高三数学(理)二轮复习第二部分分层技法专题 4 法确保压轴大题少拉分

解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我 们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题 目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”， 先做第(2)问，跳一步解答．如：
[例 2] (满分 12 分)设函数 fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c ∈R)．
(1)设 n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间12，1内存在 唯一零点；
(2)设 n＝2，若对任意 x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4， 求 b 的取值范围；
(3)在(1)的条件下，设 xn 是 fn(x)在12，1内的零点，判断数 列 x2，x3，…，xn，…的增减性．
[规范解答及评分细则] (1)证明：b＝1，c＝－1，n≥2 时， fn(x)＝xn＋x－1. ∵fn12 fn(1)＝21n－12×1<0， ∴fn(x)在12，1内存在零点． 又∵当 x∈12，1时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0， ∴fn(x)在12，1上是单调递增的，
(12 分)
③若 x＝3 和 x＝53均不是方程的解，则方程在区间53，3上
有且仅有一个根，只需 f
5 3
·f(3)<0⇒－2
52 7 <k<
7
5.故在区间
53，3上有且仅有一个根，满足题意．
综上所述，k 的取值范围是－27 5，275∪±34. (14 分)
[抢分有招] 本题难度较大，要想做题完整太难，不用 怕，只需学会缺步解答．第(2)问求出轨迹方程后，一些考生 想到所求方程有条件限制，但不知如何求解，作为考生不用 再考虑(体现缺步解答)，可利用第(2)结论求解(3)问，求解中 只利用判别式等于零，而缺失判别式大于零这一步骤，从而 得出结果不完整，可拿到一定的分数，这就是我们常说“丢 三拉四”．
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
(3分)
易知直线l的斜率存在， ∴设直线l的方程为y＝mx， 当直线l与圆C1相切时，d＝ |3mm2－＋01| ＝2，
解得m＝±2 5 5.
(4分)
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25
＝0，解得x＝53.
(5分)
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
[例1] (2015·广东高考·满分14分)已知过原点的动直线 l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标． (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程． (3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在， 说明理由．
其中53<x≤3，
(8分)
记f(x)＝(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2，
其中53<x≤3. 若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)＝0.
当Δ＝0时，解得k2＝
9 16
，即k＝±
3 4
，此时方程可化为
25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2＝0，
解得 x＝152∈53，3，∴k＝±34满足条件．
(10 分)
当 Δ>0 时， ①若 x＝3 是方程的解，则 f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为 x＝
0<53，故在区间53，3上有且仅有一个根，满足题意． (11 分)
②若 x＝53是方程的解，则 f 53＝0⇒k＝±275⇒另一根为 x ＝6243，53<6243≤3，故在区间53，3上有且仅有一个根，满足题意．
(6分)
②当－1≤－b2<0，即0<b≤2时， M＝f2(1)－f2－b2＝b2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b2≤1，即－2≤b≤0时， M＝f2(－1)－f2－b2＝b2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b≤2.
(7分) (8分)
(3)法一：设 xn 是 fn(x)在12，1内的唯一零点(n≥2)，fn(xn) ＝xnn＋xn－1＝0，
[规范解答及评分细则]
(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的
圆心坐标为C1(3,0)．
(1分)
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且 M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴ MC1 ·MO＝0. 又∵ MC1 ＝(3－x，－y)， MO＝(－x，－y)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴53<x≤3.
(6分)
∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中
5 3
<x≤3，其
轨迹为一段圆弧．
(7分)
(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把 直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，其中53<x≤3，
化简得(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0，
技法专题 4 法确保压轴大题少拉分
高考是一场智者的竞技，真正的高考高手是坦然 的，他们懂得有舍才有得的真正道理，针对高考大题， 特别是压轴题，哪些应该勇于割舍，哪些应该努力争 取．本讲教你四个策略，让你在考场上尽可能地多抢 分、巧得分！
如果遇到一个很困难的问题，确定啃不动，一个聪明 的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个 个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多 少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是 那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法， 每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得 出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”．
fn＋1(xn＋1)＝xnn＋ ＋11＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈12，1， 于是有 fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1) ＝xnn＋＋11＋xn＋1－1<xnn＋1＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)． 又由(1)知 fn(x)在12，1上是单调递增的， 故 xn<xn＋1(n≥2)，
(2 分)
∴fn(x)在区间12，1内存在唯一零点．
(4分)
(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c. 对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x) 在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如
下：
(5分)
①当b2>1，即|b|>2时， M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．