新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价56两个计数原理排列与组合

课时质量评价(五十六)
A组全考点巩固练
1．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有( )
A．4种B．5种
C．6种D．7种
C 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，
②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法．
则有4＋2＝6种不同的种法．
故选C．
2．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有( )
A．240种B．192种
C．120种D．96种
B 解析：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，所以甲、乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，所以不同的排法共有4×A22×A44＝192种．故选B．3．(2021·广州期末)A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有( )
A．24种B．36种
C．48种D．60种
A 解析：根据题意，分2步进行分析：
①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种排法；
②将AB整体与C，D，E全排列，有A44＝24种排法，
则共有1×24＝24种排法．故选A．
4．(2022·枣庄期末)一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为( )
A．24 B．12
C．120 D．60
A 解析：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，先将2本不同的数学
书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，有A 22A 33A 2
2＝24种不同放法．故选A ．
5．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为( )
A ．120
B ．180
C ．240
D ．360 C 解析：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为4组，有C 2
5＝10种分组方法；
②将分好的4组全排列，安排到4个景区旅游，有A 44＝24种安排方法．
则共有10×24＝240种安排方法．故选C ．
6．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有________种．
119 解析：根据题意，“我爱大中华”五个字排成一排，有A 55＝120种不同的顺序， 其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120－1＝119种．
7．高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7名同学．现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2,3,3个空位，要把这7名同学都安排到这三辆车中，则共有______种不同的安排方法．
560 解析：根据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一个空位，安排在8个空座位上的问题，有C 28C 36C 33＝560种安排方法
8．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．
(1)甲、乙两人相邻；
(2)丙、丁两人不相邻；
(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)．
解：(1)根据题意，将甲、乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，
有A 22A 77＝10 080(种)排法．
(2)根据题意，将8人全排列，有A 88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A 22A 77种，则丙、丁两人不相邻的排法有A 88－A 22A 77＝30 240(种)．
(3)根据题意，将8人全排列，有A 88种排法，
甲、丙、丁三人的排法有A 33＝6(种)，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，
则有甲站在丙、丁两人的中间有A 22×A 88A 33
＝13 440(种)． 9．(2022·长沙月考)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a ，b ，c ，d ，e 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．
(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．
解：(1)根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分成3组，人数分别为(2,2,1)，有C 25C 23C 1
1A 22
＝15(种)分组方法， ②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有A 33＝6(种)情况，
则有15×6＝90(种)分配方案．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况， ②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有⎝ ⎛⎭
⎪⎫C 24C 2
2A 22＋C 34×A 22＝14(种)情况， 则有5×14＝70(种)分配方案．
B 组 新高考培优练
10．某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100 m 跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为( )
A ．70
B ．50
C ．30
D ．20 A 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①他们选择的结果中有两项相同运动，有C 35A 2
3＝60种选法．
②他们选择的结果中有三项相同运动，有C 35＝10种选法，
则共有60＋10＝70种选法．故选A ．
11．(多选题)(2021·重庆校级期中)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A ．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B ．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A 45
C 14
C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C 35C 12＋C 25C 23)A 33
D ．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C 13C 24A 33＋C 23A 33
AD 解析：根据题意，依次分析选项：
对于A ，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A 正确； 对于B ，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C 25A 44种安排方法，B 错误；
对于C ，分2步分析：需要先将5人分为3组，有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12A 22
＋C 25C 2
3A 22种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A 33种情况， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12A 22
＋C 25C 23A 22A 33种安排方法，C 错误； 对于D ，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有C 13C 24A 33＋C 23A 33种安排方法，D 正确．故选AD ．
12．(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则( )
A ．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5 400种
B ．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3 600种
C ．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种
D ．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1 440种
BCD 解析：根据题意，依次分析选项：
对于A ，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有C 37A 33A 44＝5 040种排法，A 错误；
对于B ，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A 66种排法，则有5×A 66＝3 600种排法，B 正确；
对于C ，将4名女生看成一个整体，有A 44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A 44种排法，则有A 44×A 44＝576种排法，C 正确；
对于D ，先排4名女生，有A 44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A 35种排法，则有A 44×A 35＝1 440种排法，D 正确．
13．(2021·湖南模拟)某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车A ，B ，C ，D ，E ，F ．为了让顾客选出自己心仪的电动汽车，把它们按顺序排成一排，A 必须安排在前两个位置，B ，C 不相邻，则不同的排法有( )
A ．144种
B ．156种
C ．160种
D ．178 种
B 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①A 排在第一位，先将D ，E ，F 排好，再将B ，C 安排在空位中，有A 33A 2
4＝72种排法． ②A 排在第二位，
若B 或C 中有1个排在第一位，有C 12A 44＝48种排法；
若D ，E ，F 中有1个排在第一位，有C 13A 22A 23＝36种排法，
则此时有48＋36＝84种排法．
则共有72＋84＝156种排法．
14．(2022·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A ，B ，C 3家医院，且每家医院至少要分到一名医生
和一名护士，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
1 080 解析：由题意可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．
假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有C 24C 15C 12C 2
4＝360(种)，故不同的分配方案有360×3＝1 080(种)．
15．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有________种．
36 解析：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有C 26C 24C 22A 33－C 24C 22A 22
＝12种分组方法． ②若甲所在的组在14日值班，有A 22＝2种安排方法；
若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法． 则有3种值班安排方法．
故共有12×3＝36种安排方法．
16．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．
(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；
(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；
(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法． 解：(1)根据题意，5本书完全相同，
将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可， 则有C 27＝21(种)不同的分法．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①将5本书分成3组，
若分成1,1,3的三组，有C 35C 12C 11A 22
＝10(种)分组方法． 若分成1,2,2的三组，有C 15C 24C 22A 22
＝15(种)分组方法， 从而分组方法有10＋15＝25(种)．
②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A 33＝6(种)情况，
根据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150(种)分法．
(3)记这5本书分别为A ，A ，B ，C ，D,5本书取其3本分配时，
①不含A 时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；
②仅含一个A 时，分组的方法有C 23种，再分配给3人，共有C 23×A 33＝18(种)方法； ③含两个A 时，分组的方法有C 13种，再分配给3人，共有C 13×A 33＝18(种)方法．
从而共有18＋18＋3＝39(种)分法．
17．已知从1,3,5,7,9中任取两个数，从0,2,4,6,8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．
(1)可以组成多少个不含有数字0的四位数？
(2)可以组成多少个四位偶数？
(3)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？(所有结果均用数值表示)
解：(1)从1,3,5,7,9任取两个数，从2,4,6,8中任取两个数，
组成C25C24A44＝10×6×24＝1 440(个)不含有数字0的四位数．
(2)当0在末位时，共有C25C14A33＝10×4×6＝240(个)四位偶数，
当末位为2,4,6,8(且0不在首位)，共有4C25C14A33－4A25＝880(个)四位偶数，
则可以组成240＋880＝1 120(个)四位偶数．
(3)当0在首位时，有C25C14A22A22＝160(种)，
则两个奇数数字相邻的四位数共有C25C25A33A22－160＝1 040(个)．。