中考数学复习 第一部分 知识梳理 第二章 方程与不等式 第6讲 一元二次方程及其应用课件
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每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次产品。整理，得x2-16x+55=0.
Image
12/9/2021
第十八页，共十八页。
6. 已知三角形两边(liǎngbiān)长分别为2和9，第三边的长为一元二 次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周
长为( ) D
A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19 7. 当m为何值时，关于x的方程(fāngchéng)(m-2)x2-(2m-1)x+m=
0有两个实数根？
第二章 方程 与不等式 (fāngchéng)
第6讲 一元二次方程及其应用(yìngyòng)
第一页，共十八页。
知识 梳理 (zhī shi)
x2 x2
1. 一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数(cìshù) 是2的整式方程叫做一元二次方程. 它的一般形式是 ax2+bx+c=0(_________a_,b_,_c_为__常_),a. ≠0
x1=0,x2=2 (4)公式法：利用求根公式_______________________.
x1,2= (b2-4ac≥0)
3. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
Δ=b2-4ac. (1)当Δ>0时，原方程(fāngchéng)有两__个__(l_iǎ_nɡ__ɡè_)不___的实数根; (2)当Δ=0时，原方程有____两_相_个_等_相_的等实数根; (3)当Δ<0时，原方程______没实有数根.
解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28-x) cm，依题意，得 x(28-x)=180. 解得x1=10(舍去)，x2=18.
28-x=28-18=10． 答：长为18 cm，宽为10 cm.
(2)不能.理由(lǐyóu)如下: 设矩形的长为y cm，则宽为(28-y) cm. 依题意，得y(28-y)=200，即y2-28y+200=0. ∵Δ=282-4×200=784-800＜0，原方程无解， ∴不能围成一个面积为200 cm2的矩形．
3. 当m=___2时，关于x的方程(m+1)xm2-m+3x-5=0是一元 二次方程.
4. 已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一个根
为0，则k的值为________.
1
5. 已知x1,x2是3x2-x-1=0的两个根，则
x1+x2=________，x1·x2=____第_五页_，_共十_八页.。
第三页，共十八页。
4. 一元二次方程根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个实数(shìshù)根是x1,x2，那么， x1+x2= ,x1·x2= .
第四页，共十八页。
易错题汇总(huìzǒng)
1. 方程(fāngchéng)x2=x的解是_x_1_=_0_,x_2_=_1________. 2. 方程(fāngchéng)2x(x-2)=x-2的解是___x_1_=__,_12x_2=_2_____.
1 200元．
第十五页，共十八页。
综合 提升 (zōnghé)
17.（2018孝感）已知关于x的一元二次方程（x-3）· （x-2）=p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值,此方程(fāngchéng)总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2，满足x21+x22-x1x2=3p2+1，求p的
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
第二章 方程与不等式。求证：无论k取任何实数(shìshù)，该方程总有两个不相等的实数(shìshù) 根.。∴无论k取何实数(shìshù)，该方程总有两个不相等的实数(shìshù)根．。(1)当矩形面积为180 cm2
No 时，长、宽分别为多少。解得x1=10(舍去)，x2=18.。解得x1=10，x2=20．。(1)若生产的某批次蛋糕
每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措
施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，
发现销售单价每降低(jiàngdī)1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为
件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利2润6为1 200元？
第十四页，共十八页。
k的值为( )
B
A．-2
B．2 C．-4 D．4
12.（2018 淮安）一元二次方程x2-x=0的根是
．
x1=0，Байду номын сангаас2=1
13. (2017眉山(méi shān))已知一元二次方程x2-3x-2=0的两实数根 为x1，x2，则(x1-1)(x2-1)的值是________. -4
第十二页，共十八页。
解：m≥ ，且m≠2.
第六页，共十八页。
考点 突破 (kǎo diǎn)
考点(kǎo diǎn)一:一元二次方程的解法
1.（2018绍兴(shào xīnɡ)）解方程：x2-2x-1=0． 解：x1=1+ ，x2=1- ．
考点二:一元二次方程的判别式与根的情况
2. (2017广东)如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常
值．
（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．
∵Δ=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=
（2p+1）2≥0，
∴无论(wúlùn)p取何值,此方程总有两个实数根.
（2）解:∵原方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p． 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1， ∴∴5（2-3x（1+x62-）p22--p3）x1x=23=p32p+21+.1.
数k的值为( )
B
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
第七页，共十八页。
3.（2018广东）关于(guānyú)x的一元二次方程x2-3x+m=0有两 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A A.m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥ 4. (2016梅州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)·x+k2+1=0有两个不等实 根x1,x2. 求实数(shìshù)k的取值范围.
解：∵原方程(fāngchéng)有两个不等实根, ∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0. 解得k> .
第八页，共十八页。
考点(kǎo diǎn)三:一元二次方程的应用
5.（2018沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于
改进(gǎijìn)技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万
元．
假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．
解：（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意，得400（1-x）2=361. 解得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合(bùhé)题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． （2）361×（1-5%）=342.95（万元）． 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
第二页，共十八页。
2. 一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法: 如解（x-1）2=4的根为______________.
(2)配x1=方3,法x2=：-1如将x2+2x-5=0(a≠0)化成(x+1)2=______的形式,然后
进行求解.
6
(3)因式分解(yīn shìfēn jiě)法：如解x2-2x=0,解得____________.
证明(zhèngmíng)：∵b2-4ac=[-（k+1）]2-4×1×（-6）=（k+1）2+ 24>0， ∴无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
第十页，共十八页。
9. (2017深圳)一个(yī ɡè)矩形周长为56 cm. (1)当矩形面积为180 cm2时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200 cm2的矩形吗？请说明理由.
第十一页，共十八页。
10.（2018菏泽）关于(guānyú)x的一元二次方程（k+1）x2-2x+
1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ( )
D
A.k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠-1 D．k≤0且k≠-1
11.（2018 盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个(yī ɡè)根为1，则
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减 少4件. 若生产的某档次产品一天的总利
润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？
解：(1)(14-10)÷2+1=3(档次)． 答：此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙(hōngbèi)店生产的是第x档次的产品，根据题意，得［2(x1)+10］×［76-4(x-1)］=1 080. 整理，得x2-16x+55=0. 解得x1=5，x2=11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．
14.（2018绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯， 如果一共(yīgòng)碰杯55次，则参加酒会的人数为 ．11
15.（2018扬州）若m是方程(fāngchéng)2x2-3x-1=0的一个根，则
6m2-9m+2 015的值为
2 01．8
第十三页，共十八页。
16.（2018盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，
第九页，共十八页。
6.（2018齐齐哈尔）解方程：2（x-3）=3x（x-3）．
解:x1=3,x2= ．
7.（2018内江）若关于(guānyú)x的一元二次方程x2+4x-k=0有实
数根，则k的取值范围是
k≥．-4
8.已知关于x的方程x2-（k+1）x-6=0． 求证：无论k取任何实数(shìshù)，该方程总有两个不相等的实数 根. (shìshù)
∴25-18+3p2+3p=3p2+1.
∴3p=-6.∴p=-2．
第十六页，共十八页。
18. (2017眉山)某烘焙店的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最 低档次)的产品每天生产76件，每件利 润10元. 调查(diào chá)表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产 品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次 产品？
解：（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200
元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1 200. 整理，得x2-30x+200=0. 解得x1=10，x2=20． ∵要求(yāoqiú)每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去.
∴x=10．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为
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第十八页，共十八页。
6. 已知三角形两边(liǎngbiān)长分别为2和9，第三边的长为一元二 次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周
长为( ) D
A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19 7. 当m为何值时，关于x的方程(fāngchéng)(m-2)x2-(2m-1)x+m=
0有两个实数根？
第二章 方程 与不等式 (fāngchéng)
第6讲 一元二次方程及其应用(yìngyòng)
第一页，共十八页。
知识 梳理 (zhī shi)
x2 x2
1. 一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数(cìshù) 是2的整式方程叫做一元二次方程. 它的一般形式是 ax2+bx+c=0(_________a_,b_,_c_为__常_),a. ≠0
x1=0,x2=2 (4)公式法：利用求根公式_______________________.
x1,2= (b2-4ac≥0)
3. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
Δ=b2-4ac. (1)当Δ>0时，原方程(fāngchéng)有两__个__(l_iǎ_nɡ__ɡè_)不___的实数根; (2)当Δ=0时，原方程有____两_相_个_等_相_的等实数根; (3)当Δ<0时，原方程______没实有数根.
解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28-x) cm，依题意，得 x(28-x)=180. 解得x1=10(舍去)，x2=18.
28-x=28-18=10． 答：长为18 cm，宽为10 cm.
(2)不能.理由(lǐyóu)如下: 设矩形的长为y cm，则宽为(28-y) cm. 依题意，得y(28-y)=200，即y2-28y+200=0. ∵Δ=282-4×200=784-800＜0，原方程无解， ∴不能围成一个面积为200 cm2的矩形．
3. 当m=___2时，关于x的方程(m+1)xm2-m+3x-5=0是一元 二次方程.
4. 已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一个根
为0，则k的值为________.
1
5. 已知x1,x2是3x2-x-1=0的两个根，则
x1+x2=________，x1·x2=____第_五页_，_共十_八页.。
第三页，共十八页。
4. 一元二次方程根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个实数(shìshù)根是x1,x2，那么， x1+x2= ,x1·x2= .
第四页，共十八页。
易错题汇总(huìzǒng)
1. 方程(fāngchéng)x2=x的解是_x_1_=_0_,x_2_=_1________. 2. 方程(fāngchéng)2x(x-2)=x-2的解是___x_1_=__,_12x_2=_2_____.
1 200元．
第十五页，共十八页。
综合 提升 (zōnghé)
17.（2018孝感）已知关于x的一元二次方程（x-3）· （x-2）=p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值,此方程(fāngchéng)总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2，满足x21+x22-x1x2=3p2+1，求p的
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
第二章 方程与不等式。求证：无论k取任何实数(shìshù)，该方程总有两个不相等的实数(shìshù) 根.。∴无论k取何实数(shìshù)，该方程总有两个不相等的实数(shìshù)根．。(1)当矩形面积为180 cm2
No 时，长、宽分别为多少。解得x1=10(舍去)，x2=18.。解得x1=10，x2=20．。(1)若生产的某批次蛋糕
每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措
施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，
发现销售单价每降低(jiàngdī)1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为
件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利2润6为1 200元？
第十四页，共十八页。
k的值为( )
B
A．-2
B．2 C．-4 D．4
12.（2018 淮安）一元二次方程x2-x=0的根是
．
x1=0，Байду номын сангаас2=1
13. (2017眉山(méi shān))已知一元二次方程x2-3x-2=0的两实数根 为x1，x2，则(x1-1)(x2-1)的值是________. -4
第十二页，共十八页。
解：m≥ ，且m≠2.
第六页，共十八页。
考点 突破 (kǎo diǎn)
考点(kǎo diǎn)一:一元二次方程的解法
1.（2018绍兴(shào xīnɡ)）解方程：x2-2x-1=0． 解：x1=1+ ，x2=1- ．
考点二:一元二次方程的判别式与根的情况
2. (2017广东)如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常
值．
（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．
∵Δ=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=
（2p+1）2≥0，
∴无论(wúlùn)p取何值,此方程总有两个实数根.
（2）解:∵原方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p． 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1， ∴∴5（2-3x（1+x62-）p22--p3）x1x=23=p32p+21+.1.
数k的值为( )
B
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
第七页，共十八页。
3.（2018广东）关于(guānyú)x的一元二次方程x2-3x+m=0有两 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A A.m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥ 4. (2016梅州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)·x+k2+1=0有两个不等实 根x1,x2. 求实数(shìshù)k的取值范围.
解：∵原方程(fāngchéng)有两个不等实根, ∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0. 解得k> .
第八页，共十八页。
考点(kǎo diǎn)三:一元二次方程的应用
5.（2018沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于
改进(gǎijìn)技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万
元．
假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．
解：（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意，得400（1-x）2=361. 解得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合(bùhé)题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． （2）361×（1-5%）=342.95（万元）． 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
第二页，共十八页。
2. 一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法: 如解（x-1）2=4的根为______________.
(2)配x1=方3,法x2=：-1如将x2+2x-5=0(a≠0)化成(x+1)2=______的形式,然后
进行求解.
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(3)因式分解(yīn shìfēn jiě)法：如解x2-2x=0,解得____________.
证明(zhèngmíng)：∵b2-4ac=[-（k+1）]2-4×1×（-6）=（k+1）2+ 24>0， ∴无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
第十页，共十八页。
9. (2017深圳)一个(yī ɡè)矩形周长为56 cm. (1)当矩形面积为180 cm2时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200 cm2的矩形吗？请说明理由.
第十一页，共十八页。
10.（2018菏泽）关于(guānyú)x的一元二次方程（k+1）x2-2x+
1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ( )
D
A.k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠-1 D．k≤0且k≠-1
11.（2018 盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个(yī ɡè)根为1，则
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减 少4件. 若生产的某档次产品一天的总利
润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？
解：(1)(14-10)÷2+1=3(档次)． 答：此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙(hōngbèi)店生产的是第x档次的产品，根据题意，得［2(x1)+10］×［76-4(x-1)］=1 080. 整理，得x2-16x+55=0. 解得x1=5，x2=11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．
14.（2018绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯， 如果一共(yīgòng)碰杯55次，则参加酒会的人数为 ．11
15.（2018扬州）若m是方程(fāngchéng)2x2-3x-1=0的一个根，则
6m2-9m+2 015的值为
2 01．8
第十三页，共十八页。
16.（2018盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，
第九页，共十八页。
6.（2018齐齐哈尔）解方程：2（x-3）=3x（x-3）．
解:x1=3,x2= ．
7.（2018内江）若关于(guānyú)x的一元二次方程x2+4x-k=0有实
数根，则k的取值范围是
k≥．-4
8.已知关于x的方程x2-（k+1）x-6=0． 求证：无论k取任何实数(shìshù)，该方程总有两个不相等的实数 根. (shìshù)
∴25-18+3p2+3p=3p2+1.
∴3p=-6.∴p=-2．
第十六页，共十八页。
18. (2017眉山)某烘焙店的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最 低档次)的产品每天生产76件，每件利 润10元. 调查(diào chá)表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产 品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次 产品？
解：（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200
元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1 200. 整理，得x2-30x+200=0. 解得x1=10，x2=20． ∵要求(yāoqiú)每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去.
∴x=10．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为