普通高等学校招生国统一考试数学理试题广东卷,解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析〕 本套试卷一共4页，21小题，总分值是150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：
“条形码粘贴处〞。

2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求答题之答案无效。

4．答题选做题时．请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。

参考公式：锥体的体积公式V =13
sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，总分值是50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．
1.假设集合A={x|-2＜x ＜1},B=A={x|0＜x ＜2},那么集合A ∩B=
A.{x|-1＜x ＜1}
B.{x|-2＜x ＜1}
C.{x|-2＜x ＜2}
D.{x|0＜x ＜1}
1． 答案：D
【解析】此题考察了集合的运算。

结合数轴易得}10|{<<=x x B A ．
2.假设复数z 1=1+i,z 2=3-i,那么z1`z1=
A.4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3+i
2．答案：A
【解析】此题考察复数的乘法运算，考察了学生的计算才能。

计算得212(1)(3)3342z z i i i i i i •=+•-=-+-=+．
3.假设函数f(x)=3x +3x -与g(x)=33x x --的定义域均为R ，那么
A ．f(x)与g(x)均为偶函数
B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C ．f(x)与g(x)均为奇函数
D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数
3．答案：B
4．数列{n a }为等比数列，n s
5是它的前n 项和,假设2a *3a =2a ．，且4a 与27a 的等差中项为54，那
么5s =
A ．35
B ．33
C ．3l
D ．29
4．答案：C 5.
“14
m <〞是“一元二次方程20x x m ++=有实数解〞的 5．答案：A
【解析】此题考察充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件。

一元二次方程02=++m x x
有实数解，等价为04142≥-=-=∆m ac b 得4
1≤m ．
∴“14m <
〞是“一元二次方程02=++m x x 有实数解〞的充分而不必要条件． 6.如图1，ABC 为正三角形，'''////AA BB CC ，
''''32CC BB CC AB ⊥=
==平面ABC 且3AA 那么多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是
6．答案：D
【解析】此题考察空间几何体的三视图，考察了同学们的识图才能。

画三视图时，从外向内看，看到AB 、A A '、B B '、C C '为虚线，C 为AB 的中点，那么为D 选项．
7.随机量X 服从正态分布N 〔3,1〕，且P 〔2≤X ≤4〕=0.6826，那么P(X ＞4)=
A.0.1588
B.0.1587 C
7．答案：B
8.为了迎接2021年亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这个5个彩灯所闪亮的颜色各不一样，记住5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间是间隔均为5秒，假设要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间是至少是
8．答案：C
二、填空题：本大题一一共7小题．考生答题6小题．每一小题5分，总分值是30分
（一）必做题(9～13题)
9.函数，f (x )=lg (x -2)的定义域是
9．答案：),2(+∞
【解析】此题考察对数函数的定义域。

对数函数中，真数须大于0，故有：02>-x ，得2>x ，即为),2(+∞．
10．假设向量a =(1,1，x)，b =(1，2,1)，c =(1，1,1)满足条件(c —a )·2b =-2，那么x=
10．答案：2 【解析】此题考察空间向量的数乘运算。

∵)1,1,1(=c
，),1,1(x a =， ∴)1,0,0(x a
c -=-，∴)2,4,2()1,0,0()2()(•-=•-x b a c 2)1(2-=-=x ， ∴2=x ．
11.a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，假设a =1，b =
3，A +C =2B ，那么sin C =. 11．答案：1
12.假设圆心在x 轴上、半径为
2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，那么圆O 的方程是. 12．答案：2)2(22=++y x
13.某城缺水问题比较突出，为了制定节水管理方法，对全居民某年的月均用水量进展了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，假设1x ，2x ，分别为1，2，那么输出的结果s 为.
13．答案：4
1 （二）选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕
14.〔几何证明选讲选做题〕如图3，AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a
PD =,∠OAP=30°那么CP=
14．答案：
a 89 【解析】此题考察相交弦定理及弦的相关性质。

在△OPA 中，P 为AB 的中点，︒=∠30OAP ，所以a AP 2
3=，
又由相交弦定理得2229()328
PC PD PA PC a a PC a •=⇒•=⇒=． 15．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系〔ρ，θ〕〔02θπ≤＜〕中，曲线2sin cos 1ρθρθ==-与的极坐标为.
15．答案：)4
3,2(π 【解析】此题考察极坐标方程式下的交点问题，
2sin 3sin 21cos 1
4ρθθθπρθ=⎧⇒=-⇒=⎨=-⎩， ∴222243sin 2=⨯=⨯=πρ，∴交点的极坐标为)4
3,2(π． 三、解答题：本大题一一共6小题，总分值是80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．〔本小题总分值是l4分〕
【参考答案】解：〔1〕23T π
=，
∴sin α= 17.〔12分〕
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的消费情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为〔490,495】，〔495,500】，……，〔510,515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；
（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。

【参考答案】17．解：〔1〕根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为
[(0.010.05)5]4012+⨯⨯=〔件〕.
〔2〕Y 的可能取值为0,1,2.
22824063(0)130
C P Y C ===. 件产品中重量超过505克的产品数量，那么(5,0.3)B ξ
,故所求概率为
18.(本小题总分值是14分) 如图5，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为
AC 的中点，点B 和点C 为线段
AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC =D F =，FE=
6a 〔1〕证明：EB FD ⊥；
〔2点,Q R 为线段,FE EB 上的点，23FQ FE =，
23
FR FB =
，求平面BED 与平面RQD 所成的两面角的正弦值. 【参考答案】
18．解法一：
〔1〕证明：
∵E 为AC 中点，AB=BC ，AC 为直径，
∴EB AD ⊥.
222222EF =6(5)BF BE a a a =+=+.
∴EB FB ⊥.
HD BD,HD RD ∴⊥⊥.
RDB ∴∠为平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.
FB=FD,BC=CD,FC BD ∴⊥. 5cos 55BC FBC BF a
∴∠===. 25sin ∴∠.
22551292
BD BR cos FBC=4229335
a a a a a ∴∠+-=. RB 22293sin RDB=sin RD 29295a FBC a ∴∠∠=
=. 解法二：
〔1〕证明：
∵E 为AC 中点，AB=BC ，AC 为直径，
∴EB AD ⊥.
222222EF =6)BF BE a a =+=+.
∴EB FB ⊥.
又BF BD=B ,
EB BDF ∴⊥平面.
FD BDF ⊂平面,
∴EB FD ⊥.
〔2〕解：如图，以B 为原点，BE 为x 轴正方向，BD 为y 轴正方向，过B 作平面BEC 的垂线，建立空间直角坐标系，由此得
1=(0,2,5)n ∴.
∵平面BED 的法向量为2=(0,0,1)n ，
12529cos ,29n n ∴<>=. 12229sin ,29
n n ∴<>=. ∴平面BED 与平面RQD 所成二面角正弦值为
22929. 【点评】立体几何问题是每年必考的内容.一般考察一个选择〔填空〕、一个解答题.主要考察空间线面平行、垂直关系的证明，空间角、空间间隔的求解.预计以后也是必考内容。

19.〔本小题总分值是12分〕
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐一个单位的午餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和
个单位的维生素C 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白
质和个单位的维生素C 假设一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐
【参考答案】19、解法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，那么依题意得：z=x+4y ，且x,y 满足
Z 在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的
值分别是
比较之，B Z 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和
3个单位的晚餐，就可满足要求.
解法二：
设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，那么依题意得：z=x+4y ，且x,y 满足
让目的函数表示的直线x+4y=z 在可行域上平移，由此可知z=x+4y 在B 〔4,3〕处获得最小值.
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.
20.〔本小题总分值是14分〕 双曲线212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点.
〔1〕求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程
〔2假设过点的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且1
2l l ⊥，求h 的值. 那么0,2x x ≠<.
而点()11,P x y 在双曲线2
212x y -=上，
221112
x y ∴-=. 因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点12A A ，均不重合，故点12A A 和均不在轨迹E 上. 过点〔0,1
〕及)
2A 的直线l
的方程为0x +=.
解方程组22012x x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，
得0x ==.所以直线l 与双曲线只有唯一交点2A .
故轨迹E 不经过点〔0,1〕.同理轨迹E 也不经过点〔0,-1〕.
综上分析，轨迹E
的方程为2
2102
x y x x +=≠≠，且 〔2〕设过点(0,)H h 的直线为(1)y kx h h =+>，联立2
212
x y +=得 ()222124220k x khx h +++-=.
令222222164(12)(22)0120k h k h h k =-+-=--=得，
解得12k k == 由于12l l ⊥
，那么21211,2
h k k h -=-=-=故 过点12A A ，分别引直线12l l ，通过y 轴上的点(0,)H h ，且使12l l ⊥，因此12A H A H ⊥,
由1,h ⎛=-= ⎝得 12l l ，
的方程分别为y x y x =+=-+与，
它们与轨迹E
分别仅有一个交点(3333
-与（， 所以符合条件的h
的值是【点评】圆锥曲线问题是每年必考内容，主要考察圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求法等，有时也可以与实际问题相联络考察。

21.(本小题总分值是14分)
设12(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线间隔(,)p A B 为
对于平面xOy 上给定的不同的两点12(,)A x y ，22(,)B x y ,
(1)假设点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,);p A C p C B p A B +≥ 〔2〕在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足 ①(,)(,)(,)p A C p C B p A B +=②(,)(,)p A C p C B = 假设存在，恳求出所有符合条件的点，请予以证明.
【参考答案】
〔1〕证明：∵p(A,C)=1122,(,),x x y y p C B x x y y ---=-+-
因此，所求的点C 为121(,
).2y y x + 〔Ⅱ〕假设12y y =，那么12x x ≠，类似于〔Ⅰ〕 可得符合条件的点C 为121(,)2
x x y + 〔Ⅲ〕当1
2x x ≠，且12y y ≠时，不妨设12x x < 〔ⅰ〕假设12y y <，那么由〔Ⅰ〕中的证明知，要是条件①成立，当且仅当 1212()()0)()0x x x x y y y y --≥--≥与（同时成立 故1212x x x y y y ≤≤≤≤且 从而由条件②，得12121()2x y x x y y +=+++.此时所求点C 的全体为。