专题 高考数学二轮复习综合验收题精讲(二)-讲义

高考数学二轮复习综合验收题精讲（二）
主讲教师：王春辉 北京市数学高级教师
选择题
注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一：若01m n <<<，则下列结论正确的是（ ）．
A ． 1
12
2
m n > B ． (12)m <(12)n C ． 11
log log 22
m n > D ．sin sin m n <
题二：在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．36
题三：如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（ ）． A ．36 B ．39 C ．312 D ．318
题四：下列命题中，真命题是（ ）．
A ．01,2
>--∈∀x x R x B ．βαβαβαsin sin )sin(,,+<+∈∀R
C ．01,2
=+-∈∃x x R x D ．βαβαβαcos cos )sin(,,+=+∈∃R
题五：设函数266,0
()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩
，若互不相等的实数321,,x x x 满足
)()()(321x f x f x f ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．
A ．]6311(，
B ．），（326320
C ．2026]33
（， D ．）
，（6311
填空题
题一：已知),,0(,2cos sin πααα∈=+则=αtan ___________．
题二：函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是 ．
题三：正三角形ABC 边长为2，设2BC BD =，3AC AE =，则AD BE ⋅=__________．
题四：某市居民自来水收费试行“阶梯水价”，标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为4.6元，当用水超过5吨时，超过部分为每吨8元．某月甲、乙两户共交水费63.7元，已知甲、乙两户该月用水量之比为5:3，则甲户该月应交水费为 元．
题五：根据下列方程解的情况回答问题．
方程：x x
2log 2=无实数解；方程：x x 1.1log 1.1=的近似解为1x =38.2287，2x =1.1118；
方程：x e e e x
e 1log 1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ (e 为常数，近似为2.7183) 的解为e x =； 方程：x x
1.0log 1.0=的近似解为x =0.3990；
方程：x x
01.0log 01.0=的近似解为1x =0.9415,，2x =0.2780，3x =0.0131．
下列叙述正确的是 （多选、少选均不得分）．
① 存在实数a ，满足条件>10>a ，且使得曲线x y a y a x
log ==与有且只有两个交点； ② 存在实数1a >，使得曲线x y a y a x
log ==与有且只有三个交点；
③ 若0a >且1a ≠，对任意x R ∈，有log x
a a x >，则实数a 的取值范围是1(,)e
e +∞；
④ 曲线x y y x
01.0log 01.0==与的不在直线x y =上的交点设为B A ，，则直线AB 与直线y x
=垂直．
解答题
题一：设(sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x →
→
==-，()2()f x a b a →
→
→
=-⋅．
（1）求函数)(x f 的值域；（2）画出函数)(x f y =在区间35[,]88
ππ
-
上的图象．
题二：如图，在三棱锥ABC S -中，侧面SAC 与底面ABC 垂直， ,E O 分别是AC SC ,的中点，
2
==SC SA ，AC BC 2
1
=
， 90=∠=∠ACB ASC ． （1） 求证：OE //平面SAB ；
（2） 若点F 在线段BC 上，问：无论F 在BC 的何处，是否都有SF OE ⊥？请证明你的结论； （3） 求二面角C AS B --的平面角的余弦值．
O
E
C
B
S
F
题三：抛物线2
2y px =过点(1,2)D ，焦点为F 。

ABC ∆的三个顶点都在这个抛物线上。

设直线
AB AC BC 、、的斜率分别为123,,k k k ，且0,1,2,3i k i ≠=．
（Ⅰ）求p 的值及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设AB 中点为E ，且2CF FE =，求证：
123
111
0k k k ++=； （Ⅲ）若直线AB 过点G (5,2)-，证明ADB ∠的大小为定值．
题四：已知0a >，函数()ln f x x a x =
的最小值是()g a ．
38
π-
8
π
38
π 58
π x O
1
2 y
(1)求()g a 的表达式；(2)证明：2()(3)g a a <-．
题五：将所有平面向量组成的集合记作2
R ，f 是从2
R 到2
R 的映射，记作)(x f y =或
),(),(2121x x f y y =，其中2121,,,y y x x 都是实数。

定义映射f 1=x y 的最
大值，记做f .若存在非零向量2
R x ∈，及实数λ使得x x f λ=)(，则称λ为f 的一个特征值. （1）若),2
1(),(2121x x x x f =，求f ；
（2）如果),(),(212121x x x x x x f -+=，计算f 的特征值，并求相应的x ；
（3）若),(),(2211221121x b x b x a x a x x f ++=，要使f 有唯一的特征值，实数2121,,,b b a a 应满足什么条件？试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②λ=f ,并验证f 满
足这两个条件.
高考数学二轮复习综合验收题精讲（二）
讲义参考答案
选择题
题一：D ． 题二：C ． 题三：B ． 题四：D ． 题五：D ．
填空题
题一：1. 题二：
13
1
<<a ． 题三：2-． 题四：43． 题五：（3）（4）．
解答题
题一：（1）值域为[12,12]-+（2）图略．
详解：（1）
x x x x f sin )cos (sin 2)(+=22sin sin 2x x =+
sin 2cos 212)1
4
x x x π
=-+=-+
∴值域为[12,12]-+
（2）
题二：（1）（2）略；（3）
3
6
．
详解：（1）
E O ，分别是AC SC ,的中点∴OE //SA
又⊄OE 平面SAB ∴
OE //平面SAB
(2) 在SAC ∆中，OE //
AS , 90=∠ASC ∴SC OE ⊥
8
π
38
π 58
π x O
38
π-
1
2 y
平面⊥SAC 平面ABC ， 90=∠BCA
∴⊥BC 平面ASC ，
⊂OE 平面ASC ∴OE BC ⊥ ∴⊥OE 平面BSC
⊂SF 平面BSC ∴SF OE ⊥
所以无论F 在BC 的何处，都有SF OE
⊥
(3)由（2）⊥BC 平面ASC ， ∴BC AS ⊥
又 90=∠ASC
∴AS SC ⊥ ∴⊥AS 平面BCS ∴SB AS ⊥
∴BSC ∠是二面角C AS B --的平面角，在Rt BCS ∆中=
∠BSC cos 3
6
所以二面角C AS B --的平面角的余弦值为
3
6
（2）法二：
O 是AC 的中点，SC SA =∴ AC SO ⊥
又 平面⊥SAC 平面ABC ∴SO ⊥平面ABC
同理可得⊥BC 平面ASC ，在平面ABC 内，过O 做AC OM ⊥
以O 为原点，OS OC OM ,,所在直线为x,,y z 轴，建立空间直角坐标系，
M
O E
C
B
S
F
z
如图所示，则)0,0,0(O )0,1,0(-A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)1,0,0(S ， )1,1,0(=AS ，)0,2,1(=AB ，
BC F ∈，设)0,1,(x F ，则)1,1,(-=x SF ，)2
1
,21,0(=OE 0=⋅OE SF 恒成立，所以无论F 在BC
的何处，都有SF OE
⊥
（3）由（2）知平面ASC 的法向量为BC = (1,0,0)-
设平面SAB 的法向量为(,,)n
x y z =
则0=⋅
AS n ，0=⋅AB n ，即⎩⎨⎧=+=+0
20
y x z y 令1=y ，则2-=x ，1-=z
)1,1,2(--=n ，3
6|
|||cos =
⋅>=
⋅<BC n BC n BC n 所以二面角C AS B --的平面角的余弦值为
3
6．
题三：（Ⅰ）
2p =，(1,0)F ；
（Ⅱ）（Ⅲ）略． 详解：（1）抛物线22y px =过点(1,2)D ，则42p =，即2p =，
抛物线方程为24y x =，焦点(1,0)F 。

（2）设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y
则12121
221212
124
1()4
y y y y k x x y y y y --=
==
-+-，同理，2
13
4k y y =
+，3
23
4k y y =
+
由ABC ∆的重心焦点F ，所以
123
03
y y y ++=
1231232()11104
y y y k k k ++++== （3）设直线AB 方程：(2)5x m y =++，代入抛物线24y x =，得248200y my m ---=
设
1122(,),(,),A x y B x y
12124820y y m y y m +==--，，222121211
()(161640)44
x x y y m m +=
+=++， 22
212121(25)16
x x y y m =
=+， 1122(1,2),(1,2)DA x y DB x y =--=--，
则：DA DB
⋅=12121212()2()5x x x x y y y y -++-++
A
B
C
x
y
O
22(25)(4410)820850m m m m m =+-++---+=
所以2
ADB π∠=
．
题四：(1) ()22ln 2g a a a a =-；(2)略． 详解：(1)()ln (0)f x x a x x =
>
∴2'()2a x a f x x x
--
= ，令'()0f x =，解得2
4x a = 所以当204x a <<时'()0f x <，()f x 在2
(0,4)a 上递减；当24x a >时，'()0f x >，()f x 在2
(4,)a +∞上递增。

所以2
min ()()(4)22ln 2f x g a f a a a a ===-。

(2)方法一：令2
2
()(3)()892ln(2)k a a g a a a a a =--=-++
只需证明当(0,)a ∈+∞时，均有()0k a >，也就是需要证明min ()0k a >即可。

'()22ln(2)6k a a a =+-
因为，'()k a 在(0,)+∞上单调递增
又因为，4
'(1)2ln 24ln 4ln 0k e =-=-<，2
'(2)2ln 42ln16ln 0k e =-=-> 所以，'()0k a =在(0,)+∞上只有一根，设为0a 则012a <<，且000'()22ln(2)60k a a a =+-= 于是
a
0(0,)a
0a
0(,)a +∞
'()k a - 0 + ()k a
递减
极小值
递增
所以，min 00000()()892ln(2)k a k a a a a a ==-++。

因为，0022ln(2)60a a +-=
所以，2
min 00000()()89(62)k a k a a a a a ==-++-2
0029a a =--+ 又因为，012a << 所以，2
00()(1)100k a a =-++> 所以，对(0,)a ∀∈+∞均有，0()()0k a k a ≥>，即 当(0,)a ∈+∞时，2
()(3)a a ϕ<-恒成立。

方法二：令2
()(3)()k a a g a =--，则只需证明对(0,)a ∀∈+∞，均有()0k a > ①当2
e
a >
时，()2(1ln 2)0g a a a =-<，则()0k a >； ②当02
e
a <≤
时，'()22ln(2)6k a a a =+- 因为，2a e ≤ 所以，ln(2)1a ≤，2ln(2)2a ≤ 于是，'()22ln(2)6260k a a a e =+-≤+-<
故()k a 在(0,]2
e 上单调递减，2
1()()93024
e k a k e e ≥=
+->
由①②可知，对(0,)a ∀∈+∞，均有()0k a >。

所以，当(0,)a ∈+∞时，2
()(3)g a a <-恒成立。

题五 答案：（1）
1=f ；
（2）当2-=λ时，相应的)1,21(-=m x （写出一个即可）， 其中R m ∈且m 0≠；（3）略 详解：（1）由于此时2
2212
2214
1x x y y +=
+，又因为是在12221=+x x 的条件下，有
14
3414
12
22
2212
221≤+=+=
+x x x y y （21x =±时取最大值）
，所以此时有1=f 。

（2）由
),(),(),(21212121x x x x x x x x f λ=-+=，
可得：121
122
x x x x x x λλ+=⎧⎨
-=⎩，解此方程组可得：1)1)(1(=+-λλ，从而2±=λ。

当2=λ时，解方程121
122
22x x x x x x ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为
)1,12(+=m x （写出一个即可），其中R m ∈且m 0≠。

当2-=λ
时，同理可得，相应的)1,21(-=m x （写出一个即可），
其中R m ∈且m 0≠ （3）
解方程组()()11221
11122111222
,,0a x a x x x a b x a b b x b x x λλλλ+=⎧⇒-+--=⎨+=⎩
从而向量() 11,b a λ-与()λ--12,b a 平行，从而有2121,,,b b a a 应满足：04)(12221=+-b a b a 。

当
x x f λ=)(时，f
有唯一的特征值，且
λ
=f 。

具体证明为：
由f
的定义可知：对任意的
12(,)x x x =有：),(),(),(212121x x x x x x f λλλ==，所以λ为特征值。

此时
λλ====2121,0,0,b b a a 。

满足：04)(122
21=+-b a b a ，所以有唯一的特征值。

在12
22
1
=+x x 的条件下22221)()(λλλ=+x x ，从而有λ
=f 。