2019年河南省焦作市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2019年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）
2．i是虚数单位，复数的虚部是（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i
3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
4．在递增的等差数列{a n}中，a1+a5=1，a2a4=﹣12，则公差d为（）
A．B．﹣C．或﹣D．7或﹣7
5．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则函数y=log a|x|的图象大致是（）
A．B．C．
D．
6．关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
③一组数据的方差一定是正数；
④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．
则这4种说法中错误的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）
A．y=2x﹣1B．y=C．y=D．y=2x+1
9．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，
+∞）上一定（）
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）
A．B．C． D．
11．已知F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当
x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0．则函数y=f
（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．
14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值为．
15．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和
S n=．
16．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该
棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是．
三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0 （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）=时，若a=，求b
的值．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中
点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．
19．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组
[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．
（1）求该组织的人数；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆
上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程．
21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；
（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐
标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a2+b2+c2的最小值．
2019年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）
【考点】交集及其运算．
【分析】由题意求出集合B，然后直接求出交集即可．
【解答】解：集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|x≤1}∩{x|0＜x＜2}=（0，1]，
故选C．
2．i是虚数单位，复数的虚部是（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】把分子分母同乘分母的共轭复数1﹣i，化简后虚部可求．
【解答】解：．
所以复数z的虚部是﹣1．
故选B．
3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
4．在递增的等差数列{a n}中，a1+a5=1，a2a4=﹣12，则公差d为（）
A．B．﹣C．或﹣D．7或﹣7
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意列关于首项和公差的方程组，求解方程组得答案．
【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a1+a5=1，a2a4=﹣12，
∴，即，
解得：，或d=．
∵数列为递增数列，∴d=．
故选：A．
5．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则函数y=log a|x|的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据指数的图象和性质，可得a＞1，进而结合对数图象和性质及函数图象的对折变换法则可得答案．
【解答】解：若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，
则a＞1，
故函数y=log a|x|的图象大致是：
故选：B．
6．关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
③一组数据的方差一定是正数；
④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．
则这4种说法中错误的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图的特征，结合方差的意义，对题目中的命题进行分析，判断命题是否正确即可．
【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，
命题正确，因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小；
对于②，绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距，
命题错误，频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率；
对于③，一组数据的方差一定是正数，
命题错误，根据方差的计算公式s2=[++…+]得出方差
是非负数；
对于④，根据分布直方图得，时速在（50，60）的汽车大约是200×0.03×10=60（辆）
所以，命题正确；
综上，错误的命题是②③，共2个．
故选：B．
7．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，由线性规划知识求得t的范围，则z=|x+2y ﹣3|的最小值可求．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
令t=x+2y﹣3，化为，
由图可知，当直线过点O时，t有最小值为﹣3，过点A（0，1）时，t有最大
值为﹣1．
∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．
故选：A．
8．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）
A．y=2x﹣1B．y=C．y=D．y=2x+1
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】根据函数图象的平移变换法则和对称变换法则，结合平移后的函数解析式，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得是y=的图象，
∴函数f（x）的解析式为：y=，
故选：B．
9．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，
+∞）上一定（）
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】先由二次函数的性质可得a＜1，则=，分两种情况考虑：若
a≤0，a＞0分别考虑函数g（x）在（1，+∞）上单调性
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，
∴对称轴x=a＜1
∵=
若a≤0，则g（x）=x+﹣2a在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增
若1＞a＞0，g（x）=x+﹣2a在（，+∞）上单调递增，则在（1，+∞）单调递增
综上可得g（x）=x+﹣2a在（1，+∞）上单调递增
故选D
10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）
A．B．C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h
即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，
所以四棱锥的体积为：，所以h=．
故选B．
11．已知F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，
若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a﹣|PF1|，2c成等差数列，从而得到|PF1|=，
|PF2|=，由∠F1PF2=90°，得到|PF1|•|PF2|==2b2，由此能求出椭圆的离心率．
【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的
一点，
∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，
∴不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a﹣|PF1|，2c成等差数列，
∴2（2a﹣|PF1|）=|PF1|+2c，
∴|PF1|=，|PF2|=2a﹣=，
∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，
又|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=4a2，
∴|PF1|•|PF2|==2b2，
整理，得5a2﹣7c2﹣2ac=0，
∴7e2+2e﹣5=0，
解得e=或e=﹣1（舍）．
∴椭圆的离心率是．
故选：D．
12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当
x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0．则函数y=f
（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质．
【分析】由题意x∈（0，π）当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，以为
分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论【解答】解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，
∴当x∈[﹣3π，3π]时，0＜f（x）＜1；
当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，
∴x∈[0，]时，f（x）为单调减函数；x∈[，π]时，f（x）为单调增函数，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，
由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．
【考点】正弦定理．
【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，
∴由正弦定理，
得：b===4．
故答案为：4
14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值为2．
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出S值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
开始S=2，i=1；
第一次循环S=﹣3，i=2；
第二次循环S=﹣，i=3；
第三次循环S=，i=4；
第四次循环S=2，i=5；
第五次循环a=﹣3，i=6；
…
∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2019=504×4+1，
第2019次循环S=，i=2019；
第2019次循环S=2，i=2019；
∴输出的S=2．
故答案为：2．
15．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=
（﹣）．
【考点】数列的求和．
【分析】通过递推公式及前两项的值可知数列{a n}中奇数项构成以1为首项、3为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、3为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．
【解答】解：∵a1=1，a2=2，=3，
∴数列{a n}中奇数项构成以1为首项、3为公比的等比数列，
偶数项构成以2为首项、3为公比的等比数列，
∴数列{a2n
+a2n}构成以3为首项、3为公比的等比数列，
﹣1
又∵n为偶数，
∴S n==（﹣1），
故答案为：（﹣1）．
16．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该
棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是12．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】求出球的半径，然后求解棱柱的底面边长与高，即可求解侧面积．
【解答】解：球的体积为：，可得=，r=1，
棱柱的高为：2，底面正三角形的内切圆的半径为：1，底面边长为：2=2，一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所
有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是：6×2=12．
三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0 （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）=时，若a=，求b 的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知式子和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosC=，进而可得
C=；
（Ⅱ）化简可得f （x ）=
sin （x+）+，结合B 的范围可得B=，再由正弦定理可
得b==，代值计算可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中ccosB ﹣（2a ﹣b ）cosC=0，
∴ccosB ﹣2acosC+bcosC=0，
由正弦定理可得sinCcosB ﹣2sinAcosC+sinBcosC=0，
∴2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin （B+C ）=sinA ，
约掉sinA 可得cosC=，∴角C=
；
（Ⅱ）化简可得f （x ）=
=sinx+cosx+=
sin （x+）+，
∴f （B ）=
sin （B+）+=，
∴sin （B+）=1，结合B 的范围可得B=
，
由正弦定理可得b====2
18．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD=AD ，E 是PB 的中
点，F 是DC 上的点且DF=AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．
（Ⅰ）证明：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E ﹣BCF 的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I ）取PA 中点G ，连结DG ，FG ．则FG DF ，故四边形EFDG 是平行四边形，于是DG ∥EF ，将问题转化为证明DG ⊥平面PAB 即可；
（II）由AB⊥平面PAB得AB⊥AD，AB⊥PH，故而PH⊥平面ABCD，AD⊥CD，于是E
到底面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】证明：（I）取PA中点G，连结DG，FG．
∵E，G是PB，PA的中点，
∴FG，
又∵DF，
∴FG DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴DG∥EF．
∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，
∴AB⊥DG，
∵AD=PD，G是PA的中点，
∴DG⊥PA，
又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
∴DG⊥平面PAB，∵DG∥EF，
∴EF⊥平面PAB．
解：（II）∵AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥PH，AB⊥AD，
又AB∥CD，PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，S△BCF==．
∵E是PB的中点，
∴E到平面ABCD的距离h==．
∴V E
=S△BCF•h==．
﹣BFC
19．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．
（1）求该组织的人数；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；
（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；
（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，
故该组织有100人．…
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10．
∵第3，4，5组共有60名志愿者，
∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：
第3组：；第4组：；第5组：．
∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…
（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），
（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．
其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，
则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆
上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由离心率为，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），由此利用已知条件能求出直线FM的斜率．
（Ⅱ）椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），联立，消去y，得3x2+2cx ﹣5c2=0，由此利用弦长公式能求出椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由离心率为，得，又由a2=b2+c2，得a2=3c2，b2=2c2，
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），
由已知有（）2+（）2=（）2，解得k=．
∴直线FM的斜率为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，
直线FM的方程为y=（x+c），
两个方程联立，消去y，得3x2+2cx﹣5c2=0，
解得x=﹣或x=c，
∵点M在第一象限，∴M（c，），
由|FM|==，解得c=1，
∴椭圆的方程为．
21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；
（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．
【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，
∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，
∴f′（2）==2，解得a=4．…
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；
则函数的导数g′（x）=a（）．…
令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴g（x）最小值为g（1）=0，
故f（x）≥a（1﹣）成立．…
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…
当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…
当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，
∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…
当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…
综上，a≥e﹣1…
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；
（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，
∴=，
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，
又BE•EC=AE•ED=12，
∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，
由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，
所以PA=为所求…10分
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐
标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；
（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，
∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．
（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，
如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，
当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，
舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，
当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，
∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a2+b2+c2的最小值．
【考点】一般形式的柯西不等式．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，
即a2+b2+c2≥
当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．
所以a2+b2+c2的最小值为．
2019年7月22日
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