湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 含解析

2018-2019学年湖南省衡阳八中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.sin 240︒的值为（ ）
A.
2
B.
12
C. 12
-
D. 2
-
【答案】D 【解析】
试题分析：()
3
sin 240sin 18060
sin 60=+=-=-
，故选D ． 考点：1、三角函数的诱导公式；2、特殊角的三角函数值．
2.已知向量()34a =-，
，2b =，若5a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A.
23
π
B.
3
π C.
4
π D.
6
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量数量积运算的定义可求得夹角的余弦值，从而得到夹角. 【详解】由()3,4a =-得：9165a =+=
cos ,52cos ,5a b a b a b a b ∴⋅=<>=⨯<>=，解得：1cos ,2
a b <>=
∴a 与b 的夹角为：
3
π 本题正确选项：B
【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.
3.已知角θ的终边经过点()2,3-，则tan 4πθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A. 5
B. 15
-
C.
15
D. 5-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据任意角三角函数定义求得tan θ，利用两角和差正切公式求得结果. 【详解】由任意角的三角函数定义可知：3tan 2
θ=-
3tan tan
1
42tan 5341tan tan 1142π
θπθπθ---⎛⎫-=== ⎪⎛⎫⎝⎭++-⨯ ⎪∴⎝⎭
本题正确选项：A
【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求解正切值，涉及到三角函数的定义，属于基础题.
4.已知()4,3a =，()5,12b =-，则a 在b 上的投影为（ ） A.
16
5
B.
335
C.
1613
D.
3313
【答案】C 【解析】 【分析】
利用cos ,a b a a b b
⋅<>=
直接求得结果.
【详解】a 在b 上的投影为：
16
cos ,1325a b a a b b
⋅<>===+ 本题正确选项：C
【点睛】本题考查向量
a 在
b 上的投影，关键是能够应用向量数量积得到投影公式，根据坐标运算求得结果.
5.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知 2a b =＝，A 4
π
=
，则B =（ ） A.
6
π
B.
3
π C.
6π或56π D.
3π或23
π
【答案】D 【解析】
由正弦定理sin sin a b A B
=
，可得：sin 2sin 2b A B a ⋅===B 的大小，得到答案。

【详解】由题意，因为2a =
，b =，4
A π
=
，
由正弦定理sin sin a b A B
=
，可得：sin 2sin 2b A B a ⋅=== 又因为b a >，则B A >，可得：,4B ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以3B π=或23π．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数的应用，其中解答中利用正弦定理，求得
sin B =
6.已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αα
αα
-=+（ ）
A. 15
- B. 15
C. 54
-
D.
54
【答案】A 【解析】 【分析】
分子分母同时除以cos α，可将所求式子化为关于tan α的式子，代入求得结果. 【详解】
sin 3cos tan 3231
2sin cos 2tan 12215
αααααα---===-++⨯+
本题正确选项：A
【点睛】本题考查求解正弦、余弦的齐次式的值的问题，关键是能够通过除法运算构造出关于正切值的式子，属于常考题型.
7.已知ABC ∆中，90ABC ∠=，2AB =，D 边BC 上一动点，则AB AD ⋅=（ ） A. 2 B. 2-
C. 4
D. 无法确定
【答案】C 【解析】
根据平面向量基本定理可将问题变为2AB AB BD +⋅，根据垂直关系和数量积运算的性质可求得结果.
【详解】
()
2
AB AD AB AB BD AB AB BD ⋅=⋅+=+⋅
90ABC ∠= 0AB BD ∴⋅= 2
4AB AD AB ∴⋅==
本题正确选项：C
【点睛】本题考查向量数量积的求解，关键是能够根据平面向量基本定理将问题转化为夹角和模长已知的向量的数量积的求解问题.
8.已知向量()()(
)2
cos
,sin 22a x x ωϕωϕ=++，()
2,
3b =（其中0>ω，0,2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
），若函数
()f x a b =⋅为偶函数，则ϕ的取值为（ ）
A.
12
π
B.
6
π C.
4
π D.
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据数量积运算、二倍角和辅助角公式整理出()2sin 2216f x x πωϕ⎛⎫
=++
+ ⎪⎝
⎭
，根据函数奇偶性可得26
2
k π
π
ϕπ+
=
+，k Z ∈，结合ϕ的范围求得结果.
【
详
解
】
()()
(
)(
)
()
2
2
c o s
f
b ωϕω=
⋅
=
2
s
i
n
6x πωϕ⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭
()f x 为偶函数 26
2
k π
π
ϕπ∴+
=
+，k Z ∈ 6
2
k π
π
ϕ∴=
+
，k Z ∈ 又0,
2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
6
π
ϕ∴=
本题正确选项：B
【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式的问题，涉及到向量的数量积运算、根据二倍角和辅助角公式化简的问题，属于常考题型.
9.已知ABC ∆内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos 4a B b A +=，且3
C π
=，则ABC ∆的外接
圆半径为（ ）
B.
23
D.
43
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据余弦定理化简条件得c ，再根据正弦定理求外接圆半径.
【详解】因为222222
a c
b b
c a cos cos 22a B b A a b c ac bc +-+-+=⨯+⨯=,所以4c =，从而外接圆半径
为
1142233
c sinC sin π⨯=⨯=,选C.
【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理，考查基本求解能力,属基本题.
10.在ABC △中，若22sin cos sin cos 222
B B A
C ⋅=，则ABC △( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 非等腰三角形
D. 直角三角形]
【答案】B 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换的公式，化简得到cos()1B C -=,求得B C =，即可求解，得到答案．
【详解】由题意知，在ABC △中，若22sin
cos sin cos 222
B B A
C ⋅=， 即1cos 1111
sin sin cos()(cos cos sin sin )22222
A B C B C B C B C +=
=-+=--， 化简得11
(cos cos sin sin )22
B C B C +=，即cos()1B C -=,
所以0B C -=，即B C =，所以ABC △是等腰三角形，故选B ．
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式，化简得到cos()1B C -=是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11.若对于任意x ∈R 都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，则函数(2)cos 2y f x x =-的图象的对称中心为（ ） A. ,0,4k k π
π⎛⎫
-
∈ ⎪⎝
⎭
Z B. (),0,k k π∈Z
C. ,0,24k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝
⎭Z D. ,0,2k k π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
Z 【答案】D 【解析】
∵对任意x ∈R ，都有f （x ）+2f （–x ）=3cos x –sin x ①，用–x 代替x ，得f （–x ）+2f （x ）=
3cos （–x ）–sin （–x ），即f （–x ）+2f （x ）=3cos x +sin x ②；①②联立，解得f （x ）=sin x +cos x ，所以函数y =f （2x ）–cos2x =sin2x +cos2x –cos2x =sin2x ，图象的对称中心为（π
2
k ，0），k ∈Z ，故选D ．
12.如图，已知圆()()2
2
:444M x y -+-=，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，,E F 分别为边,AB AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是（ ）
A. ⎡-⎣
B. []8,8-
C. ⎡-⎣
D. []4,4-
【解析】 【分析】
由平面向量基本定理可知OF OM MF =+，结合垂直关系和数量积运算性质可知ME OF ME OM ⋅=⋅，根据数量积的定义，可得8cos ME OM ME OM =<⋅>⋅，从而求得范围. 【详解】由题意可得：OF OM MF =+，
()
ME ME OM ME OM M OF MF M E F ⋅=⋅+=⋅+⋅∴ ME MF ⊥ 0MF ME ∴⋅= ME OF ME OM ⋅=∴⋅
M 的半径为2 2ME ∴=
又242OM =
=，∴cos 8cos ME OM ME OM ME OM ME OM ⋅∴<>=<=⋅⋅⋅>
[]cos 1,1ME OM ∈-⋅<> []8,8ME OF ⋅∴∈-
本题正确选项：B
【点睛】本题考查向量数量积取值范围的求解问题，关键是能够通过平面向量基本定理和垂直关系将所求数量积转化为ME OM ⋅，通过数量积的定义，结合三角函数的范围求得对应的取值范围.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设平面向量()3,1m =-，()6,n b =，若//m n ，则b =_____． 【答案】2- 【解析】 【分析】
根据向量共线的性质构造方程求得结果. 【详解】
//m n 36b ∴-=，解得：2b =-
本题正确结果：2-
【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属于基础题.
14.若ABC ∆的三边长为2，4，5，则ABC ∆的最大角的余弦值为_____． 【答案】516
-
【分析】
根据三角形大边对大角可知5所对的角为ABC ∆的最大角，利用余弦定理求得结果. 【详解】由三边长可知：5所对的角为ABC ∆的最大角，设此角为C
416255
cos 22416
C +-∴=
=-⨯⨯
本题正确结果：5
16
-
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形的问题，关键是明确三角形中大边对大角的特点.
15.已知2sin cos 0x x m ++>对任意x ∈R 恒成立，则m 的取值范围是_____． 【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】
将问题转变为2c o s c o s 1m x x >--，利用二次函数()2
1g t t t =--，[]
1,1t ∈-的性质可求得
2cos cos 11x x --≤，从而得到所求范围.
【详解】由2sin cos 0x x m ++>得：22sin cos cos cos 1m x x x x >--=-- 设()2
1g t t t =--，[]
1,1t ∈-，可知()g t 对称轴为：1
2
t =
()()max 11111g t g ∴=-=+-=
即2cos cos 11x x --≤ 1m ∴>，即m 的取值范围为：()1,+∞ 本题正确结果：()1,+∞
【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到与余弦函数有关的二次函数的最值求解，关键是能够通过分离变量将问题转化为所求参数与函数最值的大小关系上.
16.设非零向量a b ，的夹角为θ，若2a b =，且不等式3a b a b λ+≥+对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围是_____． 【答案】[]3,5- 【解析】
根据模长关系可求得2
2
c o s a b b θ⋅=，通过平方运算可将恒成立的不等式化为
()()2
33124cos 0λλθ-+-≥，根据cos θ的取值范围，可知若不等式恒成立，则当cos 1θ=±时，不等式
均成立，从而构造出不等式组求得范围. 【详解】
2a b = 2
cos 2cos a b a b b θθ∴⋅=⋅=
由3a b a b λ≥++得：()()
2
2
3a b
a b λ+≥+
即：22222962a a b b a a b b λλ+⋅+≥+⋅+ 则：2
2
2
2
22
23612cos 44cos b b b
b b b θλθλ++≥++
b 为非零向量 23612cos 144cos θλθλ∴++≥++
则：(
)()2
33124cos 0λ
λθ-+-≥恒成立
[]cos 1,1θ∈- 22
331240
331240
λλλλ⎧-+-≥∴⎨--+≥⎩，解得：35λ-≤≤ 本题正确结果：[]3,5-
【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够通过平方运算将向量的模长关系转化为数量积运算的形式，进而将不等式转化为与夹角余弦值有关的不等式，进而根据余弦值的取值范围构造出不等式.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=-，,αβ均为锐角，且25
a b -=. （1）求()cos αβ+的值；
（2）若3
sin 5α=，求cos β的值． 【答案】（1）35 ；（2）24
25
．
【解析】 【分析】
（1）计算出1a =，1=b ，对25
a b -=
进行平方，根据两角和差余弦公式可构造出关于()cos αβ+的
方程，解方程求得结果；（2）根据角的范围可求得4
cos 5α=
，()4sin 5
αβ+=，根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，利用两角和差余弦公式求得结果.
【详解】（1）由题意得：1a =，1=b
()
()2
2
22222cos cos sin sin a b a b
a a
b b αβαβ∴-=-=-⋅+=--()4
22cos 5
αβ=-+=
解得：()3cos 5
αβ+=
（2）,0,2
παβ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
()0,αβπ∴+∈
由3sin 5α=
，()3cos 5αβ+=可得：4
cos 5α=，()4sin 5
αβ+=
()()()344324
cos cos cos cos sin sin 555525
βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++=⨯+⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查根据两角和差余弦公式化简、求值的问题，涉及到向量数量积运算、同角三角函数值的求解，易错点是忽略角的范围，造成求解同角三角函数值时出现符号错误.
18.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin C c B =． （1）求角C 的大小；
（2）若4c =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长． 【答案】（1）3
π
；（2）12. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简边角关系式可求得tan C ，根据C 的范围可求得C ；（2）利用三角形面积公式可求得ab ；利用余弦定理构造出关于+a b 的方程，求出+a b ；根据周长等于a b c ++求得结果.
【详解】（1cos sin sin B C C B =
()
0,B π∈ sin 0B ∴≠ sin tan cos C
C C
∴==()0,C π∈ 3
C π
∴=
（2）由三角形面积可知：11sin sin 2234
S ab C ab ab π=
===16ab ∴=
由余弦定理可知：()()2
2
2222
232161cos 22322
a b ab c a b a b c C ab ab +--+--+-====
解得：8a b +=
ABC ∆∴的周长为：8412a b c ++=+=
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、三角形面积公式、余弦定理的应用，属于常考题型.
19.已知函数()f x =πsin (0,0)6
A x A ωω⎛⎫+>> ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示．
(1)求,A ω的值;
(2)求()f x 的单调增区间;
(3)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的
最大值和最小值．
【答案】(1)
1,?2A ω==;（2）单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z (3)π 6x =时,()f x 取得最大值
1;π
6x =-时,f (x )取得最小值12
-． 【解析】
试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和ω值; (2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解; (3)利用三角函数的单调性和最值进行求解． 试题解析： (1)由图象知1,A =
由图象得函数的最小正周期为2ππ236⎛⎫
-
⎪⎝⎭
=π, 则由
2π
ω
=π得2ω=．
(2)令πππ
2π22π,?262k x k k Z -
+≤+≤+∈ 2ππ2π22π33k x k ∴-+≤≤+. k ∈Z
ππ
ππ36
k x k ∴-+≤≤+. k ∈Z
所以f (x )的单调递增区间为πππ,π,.36k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z
（3）
ππππ
,2,6432x x -
≤≤∴-≤≤ ππ2π2663
x ∴-≤+≤.
1πsin 2126x ⎛
⎫∴-
≤+≤ ⎪⎝
⎭. 当ππ2,62x +=即π
6x =时,()f x 取得最大值1; 当ππ2,66x +=-即π6x =-时,f (x )取得最小值1
2
-．
20.如图，在OAB ∆中，已知P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+.
（1）若BP PA =，求,x y 的值；
（2）若2BP PA =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60时，求OP AB ⋅的值． 【答案】（1）11
,22
；（2）8-. 【解析】 【分析】
（1）根据平面向量基本定理可得OB OA OP OP -=-，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得
21
33
OP OA OB =+，AB OB OA =-，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.
【详解】（1）由BP PA =得：OB OA OP OP -=-
()
111
222
OP OA OB OA OB ∴=
+=+
12
x ∴=
，12y =
（2）由2BP PA =得：()
2O OB OA P OP -=- 21
33
OP OA OB ∴=+ 又4OA =，2OB =，且OA 与OB
的
夹角为60
则()
222121133333OP AB OA OB OB OA OA OA OB OB ⎛⎫
⋅=+⋅-=-
+⋅+
⎪⎝⎭
211
1642cos6048333
=-⨯+⨯⨯+⨯=-
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、平面向量数量积的求解，关键是能将所求向量的数量积通过平面向量基本定理转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算.
21.已知函数()2
22cos 1f x x x =--，x ∈R （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,
a b c
，且c ()0f C =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积．
【答案】（1）π；（2 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为()2sin 226f x x π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭，利用2T π
ω
=求得结果；（2）由()0f C =，结合C 的范围可求得3
C π
=
；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得
cos sin 2sin cos A B A A =；分别在cos 0A =和cos 0A ≠两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.
【详解】（1）()2
22cos 12cos 222sin 226f x x x x x x π⎛
⎫
=--=--=-
- ⎪⎝
⎭
()
f x ∴最小正周期：22
T π
π=
= （2）由()0f C =得：2sin 2206C π⎛⎫
-
-= ⎪⎝
⎭，即：sin 216C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭ 226
2
C k π
π
π∴-
=
+，k Z ∈，解得：3
C k π
π=
+，k Z ∈
()0,C π∈ 3
C π
∴=
由()sin sin 2sin 2C B A A +-=得：
()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A B B A A B A B B A B A A B
++-=++-=4sin cos A A =
即：cos sin 2sin cos A B A A =
若cos 0A =，即2
A π
=
时，
sin c
a C
=
==
则：b ==
11
22
ABC S bc ∆∴===若cos 0A ≠，则sin 2sin B A = 由正弦定理可得：2b a =
由余弦定理得：22222
22cos 54cos 363
c a b ab C a a a π
=+-=-==
解得：a =
b ∴=
11sin 223
ABC S ab C π
∆∴=
== 综上所述，ABC ∆
【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.
22.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移2
π
个单位长度. （1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2） 已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解α、β. （i ）求实数m 的取值范围；
（ii ）证明：2
2cos()15
m αβ-=-.
【答案】(1)()2sin f x x =, ()f x 的对称轴方程为()2
x k k Z π
π=+∈.
(2)（i
）(-,（ii ）证明见解析.
【解析】
解法一：（1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2y cosx =的图
像，再将2y cosx =的图像向右平移2π个单位长度后得到2()2
y cos x π
=-的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为().2
x k k Z π
π=+∈
（2）1）f()g()2sin cos )
x x x x x x +=+
)x ϕ=+（其中sin
cos ϕϕ=
= 依题意，sin(
x ϕ+[0,2)π内有两个不同的解,αβ当且仅当|1<，故m 的取值范围是
(.
2）因为,αβ)=m x ϕ+在区间[0,2)π内有两个不同的解， 所以sin(
αϕ+sin(βϕ+.
当1≤+=2(
),2();2π
αβϕαβπβϕ--=-+
当时,3+=2(),32();2
π
αβϕαβπβϕ--=-+ 所以2
2
22cos()cos 2()2sin ()11 1.
5m αββϕβϕ-=-+=+-=-=- 解法二：（1）同解法一. （2）1） 同解法一.
2） 因为,αβ)=m x ϕ+在区间[0,2)π内有两个不同的解， 所以sin(
αϕ+sin(βϕ+.
当1≤+=2(
),+();2
π
αβϕαϕπβϕ-=-+即
当时,3+=2(),+3();2
π
αβϕαϕπβϕ-=-+即 所以cos(+)cos()αϕβϕ=-+
于是cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()αβαϕβϕαϕβϕαϕβϕ-=+-+=+++++
2
2
222cos ()sin()sin()[1] 1.
5m βϕαϕβϕ=-++++=--+=-
考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．。