2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末质量评估检测新人教A版选修2-2

第三章 数系的扩充与复数的引入
章末质量评估检测
时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.复数 z = i + i 2
+ i 3
+ i 4
的值是（ ） A. — 1 B. 0 C. 1 D. i
2 3 4
解析：z = i + i + i + i = i — 1 — i + 1 = 0. 答案：B 2— i
i 是虚数单位，复数在复平面上的对应点在（ ）
1 + i
C. 3 — 4i D . 3 + 4i 解析：）=—牛= 8— 21 i =— 3+ 4i ，所以 ）的共轭复数为一 3 — 4i.
答案：A
6.已知下列命题： ① 复数a + b i 不是实数；
2 2
② 若（x — 4） + （x + 3x + 2）i 是纯虚数，则实数 x =± 2; ③ 若复数z = a + b i ，则当且仅当b ^0时，z 为虚数. 其中正确的命题有（ ） A. 0个B . 1个C . 2个D . 3个
解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当
a € R 且
b = 0时,
2. C. 位于第四象限.
3. i 是虚数单位，则 一的虚部是 1 + i 1 1 1 A.」B 」C.门D . 2
2 2 i 1 1
解析： =；+ h ，故选
1 + i
2 2
答案：C
4. 已知i 为虚数单位，则复数i （1 1 A. — B. 2
C.
+ i) 的模等于（
* C. 2 D . 2
=| — 1 + i| =p —] 2
+ 12
=羽.
解析：|i （1 + i ）|
答案： 5.
A. C
复数岁2
的共轭复数是（ ） 卫—i
J —3— 4i B . — 3 + 4i
( ) 2—j ，对应点为
第一象限B •第二象限 第三象限D •第四象限
+ b i是实数；
X —4 = 0, ②是假命题，因为由纯虚数的条件得 2
解得x = 2,当x = — 2时，对
|x + 3x + 2工 0,
应的复数为实数；③是假命题，因为没强调
a ,
b € R
答案：A
2— b i
7•如果复数i ^2j-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则
b 等于
( )
l 2 2
A. 2
B. 3 C • — 3 D • 2
答案：C
Z 1
Z 2= 3 + i ，其中i 为虚数单位，则 ------- 的虚部为(
甲
z 2
解析：z = (a — 2i)(1 + i) = (a + 2) + (a — 2)i ,则点 M 的坐标为(a + 2, a — 2)，当 a = 1 时，坐
解析:
5
2 — 2
b
— 4p ^,解得 b = — |.
据题意有
&设复数
乙=1 — i , J + Z A . 4 i
C 匹1 C. 4 B. D. 1+ .3 4 :‘3- 1
Z i
解析:
1+1
；3+ i
73+i
⑴-i
答案: 9. Z 2
D
已知复数z 满足(1 + 2i 3
)z = 1 + 2i ，贝U z 等于(
)
Z. 一节1 +牛1i ，虚部为占1
3—
4 4
4
解析:
3 4 3 4 + _i B. + 一5 5
5 5 3 4 3 4 一 _i D
_i 5 5i
5 5i
7
-
1+ 2i 1 +
1+?丄 2
—3+ 4i 3 4
1-亠+二=5
=— 5+ 5i.
答案：
10.已知 则“ a = 1”是 充分而不必要条件 i 为虚数单位，a 为实数，复数z = (a — 2i)(1 + i)在复平面内对应的点为 M
“点M 在第四象限”的( )
A. B. C. D. 必要而不充分条件 充要条件
既不充分也不必要条件
标为(3 , —1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a= 1却不一定成立，故“a= 1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.
答案：A
11 .若复数z满足(3 —4i) z= |4 + 3i|，则z的虚部为()
4 4
A.—4 B .—匚C . 4 D.-
5 5
解析：设z = a+ b i( a, b€ R)，则(3 —4i) z = (3 —4i)( a+ b i) = 5,化简得3a+ 4b + (3 b
解析：根据复数的几何意义，
j 3a + 4b = 5,
—4a
)i = 5
,所以 3b — 4a = 0,
解得J
3 a ■ 5,
b
= 4
,
即z = 3
+ ：i ，所以Z 的虚部为；
答案：D
12 .若 z = cos
—isin 0 (i
为虚数单位)，则使 Z 2
=— 1的一个0值是(
n
A. 0
B. — C 2 解析：因为 cos2 0 =— 1,
2 z = (cos 0 — isin
2 2
0 ) = cos2 0 — isin2 0 , 又 z =
—1，所以
再由选择项验证得 0
sin2 0 = 0, L
答案：B
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.
2
13.已知复数 z = 1 + i ，则— z = ______________ .
2
2 1— i
----- —1 — i = ----- x ------- — 1 — i =— 2i.
2
解析：—z =
z
答案：—2i 14.若复数
z = 1 — 2i(i 为虚数单位)，贝U z • z + z =
解析： 答案： 15. i 则 Z 2 = _
因为 z = 1 — 2i ，所以 6 — 2i
为虚数单位，设复数 z • z = | z | 2
= 5，所以 z • z + z = 6— 2i.
Z 1 , Z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若 Z 1 = 2— 3i ,
Z i = 2 — 3i 与Z 2= — 2 + 3i 对应的点关于原点对称.
答案：—2+ 3i
16. 设Z2= Z1 —i乙(其中Z1表示Z1的共轭复数)，已知Z2的实部是一1，贝U Z2的虚部
为________ .
解析：设Z1 = a+ b i( a, b€ R)，贝V Z2= (a+ b i) —i( a —b i) = ( a+ b i) —(b+ a i) = (a —b) + (b—a)i，因为Z2的实部是一1，所以a—b=—1，所以虚部b—a= 1.
答案：1
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)复平面内有A
应的复数是一2 —4i，向量BC寸应的复数是—
解析：因为向量AC寸应的复数是一2—4i，向量BC寸应的复数是一4 —i，所以AB表示的f
f f
复数是(4 + i) —(2 + 4i) = 2 —3i，故OB= O/+ AB寸应的复数为(3 + i) + (2 —3i) = 5 —2i，所以B点对应的复数为5—2i.
2 1
18.(本小题满分12分)已知虚数z满足| z| = 1, z + 2z+；v 0，求乙
2 2
解析：设z = x+ y i( x, y€ R且y 丰0)，所以x + y = 1,
2 1 2
则z + 2z+ = (x+y i) + 2(x+ y i) +
B, C三点，点A对应的复数是
3+ i，向量AC寸
4—i，求B点对应的复数.
1
x+ y i
2,
2
1
因为z + 2z + _< 0且 z
2x + 1 = 0,
2 2 .
1 x =— 2,
2
2
⑵ 由⑴ 知(a -4sin 0 ) + (1 + 2cos 0 )i = 1 + 2i ,即
1 因为0 € (0 , n )，所以0 = 3 ,
解得 y =± 23, 2 . z + az + b 19.(本小题满分12分)设复数z = 1 + i ，且一2 = 1 — i ，求实数a , b 的值. z — z 十 1
2 2 z 2 + az + b 解析：因为 z = 1 + i ，所以 z + az + b = ( a + 2)i + a + b , z — z + 1 = i ,所以——2 . z — z + 1 a + b + a + 2 i 2 . .+ az + b . (a + 2) — (a + b )i.又 z
2
—卄〔=1 一 i ，所以
a + 2= 1, 解 —a +
b =— 1,
a =— 1,
b = 2. 20.(本小题满分12分)已知复数z = (2x + a ) + (2 —
x + a )i , x , a € R,且a 为常数，试 求| z |的最小值g (a )的表达式. 解析：|z |2= (2x + a )2+ (2 —
x + a )2
=22x + 2 —
2x + 2a (2x + 2—
x ) + 2a 2, 令 t = 2x + 2—
x ,贝y t >2,且 22x + 2—
2x = t 2— 2, 从而 |z | = t + 2at + 2a — 2= (t + a ) + a — 2. 当一a 》2, 即卩 a w — 2 时，g ( a )=寸a? — 2； 当一a < 2, 即卩 a >— 2 时，
g ( a ) =、 a +2 乞— N 厂
+ a — 2= 2| ,a 2 — 2, a w —2,
2| a + 11 , a >—
2.
2 2
综上可知，g （a ）= a + 1|. 21.(本小题满分 12 分)设复数 乙=(a —4sin 0 ) + (1 + 2cos 0 )i , a € R, Z 2在复平面内对应的点在第一象限，且 z 2 = — 3 + 4i , (1) 求 Z 2 及 | Z 2|. (2) 若Z 1 = Z 2，求0与a 的值. 解析：(1)设 Z 2= n 十 n i( m n € R)，贝U
2 2 2 2 Z 2= (m + n i) = m — n + 2mn = — 3+ 4i , 0 € (0 , n ),
厂2 2 八 m —n =— 3, 即f 解得 2mn= 4, 所以 Z 2= 1 + 2i ，或 Z 2 =— 1 — 2i. 又因为Z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以
Z 2=— 1 — 2i 应舍去，故
|Z 2| = .'5. mi= 1, n = 2, m=— 1, 或■=
n = — 2, Z 2= 1 + 2i ,
□ 2 2 ▲
又 x + y =
1,
所以 x 2
— y 2+ 3x < 0,
a 2
— 4sin 2
0 = 1,
1 + 2cos 0 = 2,
解得cos 0
2 2 3
所以a = 1 + 4sin 9 = 1 + 4x 4 = 4, a=± 2.
综上，9 = n , a=± 2.
3
22.(本小题满分12分)设乙是虚数，Z2 = Z1H是实数，且—1W Z2< 1.
(1)求| Z1|的值以及Z1的实部的取值范围.
1 —Z1
----- ，求证：3为纯虚数.
1 + Z1
1 1
则Z2= Z1+ 沪a+ b i + 市
b
-a2+ b2 i.
因为Z2是实数, ⑵3= 1 —Z1
2 2
b z0,于是有a + b = 1,
1 得—1W
2 a w 1,解得—f
2 2
1 —a—b i 1 —a —b —2b i 即| Z1| = 1，还可得Z2= 2a.
1 - 1 a w ，即Z1的实部的取值范围是
—a
1 1
2，2
1 + Z1 1 + a+ b i 1 +
b
=— ---- i.
a+ 1
"1 11因为a€2，2J b z0,所以3为纯虚数.
Z
1
解析：⑴设z i = a+ b i( a,b C R 且b z 0), a
a+ a2+。