2018届高考数学二轮复习十七直线与圆锥曲线的位置关系注意命题点的区分度理

寒假作业(十七)直线与圆锥曲线的位置关系(注意命题点的区分度)
一、选择题
1．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2
3＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂
足恰好为椭圆的两个焦点，则k 的值为( )
A.3
2 B ．±32
C ．±12
D.12
解析：选B 由题意可得，c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±3
2
.
2．(2017·湖南五市十校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的
左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A. 2 B ．1 C ．1＋ 2
D ．2＋ 2
解析：选C 由已知得b 2a
＝2c ，即c 2－2ac －a 2
＝0，
所以e 2
－2e －1＝0，解得e ＝1±2， 又e ＞1，所以e ＝1＋2，故选C.
3．已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则p 的值为( )
A.12
B.32 C ．1
D ．2
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∵抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0， 则由题意，得m ＝p
2
.①
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －m ＝0，y 2
＝2px
消去y ，得x 2－2(p ＋m )x ＋m 2
＝0，
∴x 1＋x 2＝2(p ＋m )，x 1x 2＝m 2
，
∴|AB |＝2· p ＋m
2
－4m 2
＝6.②
由①②得p ＝3
2
，故选B.
4．已知双曲线x 212－y 2
4＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个
交点，则该直线的斜率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3)
C.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－
33，33 D ．[－3，3]
解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±
3
3
x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
－
33，33，故选C. 5．已知圆(x －m )2
＋y 2
＝4上存在两点关于直线x －y －2＝0对称，若离心率为2的双
曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为
( )
A ．1 B. 3 C ．2 3 D ．4
解析：选D 由题意得直线x －y －2＝0过圆心(m,0)，所以m ＝2，所以圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝4，且经过原点，易知渐近线与圆相交时的交点构成的图形为三角形，因为c a
＝2，所以b a
＝1，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以交点坐标分别为(0,0)，(2,2)，(2，－2)，所以三角形的面积为1
2
×2×4＝4，选D.
6.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭
圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜1
2，则
椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜1
2
，
所以13＜a 2
－c 2
a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 2
1＋e ＜12，从而可得12＜e ＜2
3
，选C.
7．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝
2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选A 由抛物线x 2
＝2py (p ＞0)可知其焦点为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2，所以b ＝p
2，又a ＝22，因
此双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p
42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐
近线平行，不妨设k ＝p
42，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝p 42 x －1，x 2＝2py
可得x 2
＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42x －1＝
p
2
22
x －2p ，即x 2
－p 2
22
x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2
222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.
8．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2
＋by 2
＝1(a ＞0，b ＜0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－
32，则a
b 的值为( ) A ．－
3
2
B ．－233
C ．－932
D ．－2327
解析：选A 由双曲线ax 2
＋by 2
＝1知其渐近线方程为ax 2
＋by 2
＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，
则有ax 2
1＋by 2
1＝0①，ax 2
2＋by 2
2＝0②， 由①－②得a (x 2
1－x 2
2)＝－b (y 2
1－y 2
2)． 即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)， 由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0， ∴
y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a
b
， 设AB 的中点为M (x 0，y 0)，
则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－3
2
，
又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a
b
， ∴a
b ＝－
32
. 9．已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线
C 的一个交点，若|FP |＝3|FQ |，则|QF |＝( )
A.83
B.52 C ．3
D ．2
解析：选A 设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝2
3，因为|MF |＝4，所以|NQ |
＝83，故|QF |＝|QN |＝83
. 10．过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M (－1,2)．若MA uuu r ·MB
uuu r ＝0，则直线l 的斜率k ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选C 抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F (1,0)，由题意可知直线l 的斜率存在，故可设直线l
的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝k x －
消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0，
Δ＝16k 2
＋16＞0，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝2k 2
＋4k 2，
x 1x 2＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－2k ＝2k 2
＋4k －2k ＝4k ，
y 1y 2＝－4.
∴MA uuu r ·MB uuu r
＝(x 1＋1，y 1－2)·(x 2＋1，y 2－2) ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝1＋2k 2
＋4k 2＋1－4－8k ＋4＝4k 2
＋4－8k k
2
＝0，
∴4k 2＋4－8k ＝0，即k 2
－2k ＋1＝0，∴k ＝1，故选C. 11.如图，抛物线E ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (2，t )(t ＞
0)在抛物线上，且|AF |＝3.已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，则直线GB 的斜率为( )
A ．－
34
B ．－
32 C ．－223
D ．－
23
解析：选C 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p
2.
因为|AF |＝3，所以2＋p
2＝3，解得p ＝2，
所以抛物线E 的方程为y 2
＝4x .
因为点A (2，t )(t ＞0)在抛物线E ：y 2
＝4x 上， 所以t ＝22，即A (2,22)．
由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨
⎧
y ＝22x －，
y 2＝4x
得2x 2
－5x ＋2＝0，
解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，
所以直线GB 的斜率k GB ＝－2－012
－－＝－22
3，选C.
12．(2017·长沙统考)P 是双曲线C ：x 2
2－y 2
＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条
渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )
A ．1
B ．2＋
155
C ．4＋155
D ．22＋1
解析：选D 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝
x
2或y ＝－x
2
，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D.
二、填空题
13．过双曲线x 2
－y 2
3
＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，
B 两点，则|AB |＝________.
解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2
－y 2
3
＝0，将x ＝2代入x 2
－y 2
3
＝0，得y 2
＝12，y ＝±23，∴|AB |＝4 3.
答案：4 3
14．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 上在第二象
限内的点，直线BO 交E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率是________．
解析：设AC 的中点为M ，连接OM ，FM ，则OM 为△ABC 的中位线，B ，F ，M 在一条线上，于是△OFM ∽△AFB ，所以|OF ||FA |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝1
3
.
答案：1
3
15.(2017·成都二诊)如图，抛物线y 2
＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|EG |＝y 4－y 3＝1
2
y 2－2y 1.因为
AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝1
2y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝1
2
y 2＋
8
y 2≥2
12y 2·8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8
y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4. 答案：4
16．(2017·石家庄质检)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直
线l 交双曲线两支于M ，N 两点，且MF uuur ·NF uuu r
＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离
心率为________．
解析：因为MF uuur ·NF uuu r ＝0，所以MF uuur ⊥NF uuu r
.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线
的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝1
2|MF |·|NF |
＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2
＋|NF |2
＝|MN |2
，即(|MF |－|NF |)2
＋
2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2
代入，并整理，得b a
＝1，所以
e ＝c a
＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝ 2.
答案： 2 三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，
且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 过点(0，2)且与椭圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)由题意得，c ＝1，
又椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1， 得a －c ＝2－1，联立解得a ＝2，则b 2
＝a 2
－c 2
＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题意，显然直线l 必存在斜率，又直线过点(0，2)， ∴设所求直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，
联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1，
y ＝kx ＋2，
消去y ，整理得(2k 2
＋1)x 2
＋42kx ＋2＝0， 要使直线l 与此椭圆相切，
则Δ＝(42k )2
－4(2k 2
＋1)×2＝0， 解得k 2
＝12，即k ＝±22，
∴所求直线方程为：y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x ＋2， 即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.
18．设抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)两点，且y 1y 2＝－4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知点P (－1，k )，且△PAB 的面积为63，求k 的值．
解：(1)由已知得F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0，
设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －p 2，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px
消去x ，
得ky 2
－2py －kp 2
＝0， ∴y 1y 2＝－p 2
＝－4，
从而p ＝2，抛物线C 的方程为y 2
＝4x .
(2)由(1)知F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －k ，
y 2
＝4x 消去x ，得ky 2
－4y －4k ＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.
|AB |＝
1＋1
k
2·
16k
2－
－
＝4⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2. 又P 到直线AB 的距离d ＝3|k |
k 2＋1
.
故S △PAB ＝1
2×|AB |×d ＝6
1＋1
k
2＝6 3.
解得k ＝±
22
. 19．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭
圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点
E ，若C 点满足AB ―→⊥BC ―→，AD ―→∥OC ―→，连接AC 交DE 于点P ，求证：|PD |＝|PE |.
解：(1)由e ＝
32，知c a ＝32，所以c ＝32
a . 因为△MF 1F 2的周长是4＋23， 所以2a ＋2c ＝4＋23，
所以a ＝2，c ＝3，b 2
＝a 2
－c 2
＝1， 所以椭圆C 1的方程为：x 2
4＋y 2
＝1.
(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)，
因为AB ―→⊥BC ―→，所以可设C (2，y 1)， 所以AD ―→＝(x 0＋2，y 0)，OC ―→＝(2，y 1)， 由AD ―→∥OC ―→可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0
x 0＋2
. 所以直线AC 的方程为：
y 2y 0x 0＋2
＝x ＋24. 整理得：y ＝
y 0x 0＋
(x ＋2)．
又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 0
2，
即点P 的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，
所以|PD |＝|PE |.
20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝1
2
，点M
为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y
轴交于点P ，当PB uu u r ·PD uuu r
＝0时，求点P 的坐标．
解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧
e ＝c a ＝12
，1
2×2ab ＝23，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝3，
所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 2
3
＝1，
整理得(3＋4k 2
)x 2
－16k 2
x ＋16k 2
－12＝0， 所以2＋x 1＝16k 2
3＋4k 2，解得x 1＝8k 2
－6
3＋4k 2，
则D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2
－6
3＋4k 2，－12k 3＋4k 2，
所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫8k 2
3＋4k 2，－6k 3＋4k 2，
则直线BD 的垂直平分线方程为
y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －
8k 2
3＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2k 3＋4k 2. 又PB uu u r ·PD uuu r ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0，
化简得64k 4＋28k 2
－36＋4k 22＝0，即64k 4＋28k 2
－36＝0，
解得k ＝±3
4
.
故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，27或⎝
⎛⎭⎪⎫0，－27.。