非系统RS (31,19)编译码算法研究与FPGA实现

非系统RS (31,19)编译码算法研究与FPGA实现
宋英杰
【摘要】针对战术数据链系统低时延数据传输需求,提出一种适用于数据链系统的信道编码方案一非系统缩短码RS(31,19).本文从MS多项式的观点讨论了非系统RS码的编码和译码算法,并对缩短RS码的编译码算法进行了研究.最后在FPGA EP3SE110上采用了一种改进的BM算法,成功实现RS(31,19)编译码复杂算法,有效提高了译码速度,简化了数据链系统硬件设计.
【期刊名称】《现代导航》
【年(卷),期】2012(003)002
【总页数】6页(P142-147)
【关键词】RS码;非系统;编码;译码;FPGA
【作者】宋英杰
【作者单位】中国电子科技集团公司第二十研究所,西安 710068
【正文语种】中文
【中图分类】TN762
在通信系统中，由于信道中干扰的存在，使得所传输的信息不可避免地产生错误，因此通过信道编码对传输信息进行纠正显得十分重要。

RS码是一类具有很强纠错能力的多进制 BCH码，在线性分组码中它的纠错能力和编码效率是很高的。

它不但可以纠正随机错误，也能纠正突发错误。

因为RS码本身具有很强的纠错能力，
已经被广泛应用于数字通信和存储系统中。

从以上角度分析研究RS码具有十分重要的意义。

在数据链系统中低时延是一个很重要的指标要求，非系统RS码解码与系统RS码相比，不需要求出差错位置和差错值，解码步骤少，对低码率的码在计算机上实现译码，可节省实际运算时间大约1/3。

因此研究非系统RS码在工程实践方面是很有意义的。

根据特定数据链系统信息传输速率的要求，选用GF(28)上原码为RS(255,243)的缩短码RS(31,19)。

符号取自GF(q)、纠t个错误的RS码具有如下参数[1]：
1 非系统RS码的编码和译码原理
1.1 非系统RS码的编码原理
设M(x)为信息多项式：
它的MS多项式就是编码后的码字信息：
设原码 RS(N,K)的缩短码为RS(n,k)码（n=N-i,k=K-i ）。

为了得到缩短码应使原码的前i个码元符号为0，并且不传送这些符号，此时信息多项式要加以改变。

设“传输信息多项式[2]”
当x=αn,...,x=αN-1时，码字的前i个符号为0，也就是说以M(x)作为信息多项式所编的码是一个(n,k)缩短RS码。

1.2 非系统RS码的删/错译码原理
令RS码译码器的删错个数为s，差错个数为t，能纠正下式决定删错和差错个数的任意组合：s+2t≤ d -1。

为了后面叙述方便，现将非系统 RS码的译码步骤以图1说明。

图1 非系统RS码的译码算法步骤
1.2.1 计算伴随式
令包含错误图样的接收多项式：r(x)=C(x)+e(x)=rn-1xn-1+rn-2xn-2+....+r0，设它的MS多项式为S(x)=Sn xn +Sn-1xn-1+...+S1x，则MS多项式系数：
1.2.2 计算删错位置多项式
设s个删除错误的位置分别是 p1,p2,...,ps，对应的删除错误值为ep1,e p 2,...,eps，令删错位置数Yk=αpk，为已知量，它是删错位置多项式的倒数根。

设删错位置多项式
1.2.3 计算修正（差错）伴随式
定义修正伴随式系数Tm如式（3）所示，它对求差错位置多项式来说，是消除了删错影响的伴随式，对接收码字伴随式进行了修正，因此称为修正伴随式。

1.2.4 迭代求差错位置多项式[1][2]
设在接收向量中含有t个差错，它们的位置分别是 l1,l 2,...,lt ，对应的错误值为el 1,el 2,...,elt ，令差错位置数=αlj j=1,2,...,t。

设差错位置多项式σ′′(x)
式中，Xj的倒数为σ′′(x)的根。

σ′′(x)的系数与修正伴随式的系数有如下关系：利
用伯利坎普迭代算法求取系数σ1′′ ,σ2′′ ,...,σt′′ 。

1.2.5 求错误位置多项式
综合考虑删错和差错的错误位置多项式[1][3]
1.2.6 求信息估值
把删错和差错都作为错误符号统一考虑，推出错误图样e(x)的MS多项式，错误位置以 l1,l 2,...,lt+s表示，错误位置数以Xi=αli 表示，相应的错误值为Ai=el i ，i=1,2 ,...,t+s ，则错误图样
的MS多项式
删除位置数和差错位置数都是σ(x)根的倒数，所以σ() =0。

对上式两边同乘以，将所得t+s个等式求和，并令i=n-k+1，n-k +2 ,...,n，得
利用上式可求出Ei。

在GF(2m)上的信息估值
1.2.7 由传输信息多项式恢复原来的信息
根据式（1）把传输符号换成原来的信息符号即可。

2 非系统RS(31,19)FPGA编译码实现
在伽罗华域 GF（2m）上有三种运算是不得不提的：加法、乘法、求逆。

RS码的每个码字是伽罗华域 GF（2m）中的一个元素，其运算是伽罗华域的运算。

对于GF(28)上原码是 RS(255,243)的缩短码RS(31,19)来说，伽罗华域的加法是有限域GF(28)上的元素按位做异或运算。

设
的系数 ci=ai+ bi，这里的加法是GF（2）的加法。

伽罗华域GF(28)上的本原多项式为P(x)=x8+x4+x3+x2+1，则伽罗华域GF(28)上的任意两个元素的乘积C=A·B可由下式求出。

对于伽罗华域GF(28)上的求逆运算没有简单的公式可寻，可以将元素的逆存储到ROM里。

在求逆运算时，采用查表法即可。

2.1 RS(31,19)编码
RS(31,19)是 RS(255,243)的缩短码，所以
为了硬件实现编码，将码多项式系数改写为以下方程式：
F(αj )可由 MATLAB提前计算出来，编码电路如图2所示。

图2 RS(31,19)编码电路
图2中⊕表示GF(28)中的加法，即8个异或门，⊗表示GF(28)中的乘法，表示GF(28)中的元素寄存器。

假设输入信息向量为[1 ,2 ,3,...18,19]，图3表示的是在板运行时，用QuartusII的在线逻辑分析仪 SignalTap上采集的编码数据，图 3中Encode_ Data_31_19是编码后的数据。

2.2 RS(31,19)译码
（1）计算伴随式
由式（2）可得RS(31,19)伴随式系数Si=r (αi)，为了硬件实现简单可写成以下方式：
编码电路图可采用图2所示方法。

为了验证译码器的纠错能力，设s=4、t=3，伴随式数据如图4所示，其中sL表示 S1,...,S12，sH表示 S13,...,S31。

（2）计算删错位置多项式
如式（3）所示，当s=4时除系数σ1′,σ2′,σ3′ ,σ′4外其余系数肯定为0。

在板实现如图5所示。

图3 编码数据
图4 伴随式数据
图5 删错位置多项式系数
（3）计算修正（差错）伴随式
对于RS(31,19)来讲，由式（4）知，FPGA 内需要 n -k -s=8个符号寄存器存储
修正（差错）伴随式系数Ti。

在板实现如图6所示。

图6 修正伴随式系数
（4）迭代求差错位置多项式
为了有效提高了译码速度，简化硬件设计，在FPGA实现方面，将BM算法[1][2]进行改进来求差错位置多项式，采用流程图如图7所示的算法。

j和i是迭代次数，lj和li是多项式σ(j)(x)和σ(i)(x)的次数，
迭代过程中按公式 l j +1=max(l j ,j-i+li)，先求出lj+1，然后计算(j+1)-lj+1。

由
于j-lj≤i-li ，可知lj+1=lj，所以第j+1次迭代的(j+ 1)-l j+1=j+1-lj =K+1；若j-
lj＞i-li ，则lj+1=j -i +li ，因此(j+1)-lj+1=G +1，由于G,K已交换，所以(j+1)-
lj+1=K +1，于是每次迭代(j+1)-lj+1都等于K+1。

经过 2t次迭代，得到系数
σ1′′,σ2′′,...,σt′′。

SignalTap上采集的数据如图8，因为t=3，所以除σ1′′, σ2′′ ,σ3′′以外其余系数
为0。

（5）求错误位置多项式
式（6）是两个多项式的乘积，可采用多项式相乘电路[1]实现。

图9表示在板实现时，在QuartusII的SignalTap上采集的数据。

（6）求传输信息估值
对RS(31,19)来说传送的信息估值：
图7 伯利坎普迭代算法流程图
图8 求差错位置多项式系数
图9 错误位置多项式系数
（7）由传输信息多项式恢复原来的信息RS(31,19)的传输信息多项式为：
由式（8），式（9）可得
而将(x-α31)(x-α32)...(x-α254)展开可求出M2′23,M2′22,...,M2′06，带入式（8）求出M19,M18,...,M0，在板实现时，在QuartusII的在线逻辑分析仪SignalTap 上采集的数据如图10所示。

图10 译码数据
从图 10中可以看出译码信息为[1 ,2,3,...,18,19]和输入信息相同，译码完全正确。

3 结束语
本文从MS多项式的观点讨论了非系统RS码的编码和译码算法，并对缩短RS码的编译码算法进行了研究。

并且在Altera公司的FPGA EP3SE110上成功实现原码为RS(255,243)的缩短码RS(31,19)的复杂算法。

经在板实测，能够满足系统的各项指标要求，该方法对工程实践具有很好的指导意义。

参考文献：
[1](美)Shu LinJr, 何元智.差错控制编码（第二版）[M].北京: 机械工业出版社, 2007
[2]邹世开.非系统 RS码的编码和解码[J].北京航空航天学报,1987(3)
[3]邹世开.非系统 RS码的删/错译码算法[J].北京航空航天学报,1990(1)。