不定方程在解题中的应用

. 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容所谓不定方程是指解得范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数.
古希腊数学家丢番图于三世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.1969年,莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果.研究不定方程要解决三个问题：①判断何时不定方程在解题中的应用
,,,,,,x y z x y z 有解.②有解时决定解的个数.③求出所有的解.
中国是研究不定方程最早的国家,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究.百鸡问题说:"鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何？".设分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解这是一个三元不定方程组问题. 下面我们主要讨论二元一''00,,),,,,|.
,)|,/,/ax by c a b d a a d b b d c Z ax by c d c a b c ax by c x c d y c d αβ+====∈+=+===次不定方程有整数解的条件与解法.
关于二元一次不定方程有三个定理,彻底解决了它的解得存在性、通解结构以及求解方法.
定理1 若(则不定方程 有整数解的充要条件是定理2 若(则不定方程有特解00'
0'
00000.,,.
,,,,0,1,2,.
//()//,,.
a b d ax by c x x y y x x b t y y a t t ax by a c d b c d a b c d dc d c x y ax by c αβαβαβαβ+=+===⎧=+⎪
⎨⎪=-=±±⎩+=+=+=+=其中 由带余除法给出满足定理3 若不定方程有特解则其通解为
…证明定理2 因为 =所以是的解
解不定方程没有222,,00,0.
2540,a a x y x y x y ≥≥+-++=固定的方法需具体问题具体分析经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不定式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法,解不定方程的技巧是对方程适当变形,灵活运用相关知识.本文就几类常见的不定方程做如下浅析.
在初中数学中,经常用的非负数有：①0;②0;若干个非负数的和为那么每个非负数均为例11 已知求、的负数2.1 非的巧用
222222.2540(12)(1)0
(12)0,(1)0.,0,0.
1
,1
2
,,
x y x y x y x y x y +-++=-++=-≥+≥==值 分析：方程左边配方可变为非负数之和
解：由得 因为一般地几个非负数之和为则每个非负数均为 所以 在解一下涉及到多个变元的问题如果题设条件并没有给出未知数的大小顺序在不影响命题的成立的前提下,给缩2.2 利用放法解不定方程
117
.
8
1,1,x y z x y x y z x y z ++=<≤≤它们假定一个大小顺序,那么就可将问题转化为解不等式(组),通过缩小范围而求解.
1例12 求方程的正整数解 分析：这个方程是关于、、z 的轮换对称式,易知、、都大于不妨取
11
.,,.
11113183
1,,,2,3.
7113111132
2,,,,3,4,5.
88,,)(2,3,24)(2,4,8).
x y z
x y z x y z x x x y z x x x
x y y z y y z y y
x y z ≥≥<≤≤<++≤<≤==+=<+<≤=1则将复杂的三元不定方程转化为一元不等式通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,缩小、、的取值范围求出其结果 解：不妨设则即所以 ①当时即所以此时(共有、两组 111311121132
3,,,
24242,3.(,,),,12(,,)(2,3,24),(2,24,3),(3,2,24),(3,24,2),(24,2,3),(24,3,2),(2,4,8)(2,8,4),(4,2,8),(x y z y y z y y y
y x y z x y z x y z =+=<+≤<≤= ②当时,且所以所以此时的值为(3,2,24).由于、、在方程中的地位平等将上述结果作排列共有下面组解的值分别是：4,8,2),(8,2,4),(8,4,2).
,11175.(321,111)3,3|75,x y +== 一个二元一次方程得分解有无数多个但我们常常只求整数解,甚至只求正整数解,加上这一限制后,解可能唯一确定或只有有限个或无解.求它的整数解时，在这里我们介绍三种方法：
例13 求321的通解 解一 辗转相除法
由于故原方程有整数解,并等价于数2.3 二元一次方程的整解
3725(1),107,37x y +=⨯⨯⨯⨯ 107 (1)
为了求的一组整数解对作辗转相除： 107=372+33, 37=331+4, 33=48+1, 4=1 4.
008338(3733)339378(107372)937810793726.(1)9252625.x y ⨯=-⨯-=⨯-⨯=-⨯⨯-⨯=⨯-⨯=⨯=-⨯ 从余数是零的前一个等式开始,由下向上依次代入,得 1=33-4 这就找出的一组解
22537,
650107,0,1,2,337(6),8107(6),337,
8107,0,1,2,x u y u u x u y u x t y t t =+⎧⎪⎨
=--=±±⎪⎩=++=--+=+⎧⎪⎨
=--=±±⎪⎩ 于是原方程的通解为
?.
由于所以原方程的通解也可以写成
?. 解二 逐渐减小.37(1)25332.
37
y x
y x -=-+系数
选择系数的绝对值较小的未知数来解用除的两边,得
,,(2533)/37,.333725.33,254.
33
,(254)/33,,x y x u x u u
x u u v -+=-=-+-
如果都是整数则必是整数设它为这就有 上式两边除以得
同理必是整数设它为于是
43325.4,168.
4
(1)/4,14,233,337,
8107,u v v
u v v t v t u t x t y t t +=-=-+-==-=-+=-=-+= 上式两边除以得
令得而从而可得原方程的通解
0,1,2,⎧⎪⎨
±±⎪⎩…. 00(21)1074(3)2(4)378107325,(8)107(3)25.
3,
8,
337,
8107,x y x t y t ⨯⎧⎪⎨
⨯+-=⎪⎩⨯-⨯=-⨯-+⨯-==⎧⎪⎨
=-⎪⎩=-=-+解三
372-107=-33 (2)
由于37去除107所得的商的整数部分为2,做两个等式37 (3)
将式乘加式就得到即为：37于是得到原不定方程的一组特解：从而得原方程的整数解： 1111
120,1,2,(4)(,,0,(,)10,.,,(,,0),(1)t ax by c a b c ab a b a a b a b q r q r r a b aq r aq b r a q b r ⎧⎪⎨
=±±⎪⎩+=≠=><<<=+-=-+-= ?.
在这里，我们重点讲解第三种方法
设二元一次不定方程都是整数,这里规定且）用去除得商余数为为整数且即 (5)
列二等式： 12120000,(,)(,)1,.,),(4)).
(5)a b r r s t sr tr c x y x x bt
t y y at
⎧⎪⎨
⎪⎩==+==-⎧⎪⎨=+⎪⎩ (6)
由初等数论知进而存在二整数 使成立
于是可从(5)、(6)两式作线性迭加求得(4)的一组特解(进而得到的整数解的通式：
(为整数 为了证明、(6)公12,.
1,,,0,,,(,)(,).(,,,0,,r r a b b a b aq r r a q r a b a r a b a r a b b a b aq r r a q r >=+<<=>=+<<式中均为互素的正整数需要引入初等数论中的下述定理 定理：假设都是正整数且 其中和都是正整数则和的最大公因数等于和的最大公因数即此定理的证明在一般数论教材中都有,可参阅.)由此定理可得到一下推论.
推论：如果是互素的两个正整数且 其中和都是正
整数则12111112112.(5)(6),,,,,.(3)(2),..,(4),(5)a r r r b aq r a b q r r a a r a r r a r r r c =+<=+和也一定是互素的 现在来证明公式、中是互素的正整数.从公式(5)中得到因为是互素的两个正整数,和又是正整数且0<由以上推论可知和是互素的将等式减去等式得到由于和是互素的因此根据推论可知和是互素的因此对于不定方程中的任何值总可以从和(6)两式线性迭加出一组1212,,.
r r c r r c ξηξη+=特解来.因为从初等数论中可知,若和是互素的正整数而是一个整数则一定存在有两个整数,使得：成立
1234121
342
12123,(5)(6),,,,,,
,,(4),,,x x x x ax bx y ax bx y y y x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 说明：利用这种方法解二元一次不定方程的关键是作两个等式但这两个等式并非一定要取上述的、两式的形状不可如任取四个非零整数作成以下两个等式的形式
只要为两个互素的整数将这两个式子线性迭加也可以得出方程的一组特解来但这种随意取得41212,,,(5),,(4)x y y r r 不能保证和一定互素而本文所述的方法能确保前面、(6)两式中和为互素的正整数因此可以得出二元一次不定方程在任意变形情况下的特解来.
综上所述,可以看出此方法简单易行,避免了辗转相除法解不定方程的繁复转化过程,不失为二元一次不定方程的又一种行之有效地解题方法.
出师表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，
攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。