数学习作A_一维数据分析

数据分析
4-1 一维数据分析
一、算术平均数
数据x 1，x 2，……，x n 的算术平均数是μ＝
12n
x x x n
＋＋
＋。

二、加权平均数
设有k 个数值x 1，x 2，……，x k ，其对应的权数分别为w 1，w 2，……，w k ，则加权平均
数为W ＝
11
k
i
i
i k
i
i x w w
⨯∑
∑＝＝（）。

三、几何平均数
数据x 1，x 2，……，x n 都是正数，则几何平均数G 为 G ＝
＝
1
12n
n x x x ⨯⨯⨯（）。

四、中位数
设有一群由小到大排列的数据x 1，x 2，……，x n ， (1) 若n 是奇数，则中位数恰为位于正中间的数。

即Me ＝12
n x ＋。

(2) 若n 是偶数，则中位数定义为位于中间两个数的算术平均数。

即Me ＝1
21
22n n x x ＋（＋）。

五、众数
众数定义为一群数据中，出现次数最多的数值。

六、变异数与标准差
设一组数据x 1，x 2，……，x n 之算术平均数为μ，则：
(1) 变异数σ2＝1n 2
1n i i x μ∑＝（－）＝1n 221
n i i x μ-∑＝。

(2) 标准差σ
七、平移与伸缩对σ与μ的影响
设原始资料x 1，x 2，……，x n 。

令y i ＝ax i ＋b ，i ＝1，2，……，n 。

则： (1) μy ＝a μx ＋b 。

(2) σy ＝｜a ｜σx 。

八、数据的标准化
(1) 已知数据x 1，x 2，……，x n ，则将此数据减去算术平均数μ，再除以标准差σ，得到
z 1，z 2，……，z n i i x μz σ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭－其中＝，此称为原数据的标准化数据。

(2) 标准化数据的性质：
标准化数据的算术平均数为0，标准差为1。

基础题
1. 已知数值2，3，9，1，7，7，4，6，4，7，试求这些数值的
(1)算术平均数。

(2)中位数。

(3)众数。

(4)变异数。

(5)标准差。

（10分）
解 (1)算术平均数μ＝2391774647
10
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝5
(2)(3)将这10个数值由小到大排列：1，2，3，4，4，6，7，7，7，9
中位数是第5与第6个数值的平均，故中位数Me ＝46
2
＋＝5
因为7是出现最多次的数（出现3次），故众数为7 (4)(5)变异数为
σ2＝22222222222535951575754565457510
（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）
＝6
故标准差σ
2.
(1)分）
解 (1)算术平均数μ＝0017233541
16
⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝2（人）
(2)因有16个家庭，排序后第8个位置的数值是2，第9个位置的数值是2
故中位数Me ＝22
2
＋＝2（人）
(3)因为出现最多次的子女数为1，共出现7次，所以众数为1（人）
(4)(5)变异数为σ2
＝22222
00271232253214216
⨯⨯⨯⨯（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）
＝
1616
＝1 故标准差σ＝1（人）
3. 科技院校日间部四年制申请入学招生的成绩计算方法如下：以申请生之学科能力测验原级分，依各科目采计权重计算其加权平均级分，经转换成百分制后，即为该申请生之成绩。

解 小芬的成绩＝加权平均级分×100
15
＝11121121301411312201⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋＋＋＋×10015
＝80
小芬加权后的成绩为 80 分
4. (1)某地区统计其三年来人口的成长率分别为60％、20％、－10％，则此地区这三年人口
的平均成长率为何？（4分）
(2)已知A 都市房价在某年年初为每坪10000元，当年年底每坪增加至12000元，次年年底每坪增加至15000元，又隔年年底每坪增加至17280元，试问这三年来，房价每年的平均成长率为何？（4分）
解 (1)假设平均成长率为 r ，则有
（1＋r ）3＝（1＋60％）（1＋20％）（1－10％）
整理可得r 1＝0.2＝20％
即这三年的平均成长率为20％
(2)假设这三年来每年的平均成长率为 r ，则可得 10000（1＋r ）3＝17280
整理可得r 1＝0.2＝20％
即这三年的房价平均成长率为20％
5. 在100个数据中，有64个1，其余为0，试求： (1)算术平均数。

（4分） (2)标准差。

（4分）
解 (1)μ＝
164036
100
⨯⨯＋＝0.64
(2)σ
＝2
0.64－（）
＝10.64（－）
＝0.48
6. 甲、乙、丙、丁四位同学参加推荐甄选学科能力测验，五科的成绩如下表所示。

设σ1、σ2、σ3、σ4分别代表甲、乙、丙、丁四位同学五科成绩的标准差。

请仔细观察下表中数据，判断σ1、σ2、σ3、σ4
解 i i 科成绩为z i ，丁的各科成绩为w i ，则可发现 y i ＝x i －10，z i ＝0.8x i ，w i ＝1.2x i －20
设σ1、σ2、σ3、σ4分别代表甲、乙、丙、丁四位同学五科成绩的标准差 则由数据的伸缩与平移可得
σ2＝σ1，σ
3＝0.8σ1，σ4＝1.2σ1（且σ1＞0） 故σ4＞σ1＝σ2＞σ3
7. 国外某一男子篮球队来台访问，阵容整齐，七位选手身高分别为6呎4吋、5呎8吋、6呎2吋、5呎10吋、5呎6吋、6呎、6呎6吋。

(1)我们习惯以公分来表示，试问这群选手的平均身高及标准差为何（以公分为单位）？（1呎＝12吋，1吋＝2.54公分）（4分）
(2)若将上述资料经过z i ＝ax i ＋b 转换后，其中a ＞0，得到的新数据的平均数是0，标准差是1，试求a ，b 之值。

（4分）
解 (1)将选手身高整理成以吋为单位，可得原数据x i 分别为
76吋、68吋、74吋、70吋、66吋、72吋、78吋
则μx ＝76687470667278
＋＋＋＋＋＋＝72
σx ＝4
将原数据x i 乘上2.54，可得新数据y i （y i ＝2.54x i ），即 μy ＝2.54μx ＝2.54×72＝182.88，σy ＝2.54σx ＝10.16
故平均身高为182.88（公分）及标准差为10.16（公分） (2)因标准化数据的平均数是0，标准差是1
故令z i ＝i x x x μ
σ－，此时z i 的平均数是0，标准差是1
故得a ＝1x σ＝14，b ＝－x x μσ＝－72
4
＝－18
8. 假设有n 个数据x 1，x 2，……，x n ，若将每个数据乘上－3再加10，形成一组新数据y 1，y 2，……，y n ，即y i ＝－3x i ＋10（i ＝1，2，……，n ），已知新数据的算术平均数为－140、中位数为－110、标准差为9 ，试求原数据的算术平均数、中位数及标准差。

（9分）
解 由数据的伸缩与平移可得
μy ＝－3μx ＋10 ⇨ μx ＝103y μ－－＝14010
3
－－－＝50
Me （y ）＝－3Me （x ）＋10 ⇨ Me （x ）＝103Me y （）－－＝11010
3
－－－＝40
σy ＝｜－3｜σx ⇨ σx ＝3y σ＝9
3
＝3
故原数据的算术平均数为50、中位数为40及标准差为3
9. 某次考试将全班分成甲、乙两组进行测验，甲组学生15人，其平均成绩70分，标准差8分；乙组学生25人，其平均成绩62分，标准差4分。

试问全班40位学生的平均成绩是多少？标准差是多少？（8分）
解 合并后的平均成绩为15702562
40
⨯⨯＋＝65（分）
甲组的标准差为8
，得＝8 ⇨15
21i i x ∑＝＝74460 乙组的标准差为4
，得＝4 ⇨25
21
i i y ∑＝＝96500
＝7（分）
10. 某班数学模拟考试的成绩，平均为8级分，标准差为2.5级分；而数学期中考试的平均为
64分，标准差为6分。

小璇的模拟考与期中考成绩分别为7级分与60分。

试问小璇这两次考试的标准化后之分数分别是多少？（8分） 解 将成绩标准化后
模拟考试：782.5－＝－25，期中考试：60646－＝－2
3
进阶题
11.一组数据x1，x2，……，x25，经根式函数y＝
转换后，得到新数据之平均数μy＝24
及标准差σy＝7，试求原数据x i之算术平均数。

（8分）解依题意
σy
7
⇨
25
1
i
i
x
∑
＝
＝72＋242＝252
故μx＝
25
1
25
i
i
x
∑
＝＝25
12.有一组数据，取自某社团9位成员在学测中的数学级分，数据如下（不完全依大小排列）：
6，8，10，11，11，12，14，x和y，已知这些数据的算术平均数和中位数都是10，且x 小于y，则x，y分别为多少？（8分）
解因算术平均数为10
故681011111214
9
x y
＋＋＋＋＋＋＋＋
＝10，得x＋y＝18
因9个数据的中位数为由小到大或由大到小的第5个数字
将已知的数据由小到大排列得6、8、10、11、11、12、14
而由大到小的第5个数字就是10
所以加入x，y两数后，后5个数的次序须不变才会使得中位数为10 因此得x＜y≤ 10，又x＋y＝18，故得x＝8，y＝10。