广西桂林十八中2013-2014学年高二5月段考数学(文)试卷

第I 卷（共60分）
一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合{}
230A x x x =-≤，U R =，则U C A = A 、{}0,3x x x ≤≥或 B 、{}0,3x x x <>或
C 、{}03x x ≤≤
D 、
{}03x x <<
2、若复数z 满足 21z
i i
=+，则z 的虚部为
A 、2-
B 、2i -
C 、2
D 、2i
3、下列函数在区间()1,1-上单调递增的是
A 、1
y x
=
B 、2y x =
C 、3y x =
D 、ln y x = 4、 抛掷一个骰子，落地时向上的点数是3的倍数的概率是
A 、
12 B 、13 C 、23 D 、16
5、以椭圆22
:185
x y C +
=的焦点为顶点，以椭圆C 的顶点为焦点的双曲线的方程是 A 、22185x y -
= B 、22158y x --= C 、22
135
x y -= D 、
22
153
y x -=
6 、如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为
A 、3
4 B 、16
C 、
1112 D 、2524
7、函数()3
+f x x x =在1x =处的切线为
A 、44y x =+
B 、42y x =-
C 、44y x =-
D 、42y x =-
8、数列
{}n a 是等差数列，()()1231,0,1a f x a a f x =+==-，其中
()242f x x x =-+，则通项公式n a =
A 、24n -+
B 、24n --
C 、24n -或24n -+
D 、24n -
9、已知2z x y =+，实数,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则z 的最大值为
A 、6
B 、3
C 、32
D 、52
10、等比数列{}n a 的各项均为正数，且56
4718a a a a +=，则
3132310log log ...log a a a ++=
A 、12
B 、8
C 、32log 5+
D 、10
11、函数3
1()443
f x x x =
-+的极大值与极小值之和为
A 、8
B 、
263
C 、10
D 、12
12、已知过定点()1,1M -的直线与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB ⊥，O 为坐标原点，则该直线的方程为
A 、y x =-
B 、23y x =-
C 、34y x =-
D 、2y x =-
第II 卷（共90分）
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13、双曲线22
1169
x y -
=的离心率为___________. 14.设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 233,7S S ==，则公比q =__________.
15、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件.为了了解它们产品的质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间抽取了3件，则n =______. 16、设函数(
)f x =
（a R ∈，e 为自然对数的底数）.若曲线sin y x =
上存在点()00,x y 使得()()0
f
f y y
=，则实数a 的取值范围是____________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）
在锐角ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()(2,,sin m a b n B =-=,且.m n ⊥，则
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ) 若8ABC S b c ∆=+=，求边a . 18、（本小题满分12分)
已知等比数列{a n }满足. 222,3a S == (Ⅰ)求{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设数列{}n b 满足()111,2n n n a b a b b n -=+=≥，求数列{}n b 的通项公式．
19、（本小题满分12分）
在一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支.
求下列事件的概率： (Ⅰ)恰有一支一等品；
(Ⅱ) 既有一等品又有二等品.
20、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ABCD ⊥底面，M SD 为的中点， 且SA AD AB ==.
(Ⅰ)求证：AM SC ⊥;
(Ⅱ)求直线SD 与平面ACM 所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线的方程为y =，焦点到渐近
线
（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）已知倾斜角为
3
4
π
的直线与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2
2
5x y +=上，求直线的方程.
22、（本小题满分共12分）
已知函数
22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨
>⎩,其中a 是实数.设
11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. (Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.
数 学（文科）参考答案
18、（本小题满分12分)
()()()()()()()
()
2
212111
11111111
121213243111123,1,22,1,
2...22 (22122221212)
12n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a I S a a a a q a a a q n N II b a a b b b b a b b b b b b b b b b b b b n n b b --*
-------=+=+=∴===∴==∈==+=⇒-=∴-=∴-+-+-++-=+++-⇒-=
=-⇒=-≥-==解：公比经检验，当时，也满足上式，所以1,n n N *
-∈
19、（本小题满分12分）
()()()()9
20
9
20
I A i P A II B P B =
=
解：设事件表示恰有支一等品,则设事件表示既有一等品又有二等品，则
20、（本小题满分12分）
(),,,,,,
,,
I CD AD CD SA CD SAD AM SAD
AM CD SA AD M SD AM SD AM SCD SC SCD AM SC
⊥⊥∴⊥⊂∴⊥=⊥∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面又为中点，即有平面又平面
(
)2,1
321
1
2
11
33
sin ACM ADM ADM ACM C ADM D ACM II SA AD AB AM
CM S
AM CM S AM DM D ACM h V V S CD S h h SD ACM
h DM θθ∆
∆∆∆--=====∴=
====⇒⨯=⨯⇒=∴=
=三棱锥三棱锥设则又设点到平面的距离为，则
设与平面所成角，则
21.(本小题满分12分)
2221b
a a
b a b
c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⇒⎨
=⎪⎩+=⎪⎪⎩
∴所求双曲线C 的方程为2
2
12
y x -=. （Ⅱ）设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段,A B 的中点为()00,M x y ， 直线的方程为0x y m ++=则
由2
212
0y x x y m ⎧-
=⎪⎨⎪++=⎩
得22220x mx m ---=， 则2880=m ∆+>，12
000,22
x x x m y x m m +=
==+=, ∵点()00,M x y 在圆2
2
5x y +=上， ∴()2
225m m +=，∴1m =±.
1010x y x y ∴++=+-=直线的方程为，或
22、（本小题满分共12分）
解:(Ⅰ)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞ (Ⅱ) 当021<<x x 或012>>x x 时,)(1x f ')(2x f '≠,故210x x <<. 当01<x 时,()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为
)()22()2(11121x x x a x x y -⋅+=++- 即 a x x x y +-+=2
11)22(.
当02>x 时,()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为
)(1ln 222x x x x y -⋅=
- 即 1ln 122
-+⋅=x x x y .。