无穷级数中的柯西定理和黎曼定理

无穷级数中的柯西定理和黎曼定理
在《微积分》（上册）第364页上提到柯西定理和黎曼定理，它们说的是绝对收敛级数与非绝对收敛级数（即条件收敛级数）各自的特性或两者的区别。

设有级数
而它对应的绝对值级数为
令
，
，因为
，
，所以若级数
收敛，则正项级数
和
都收敛（比较判别法），从而级数
也收敛。

此时，称
的收敛性为绝对收敛。

其次，若级数
发散，但级数
收敛，则后者的收敛性称为非绝对收敛或条件收敛。

此时，和
都发散，（反证法）譬如若
收敛，根据
，则
也收敛，从而
也收敛，这与
发散的假设矛盾。

现在，设有收敛的任意项级数
（★）
用任意方式重新配置级数（★）的项的次序（即用任意方法交换它的项的次序），得到新的级数
（★★）
原来级数的每一项都不遗漏也不重复出现在新级数中，而新级数各项也都是原级数中的项（没有添加新的项），并且认为新级数的项
对应原级数的项记为。

现在所要讨论的问题是：（1）级数（★★）是否仍收敛？（2）若收敛，它是否仍收敛于级数（★）的和数
？在讨论这两个问题时，必须把级数的绝对收敛与非绝对收敛（即条件收敛）区别开来。

柯西定理若级数（★）绝对收敛，则任意交换它的项的次序后重新得到的级数（★★）仍收敛，而且和数不改变。

换句话说，绝对收敛级数具有任意项之间的可交换性。

证首先假设级数（★）是正项收敛级数。

因为级数（★★）的部分和
单调增大有上界
，所以级数（★★）收敛，并且和
；另一方面，对于级数（★）的部分和
，取
足够大，使
包含项
，则
，先让
，再让
，则得
，因此，
其次，假若（★）是任意项的绝对收敛级数，其中
，当用任意方式重新配置级数（★）的项的次序时，得到的新级数（★★）的项，根据上面所证，
和
都收敛，而且
，。

因此，
即用任意方式重新配置级数（★）的项的次序时，得到的新级数（★★）仍收敛且和数不改变。

黎曼定理若级数（★）条件收敛（即非绝对收敛），则适当交换它的项的次序，可使它收敛到预先给定的任何数值，也可使它发散到
或。

证因为级数（★）条件收敛，所以
和
（但是，
，
）。

与开始采用的记号略有不同，下面不妨认为
，即级数
和
中已经删除了那些值为零的项（这不影响它们的敛散性）。

现在，对于预先给定的数值
（不妨认为
），首先取级数
前面若干项，使
【但
】
再接着取级数
前面若干项，使
【但
】
再接着取级数
中剩下项的前面若干项，使
【但
】
再接着取级数
中剩下项的前面若干项，使
【但
】
重复以上方法，一直继续下去，则得到一个新级数
它的部分和数列在数值
左右摆动，而且与
的偏差的绝对值逐渐趋于零，所以它收敛于
；又因为每个括号内各项都是正数，则去掉括号后的级数（★★★）
的部分和介于前者两个部分和之间，所以去掉括号后的级数仍收敛且也收敛于。

级数（★★★）的每一项都是原来级数（★）的项，这就证明了黎曼定理的前一个结论。

其次，凭借
和
，并用上面同样的方法，只要适当调换级数（★）的项的次序，就可以证明黎曼定理的后一个结论。