高三数学第三次周考试题

卜人入州八九几市潮王学校司马迁2021届
高三数学第三次周考试题
试题说明：1、本试题总分值是150分，答题时间是120分钟。

2、请将答案填写上在答题卡上，在在考试完毕之后以后只交答题卡。

第一卷选择题局部
一、选择题〔每一小题只有一个选项正确，每一小题5分，一共60分〕 1．集合A ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤3，x ∈N ，y ∈Z }，那么A 中元素的个数为()
A9B8C7D6
2．设R b a ∈,,那么“0>>b a
〞是“22b a >〞的()
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 3．设z ＝＋2i 〔i 是虚数单位〕，那么|z |＝() A0BC1D
4．在平面直角坐标系中，向量a ＝(1，2)，a －b ＝(2，1)，c ＝(x ，y)，假设(2a ＋b )∥c ，(a ＋c )⊥b ，那么x+y ＝()
A
21B 23C 23-D 2
1- 5．数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *
)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 2019＝() A3B4C1D0
6．为了得到函数y ＝2sin(2x －)的图象，可以将函数y ＝2sin2x 的图象() A 向右平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度
D 向左平移个单位长度
7．函数y ＝sin(2x －)在区间[－，π]上的简图是() 8．函数
()a x ax x f +-=22，对[]2,1∈∀x 都有()0≤x f 成立，那么实数a 的取值范围是〔〕
A
(]0,∞-B ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-54,C (]1,∞-D []0,1-
9．函数f (x )＝2cos 2
x －sin 2
x ＋2，那么()
A f (x )的最小正周期为π，最大值为3
B f (x )的最小正周期为π，最大值为4
C f (x )的最小正周期为2π，最大值为3
D f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 10．函数()x
x f =，假设对R x ∈∀都有
()()kx x f x f ≥-+1成立，那么实数k 的取值范围是()
A
()1,2-B []1,2-C []1,1-D (][)+∞-∞-,12,
11．函数
()()⎩
⎨
⎧>-≤-=1,11
,121x x x x x f ，假设对任意的n ∈N *，定义
()()()x f f x f n n 11=+，那么
()=20192020f ()
A0B1C2D2021
12．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，那么() A f (－25)<f (11)<f (80)B f (80)<f (11)<f (－25) C f (11)<f (80)<f (－25)D f (－25)<f (80)<f (11)
第二卷非选择题局部
二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕
13．假设5
4cos -
=α，α是第三象限角，那么⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
4sin πα
=________． 14．，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．
15．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，那么n ＝________．
16．p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝q ：∀x ∈R ，都有x 2
＋xp ∧qp ∧(﹁qp )∨qp )∨(﹁q ，其中正确的选项是________(把所有正确结论的序号都填上)．
三、解答题〔17小题10分，18--22小题每一小题12分，一共70分〕 17、(10分){}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是首项为2且单调递增的等比数列，其前n 项和
为n T ，1232=+b b ，1432a a b -=，()21111118+=T S b .
(1)求数列
{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)设()531
+=
n n a c ，n n b p 2log =，求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⨯n n p c 11的前n 项和n G ． 18
、
(12
分
)
ABC
∆的内角
C
B A ,,的对边分别为
c
b a ,,，
()2
sin sin 32sin sin 2
B A c
C A C a =+. (1)求角B ； (2)假设6=+c
a ，ABC ∆的面积32=S .求
b .
19、(12分)四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC ⊥DC ，BE ⊥AD 垂足为E ， F 为CD 中点，AB=BD=2,CD=1 〔1〕求证：AC ∥面BEF ； 〔2〕求点B 到面ACD 的间隔．
20、某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成 右图茎叶图，其中A 组学生每天学习数学时间是缺乏1个 小时，B 组学生每天学习数学时间是到达一个小时。

规定90分及90分以上记为优秀，75分及75分以上记 为达标，75分以下记为未达标．
〔1〕分别求出A 、B 两组学生的平均分A x 、B x 并估计 全班的数学平均分x ；
〔2〕如今从成绩优秀的学生中任意抽取2人，求这两人恰好都来自B 组的概率； 〔3〕根据成绩得到如以下联表：
①直接写出表中a 、b 、c ②判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否〞与“每天学习数学时间是能否到达一小时〞有关． 参考公式与临界值表：K 2
＝.
21、(12分)抛物线E ：px y 2=的焦点F 恰好是椭圆C:22=+y x 的右焦点
〔1〕务实数
p 的值及抛物线E 的准线方程；
A
B
C
D
E
F
A 组
B 组 8567 543757 65085589 959059
〔2〕过点F 任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于A 、B 和M 、N 点，求两条弦的弦长之和MN
AB +的最小值．
22、(12分)函数
()x x
ax x f ln 1
--=
. 〔1〕当1=a 时，求f (x )的单调区间；
〔2〕假设对∈∃x [，e]，使
()0≤x f 成立，务实数a 的取值范围(其中e 是自然对数的底数)．
答案
一、1D2A3C4C5B6A7A8B9B10B11C12D 二、13、－；14、6；15、2；16、②③
17、【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ()1>q
由得b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2
)＝12，
而b 1＝2，所以q 2
＋q －6＝0
又因为
()1>q ，解得q ＝2，所以b n
＝2n
由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －1a ＝8 由()2111111
8+=T S b ，可得1a ＋5d ＝16
解得1a ＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n
〔2〕由〔1〕得1+=n c n ，n p n =，
所以
1
1
111111+-
=⨯+=⨯n n n n p c n n 所以1111111
41313121211+=+-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n G n
18、【解】〔1〕因为
π=++C B A ,π
<<C B A ,,0，
由()2sin sin 32
sin
sin 2
B A c
C A C a =+和正弦定理R C c
B b A a 2sin sin sin ===得： 2
sin sin sin 32sin sin sin 2
B A
C B C A =， 又因为02sin
,sin ,sin
≠B C A ，所以2sin 32sin 2B B =，2
sin 322cos 2sin 22B B B = 2
cos 2sin
3B B =，33
2tan =
B ，3
π
=
B
〔2〕由面积公式324
3sin 21===
ac B ac S
得8=ac ， 由余弦定理()123cos 22
222
=-+=-+=ac c a B ac c a b
得32=b
19、〔1〕【证明】：因为BE ⊥AD ，AB=BD 所以E 为AD 中点 又因为F 是CD 中点，所以AC ∥EF
而AC ⊄面BEF ，EF ⊂面BEF ，所以AC ∥面BEF 〔2〕【解】由得BC=
3，AD=22，AC=7，
所以三角形ACD 为直角三角形其面积2
7
=∆ACD S ，三角形BCD 的面积2
3=
∆BCD
S 设点B 到面ACD 的间隔为h 因为ACD B BCD
A V V --=即h S S ACD BCD ⨯=⨯∆∆3
1
231
解得7
21
2=
h 所以点B 到面ACD 的间隔为7
21
2 另法：作BH ⊥AC 于H ，
因为AB ⊥面BCD 所以AB ⊥DC ，又因为BC ⊥DC ，所以DC ⊥面ABC,所以DC ⊥BH,而BH ⊥AC 所以BH ⊥面ACD
在直角三角形ABC 中，
21AB ⨯BC=2
1AC ⨯BH ，解得BH=7212
20、【解】〔1〕A 组学生的平均分()809995868580757473656810
1
=+++++++++=
A
x B 两组学生的平均分()859995908988858577756710
1
=+++++++++=
B
x 估计全班的数学平均分()5.821085108020
1
=⨯+⨯=
x 〔2〕设这两人恰好都来自B 组为事件E 由题意该概型符合古典概型，
成绩优秀的一共计5人，A 组2人设为A1、A2，B 组3人设为B1、B2、B3，从5人中抽取两人有如下情况：A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3 一共计包含根本领件10个，事件E 包含根本领件3个
两人恰好都来自B 组的概率为P 〔E 〕=
10
3
〔3〕①通过茎叶图知a=6、b=4、c=9、d=1；
②由公式K 2
＝=()4.25
12
5151010366202
==⨯⨯⨯-⨯
P(K 2≥)=0.05，而K
2
841.34.2<=
所以没有95%的把握认为“数学成绩达标与否〞与“每天学习数学时间是能否到达一小时〞有关。

21、【解】〔1〕由椭圆C 整理得12
22
=+y x 1,1,2===⇒c b a
所以焦点F 的坐标为()0,1
所以
2=p
所以抛物线E 的准线方程为：1-=x
〔2〕由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线AB 的斜率为k ，方程为
()1-=x k y ，那么MN 的斜率为k 1-
，方程为()11
--=x k
y 设A
()11,y x 、B ()22,y x
由()⎩⎨⎧=-=x
y x k y 412得()0222
222=++-k x k x k 因为0>∆
，所以2
2142k x x +
=+，12
1=x x
所以
221442k
x x AB +
=++= 同理得
22
44144k k MN +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+
=
所以
161881482222=⨯+≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=+k k k k MN AB
当且仅当2
2
1
k k =
即1±=k 时取“等号〞
所以两条弦的弦长之和
MN AB +的最小值为16
22、【解】(1)f (x )＝－ln x ＝1－－ln x ，
f (x )的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x )＝－＝，
f ′(x )＞0⇒0<x <1，f ′(x )<0⇒x ＞1，
所以f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)
()0≤x f ⇔x x a ln 1+≤
，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1 令()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=e e
x x x
x g
,1,ln 1
由()10=⇒='
x x g
当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈1,1e x 时，()0<'x g ，g (x )在[，1]上单调递减 当()e x ,1∈
时，()0>'x g ，g (x )在[1，e]上单调递增，
11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e e g ，()11+=e e g ，⎪⎭
⎫
⎝⎛e g 1()e g >
所以g (x )在[，e]上的最大值为11-=⎪⎭
⎫
⎝⎛e e g 所以1-≤e a
，所以实数a 的取值范围为(]1,-∞-e。