a +.
因为()|1|||
|(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，
所以()max |1|f x a =-，则|1|
|21|a a -+，所以()
()
2
2
121a a -+，
即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.
20．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 【答案】（1）2950
（2）分布列见解析，数学期望2
5（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析
【解析】 【分析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是
151
755
=，所以12,5X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2211155k k
k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求出X 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】
（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929
()10050
P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，
因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是
151
755
=， 所以022
116(0)C (1)525
P X ==⨯-=， 12
118
(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 222
11
(2)C ()525
P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：
1 2
1625
8
25
1
25
故16812()0122525255
E X =⨯
+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，
参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：5210125110116
52121115
⨯+⨯+⨯=++
乘坐飞机的人满意度均值为：
4101457022
41475
⨯+⨯+⨯=++ 因为
11622
155
>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
21．已知O 为坐标原点，点1(F ，2F ，S ，动点N 满足1NF NS +=，
点P 为线段1NF 的中点，抛物线C ：2
2(0)x my m =>上点A ，66OA OS ⋅=. （1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断22
11
||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定
值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.抛物线C 的标准方程为2x =.（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）由题知|PF 1|+|PF 2|1
2
NS NF +=
=|F 1F 2|，判断动点P 的轨迹W 是椭圆，写出椭圆的标准方
程，根据平面向量数量积运算和点A 在抛物线上求出抛物线C 的标准方程；（2）设出点P 的坐标，再表
示出点N 和Q 的坐标，根据题意求出22
11
||||OP OQ +的值，即可判断结果是否成立．
【详解】
（1）由题知22
NS PF =
，112
NF PF =
，
所以12
122
NF NF PF PF ++=
12F F =>，
因此动点P 的轨迹W 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
又知2a =2c =，
所以曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.
又由题知(A A x ，
所以(()
A OA OS x ⋅=⋅ A ==
所以A x =
又因为点(23,A 在抛物线C 上，所以m =
所以抛物线C
的标准方程为2x =.
（2）设(),P P P x y
，,2Q Q x ⎛- ⎝⎭
，
由题知OP OQ ⊥
，所以02
P
p Q x x -
=
，即)0Q P P x x =
≠， 所以22222
2111133||||22
P P P P y OP OQ x y x +=+++ ()2
22323P P P x x y +=+， 又因为2213P P x y +=，2
2
13
P P x y =-，
所以()
22222
2323213313P P
P P P P x x x x y x ++==⎛⎫++- ⎪
⎝
⎭， 所以22
11
||||OP OQ +为定值，且定值为1.
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题． 22．已知函数()21
()1ln ()2
f x m x x m =
--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥. （2）讨论函数()f x 的极值；
（3）是否存在实数m ，使得不等式111
()x f x x e
->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1. 【解析】 【分析】
（1）1m =，求出()f x '
单调区间，进而求出min ()0f x ≥，即可证明结论；
（2）对()0f x '≥（或()0f x '
≤）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出
()0,()0f x f x ''><的解，即可求出结论；
（3）令111
,(1,)()x h e
x x x --∈+∞=
，可证()0,(1,)h x x >∈+∞恒成立，而(1)0f =，由（2）得，
0,()m f x ≤
在(1,)+∞为减函数，01,()m f x <<在
⎛ ⎝上单调递减，在(1,)+∞都存在()0f x <，不满足()()f x g x >，当m 1≥时，设()21111
()1ln 2x F x m x x x e
-=---+，且(1)0F =，只需求出()F x 在(1,)+∞单调递增时m 的取值范围即可.
【详解】
（1）1m =，()2
1()1ln (0)2
f x x x x =
-->， 211
()x f x x x x
-'=-+=
，当(0,1)x ∈时，()0f x '<， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.
（2）由题知，0x >，211
()mx f x mx x x -'=-+=，
①当0m ≤时，21
()0mx f x x
-'=<，
所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；
②当0m >时，21
()0mx f x
x
-'==，得x =
当x
⎛
∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在
⎛ ⎝
上单调递减，在⎫
+∞⎪⎭
上单调递增.
故()f x 在x
=
处取得极小值1
11ln 2
22f m m =+-，无极大值. （3）不妨令111
11()x x x e x
h x x e xe
----=-=， 设1
1(),(1,),()10x x u x e
x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，
()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=， 10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，
所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，
由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，
()(1)0f x f <=恒成立；
所以不等式111
()x f x x e
->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >. 当01m <<1
>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝
上单调递减， 所以(1)0f f
<=，不满足题意. 当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e
-=
---+， 因为1,1m x ≥>，所以1
1111,1,01,10x x x mx x e e e
---≥><<-<-<，
322122
111111
()1x x x x F x mx x x x e x x x
---+'=-++->-++-=， 即()
22
(1)1()0x x F x x
--'>
>，
所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，
又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立， 即()()0f x h x ->恒成立， 故存在m 1≥，使得不等式111
()x f x x e
->-在(1,)+∞上恒成立， 此时m 的最小值是1. 【点睛】
本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 23．已知函数()()2
cos f x ax x a R =+∈
（1）当1
2
a =
时，证明()'0f x ≥，在[0,)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ 【解析】 【分析】 （1）根据()2
1cos 2
=
+f x x x ，求导()' f x x sinx =-，令()h x x sinx =-，用导数法求其最小值. ()2设()()'2,g x f x ax sinx ==-研究在0x =处左正右负，求导()'2.g x a cosx =-，分12
a ≥
12a ≤-，11
22
a -<<，三种情况讨论求解.
【详解】
（1）因为()21cos 2
=+f x x x ， 所以()' f x x sinx =-，
令()h x x sinx =-，则()'10h x cosx =-≥，
所以()h x 是[0,)+∞的增函数，
故()()00h x h ≥=，
即()'0f x ≥.
()2因为()()'2,g x f x ax sinx ==-
所以()'2.g x a cosx =-， ①当12
a ≥时，()'10g x cosx ≥-≥， 所以函数()'f x 在R 上单调递增.
若0x >，则()()''00;f x f >=
若0x <，则()()''00,f x f <=
所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(,0)-∞， 所以()f x 在0x =处取得极小值，不符合题意， ②当12
a ≤-时，()'10,g x cosx ≤--≤ 所以函数()'f x 在R 上单调递减.
若0x >，则()()''00,f x f <=
若0x <，则()()''00;f x f >=
所以()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，单调递增区间是(,0)-∞， 所以()f x 在0x =处取得极大值，符合题意. ③当1122
a -<<时，()00,x π∃∈，使得02cosx a =， 即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >即()'0,g x < 所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，
所以()()''00f x f <=，即函数()f x )在()00,x 上单调递减，不符合题意
综上所述，a的取值范围是
1
,
2⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.。