(高中段)专题微课(三)在破题方面,圆锥曲线存在的几个思维转化痛点

≤432×t2＋23－t2＝2 2，
当且仅当 t2＝3－t2，即 t＝－ 26时等号成立．
于是△ABD 面积的最大值为 2 2.
[方法技巧] 破解圆锥曲线中的对称问题的关键
一是“图形”引路，一般需要借助题设给出的图形(或画出大致的几何图 形)，把已知条件“翻译”到图形中，利用直线方程的点斜式(或斜截式)写出直 线方程；
[解题观摩] (1)证明：设 D(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A(－x1，－y1)，直线 BD 的斜率 k＝xy22－－xy11. 因为 B，D 都在椭圆上， 所以x421＋y212＝1，x422＋y222＝1， 两式相减，得xy22－－xy11＝－12×xy11＋ ＋xy22， 因为 kAB＝xy11＋ ＋yx22＝－1，所以 k＝xy22－－xy11＝12， 则直线 BD 的斜率为定值12.
[对点训练] 1．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点1，32，且其离心率为12，过坐标原点 O
作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别相交于 M，N 两点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程； 若不存在，请说明理由．
所以 kPF＝x1y－1 1，kNF＝1－y2x2， kPF－kNF＝x1y－1 1－1－y2x2 ＝y11－ x1－x21－1y－2xx12－ 1
＝kx1－21－x1－x21－1k－xx2－2 2x1－1 ＝3kx1＋1－x2x－12x2k－x11x2－4k ＝3k·1＋8k22k2－1－2kx11＋8kx22－2k－221－ 41k＋＋28kk23＝0， 所以 kPF＝kFN，所以 P，F，N 三点共线．
(2)存在定点 Q433，0，满足直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称． 由题意知，直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x＋my－ 3＝0，
x＋my－ 3＝0，
由x42＋y2＝1
消去 x 并整理，得(4＋m2)y2－2 3my－1＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t,0)(由题意知 t≠x1，t≠x2)，
专题微课(三)|在破题方面，圆锥曲线存在的几个思维转化痛点 解析几何就是利用代数方法来研究几何问题，研究的过程是：几何问题 →代数问题→代数结论→几何结论． 所以它的两大任务是：(1)把几何问题转化为代数问题；(2)研究代数问 题，得出代数结论． 其中把几何问题转化为代数问题是解题的起始环节，尤为重要，下面是 几种常见几何条件的转化：
(3)等腰三角形条件的转化
几何性质
代数实现
①两边相等
两点的距离公式
②两角相等
底边水平或竖直时，两腰斜率相反
③三线合一(垂直且平分)
垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式
(4)菱形条件的转化
几何性质 ①对边平行 ②对边相等
③对角线互相垂直平分
代数实现 斜率相等，或向量平行 长度相等，横(纵)坐标差相等
则xx661222＋＋yy332212＝＝11，， 两式相减，得x621＋y312－x622＋y322＝0， 整理，得xy11－－yx22·xy11＋＋yx22＝－36， 所以xy11－－xy22·xy00＝－12， 即 k·kOM＝－12(kOM 为直线 OM 的斜率)， 所以 kOM＝－21k.
[解题观摩] (1)由△ABF2 的周长为 4 6，可知 4a＝4 6， 所以 a＝ 6. 又 e＝ac＝ 22，所以 c＝ 3，b2＝a2－c2＝3. 于是椭圆 E 的方程为x62＋y32＝1. (2)证明：当直线 AB，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点 M， N 在 x 轴上，此时 O，M，N 三点共线． 当直线 AB，CD 的斜率存在时，设其斜率为 k(k≠0)， 且设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
消去 y 并整理，得 3x2＋4tx＋4t2－8＝0.
则 x1＋x2＝－43t，x1x2＝4t23－2，
所以|BD|＝
1＋122· x1＋x22－4x1x2
＝ 25·
－43t2－4×4t23－2＝
25·
96－32t2 3.
所以 S△ABD＝2S△OBD＝2×12×|BD|×d＝ 25× 96－3 32t2×2|5t|＝432× t23－t2
(1)求椭圆 C 的方程； (2)过点( 3，0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A，B，试问在 x 轴上是否 存在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB(直线 QA，QB 为两条不同的直线)恰 好关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意可得离心率 e＝ac＝ 23，又椭圆经过点－1， 23，则a12＋43b2＝1， 结合 a2－b2＝c2，可求得 a2＝4，b2＝1， 于是椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
(1)平行四边形条件的转化
几何性质 ①对边平行 ②对边相等 ③对角线互相平分
代数实现 斜率相等，或向量平行 长度相等，横(纵)坐标差相等
中点重合
(2)直角三角形条件的转化
几何性质 ①两边垂直 ②勾股定理 ③斜边中线性质(中线等于斜边一半)
代数实现 斜率乘积为－1，或向量数量积为0
两点的距离公式 两点的距离公式
(2)连接 OB，因为 A，D 两点关于原点对称，所以 S△ABD＝2S△OBD， 由(1)可知直线 BD 的斜率 k＝12，设直线 BD 的方程为 y＝12x＋t， 因为点 D 在第三象限，所以－ 2<t<1 且 t≠0. 点 O 到直线 BD 的距离 d＝ |1t|＋14＝2|5t|.
由yx4＝2＋12yx22＋＝t1，
垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式、中点重合
(5)圆条件的转化
几何性质 ①点在圆上 ②点在圆外 ③点在圆内
代数实现 点与直径端点向量数量积为零 点与直径端点向量数量积为正数 点与直径端点向量数量积为负数
(6)角条件的转化
几何性质
代数实现
①锐角，直角，钝角
角的余弦(向量数量积)的符号
②倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理(夹角、到角公式)
∴O 到直线 MN 的距离为 d＝ k|m2＋| 1＝ 172＝2 721，
故存在定圆 x2＋y2＝172与直线 MN 总相切．
类型二 对称问题的转化 [典例] 已知椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1，如图所示， A 是椭圆上的一点，且点 A 在第一象限内，过点 A 且斜率 等于－1 的直线与椭圆 C 交于另一点 B，点 A 关于坐标原 点的对称点为 D. (1)证明：直线 BD 的斜率为定值； (2)求△ABD 面积的最大值．
所以∠F2OB＝60°，e＝ 1＋ba2＝ 1＋tan260°＝2.
法二：双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax，由―F1→B ·―F2→B ＝ 0，得 F1B⊥F2B.
故点 B 在圆 O：x2＋y2＝c2 上． 不妨设点 B 在第一象限，
由y＝bax， 得点 B(a，b)． x2＋y2＝c2
由―F1→A ＝―A→B ，得点 A 为线段 F1B 的中点，
所以 Aa－2 c，b2，将其代入 y＝－bax 中，得 c＝2a，
所以 e＝ac＝2.
[答案] 2
[方法技巧] 几何关系“直角”坐标化的转化方式
(1)点 B 在以线段 F1F2 为直径的圆上； (2)―F1→B ·―F2→B ＝0； (3)kF1B·kF2B＝－1； (4)勾股定理． 以上关系可相互转化．
[对点训练] 3．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)过点(0,1)，其右焦点为 F(1,0)．
(1)求椭圆 C 的方程和离心率； (2)过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，Q 关于 x 轴对称的点为 N， 判断 P，F，N 三点是否共线？并加以证明．
解：(1)依题意：b＝1，c＝1，所以 a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆
C
的方程为x22＋y2＝1，离心率
e＝ac＝
2 2.
(2)依题意可知直线 PQ 的斜率存在，
设直线 PQ 的方程为 y＝k(x－2)，
y＝kx－2，
由x22＋y2＝1
整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 N(x2，－y2)，x1＋x2＝1＋8k22k2，x1x2＝18＋k2－2k22.
y＝kx＋m，
由x42＋y32＝1
得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－3＋8k4mk2，x1x2＝43m＋2－4k122.
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. ∴(k2＋1)·43m＋2－4k122－38＋k24mk22＋m2＝0， 即 7m2＝12(k2＋1)．
同理可得 kON＝－21k(kON 为直线 ON 的斜率)． 所以 kOM＝kON，即 O，M，N 三点共线． 综上所述，O，M，N 三点共线．
[方法技巧] 证明三点共线问题的方法
圆锥曲线中的三点共线问题，其实就是对应直线(斜率存在)上的三点中相 关两个点对应的斜率相等问题，即若要证明 A，B，C 三点共线，即证明 kAB＝ kAC(或 kAB＝kBC 或 kAC＝kBC)．
则 y1＋y2＝42＋3mm2，y1y2＝4＋－m1 2. 易知直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称，即直线 QA 与直线 QB 的斜率互 为相反数， 所以x1y－1 t＋x2y－2 t＝0，即 y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0. 又 x1＋my1－ 3＝0，x2＋my2－ 3＝0， 所以 y1( 3－my2－t)＋y2( 3－my1－t)＝0， 整理得( 3－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0 从而可得( 3－t)·42＋3mm2－2m·4＋－m1 2＝0，即 2m(4－ 3t)＝0.
解：(1)∵椭圆 C 经过点1，32，∴a12＋49b2＝1， 又∵ac＝12，解得 a2＝4，b2＝3. ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1. (2)当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M(x0，x0)，N(x0，－x0)． ∵M，N 在椭圆 C 上，∴x420＋x320＝1，∴x20＝172. ∴O 到直线 MN 的距离为 d＝|x0|＝2 721， ∴x2＋y2＝172. 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y＝kx＋m，
所以当 t＝433，即点 Q 的坐标为433，0时，直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称． 综上所述，在 x 轴上存在定点 Q433，0，使得直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称．
类型三 三点共线的转化 [典例] 设椭圆 E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若椭圆 E 的离心率为 22，△ABF2 的周长为 4 6. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设不经过椭圆的中心 O 而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C，D，设 弦 AB，CD 的中点分别为 M，N，证明：O，M，N 三点共线．
③等角(相等或相似)
比例线段或斜率
类型一 垂直关系的转化 [典例] (2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若―F1→A ＝―A→B ，―F1→B ·―F2→B ＝0，则 C 的离心率为________． [解题观摩] 法一：由―FA→1 ＝―A→B ，知 A 是 BF1 的中点． 因为 F1B⊥F2B，又 O 是 F1，F2 的中点， 所以 OA 为中位线，且 OA⊥BF1， 所以 OB＝OF1，因此∠F1OA＝∠BOA. 又根据两条渐近线对称，可知∠F1OA＝∠F2OB，
二是“目标”定位，即先锁定求解的目标，如本例第(2)问探求△ABD 面 积的最值问题，可连接 OB，将求△ABD 面积的问题转化为求△OBD 面积的问 题，再对与△OBD 面积相关的弦长|BD|和点 O 到直线 BD 的距离进行求解．
[对点训练] 2．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且经过点－1， 23.