2015年高考数学总复习配套教案：2.11导数的概念与运算

第二章函数与导数第11课时导数的概念与运算(对应学生用书(文)、(理)28～29页
)
考情分析考点新知
①导数的概念及其运算是导数应用的基础，
是高考重点考查的对象，主要考查求导数的
基本公式和法则.
②对导数几何意义的考查几乎年年都有，往
往以导数几何意义为背景设置成导数与解析
几何的简单综合．
①了解导数概念的实际背景，理解导数的几
何意义.
②能根据基本初等函数的导数公式和导数
的四则运算法则求简单函数的导数.
1. (选修22P7例4改编)已知函数f(x)＝1＋
1
x，则f(x)在区间[1，2]，⎣
⎡
⎦
⎤
1
2，1上的平均变化率分别为________．
答案：－
1
2
，－2
解析：
f（2）－f（1）
2－1
＝－1
2
；
f（1）－f（
1
2
）
1－
1
2
＝－2.
2. (选修22P12练习2改编)一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是_______m/s.
答案：5
解析：s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.
3. (选修22P 26习题5)曲线y ＝1
2x －cosx 在x ＝π6处的切线方程为________．
答案：x －y －π12－3
2
＝0
解析：设f(x)＝12x －cosx ，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12＋sin π6＝1，故切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－32＝x －π6，
化简可得x －y －π12－3
2
＝0.
4. (选修22P 26习题8)已知函数f(x)＝（x －2）2
x ＋1，则f(x)的导函数f′(x)＝________．
答案：x 2＋2x －8（x ＋1）2
解析：由f(x)＝x 2－4x ＋4
x ＋1
，得
f ′(x)＝（2x －4）×（x ＋1）－（x 2－4x ＋4）×1（x ＋1）2＝x 2＋2x －8（x ＋1）2
.
5. (选修22P 20练习7)若直线y ＝1
2x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b ＝
________．
答案：ln2－1
解析：设切点(x 0，lnx 0)，则切线斜率k ＝1x 0＝12，所以x 0＝2.又切点(2，ln2)在切线y ＝
1
2x ＋b 上，所以b ＝ln2－1.
1. 平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1．
2. 函数f(x)在x ＝x 0处的导数
设函数f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值
Δy Δx
＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx __，无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处可导，并称该常
数A 为函数f(x)在点x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)．
3. 导数的几何意义
导数f′(x 0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x 0，f(x 0))的切线的斜率．
4. 导函数(导数)
若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．
5. 基本初等函数的导数公式 (1) C′＝0 (C 为常数)；
(2) (x n )′＝nx n －
1； (3) (sinx)′＝cosx ； (4) (cosx)′＝－sinx ；
(5) (a x )′＝a x lna(a>0且a ≠1)； (6) (e x )′＝e x ；
(7) (log a x)′＝1x log a e ＝1
xlna __(a>0，且a ≠1)；
(8) (lnx)′＝1
x
.
6. 导数的四则运算法则
若u(x)，v(x)的导数都存在，则 (1) (u±v)′＝u′±v′； (2) (uv)′＝u′v ＋uv′； (3) ⎝⎛⎭⎫u v ′＝u′v －uv′v ； (4) (mu)′＝mu′ (m 为常数)． [备课札记]
题型1 平均变化率与瞬时变化率
例1 某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝2
3x 3＋x 2＋2x.
(1) 求在第1s 内的平均速度； (2) 求在1s 末的瞬时速度；
(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s ?
解：(1) 物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f （1） －f （0）1－0＝11
3 m/s.
(2) Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）
Δx
＝23（1＋Δx ）3＋（1＋Δx ）2＋2（1＋Δx ）－113Δx
＝6＋3Δx ＋2
3(Δx)2.当Δx →0时，Δy Δx →6，所以物体在1 s 末的瞬时速度为6m/s.
(3) Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx
＝2
3
（x ＋Δx ）3＋（x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）－⎝⎛⎭⎫23x 3＋x 2＋2x Δx
＝2x 2＋2x ＋2＋2
3
(Δx)2＋2x·Δx ＋Δx.
当Δx →0时，Δy
Δx →2x 2＋2x ＋2，令2x 2＋2x ＋2＝14，解得x ＝2 s ，即经过2 s 该物体的
运动速度达到14 m/s.
备选变式（教师专享）
在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：
(1) t ＝20s ，Δt ＝0.1s 时的Δs 与Δs
Δt ；
(2) t ＝20s 时的瞬时速度．
解：(1) Δs ＝s(20＋Δt )－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05 m. Δs Δt ＝21.050.1
＝210.5 m/s. (2) 由导数的定义，知在t ＝20s 的瞬时速度为
v(t)＝Δs Δt ＝10（t ＋Δt ）＋5（t ＋Δt ）2－10t －5t 2
Δt
＝5Δt 2＋10t·Δt ＋10Δt Δt
＝5Δt ＋10t ＋10.
当Δt →0，t ＝20 s 时，v ＝10×20＋10＝210 m/s.
答：t ＝20s ，Δt ＝0.1 s 时的Δs 为21.05 m ，Δs
Δt 为210.5 m/s ，
即在t ＝20s 时瞬时速度为210 m/s. 题型2 利用导数公式、求导法则求导 例2 求下列函数的导数．
(1) y ＝
1
x
＋x 3； (2) y ＝e x lnx ； (3) y ＝tanx ； (4) y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (理)(5) y ＝
ln （2＋3x ）
x
. 解：(1) y′＝－12x －3
2＋3x 2.
(2) y′＝e x ⎝⎛⎭⎫lnx ＋1x .(3) y′＝1cos 2x
. (4) y′＝3x 2－2x 3.(5) y′＝2
x （2＋3x ）－ln （2＋3x ）x 2.
备选变式（教师专享）
求下列函数的导数． (1) y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2) y ＝lnx x
； (3) y ＝
11－x ＋1
1＋x
； (4) y ＝x －sin x 2cos x
2；
(理)(5) y ＝2x ＋ln(1－5x)．
解：(1) y′＝18x 2－8x ＋9；(2) y′＝1－lnx
x
2；
(3) y′＝2
（1－x ）2；
(4) y′＝1－1
2
cosx ；
(5) y′＝2x lnx ＋5
5x －1
.
题型3 利用导数的几何意义解题 例3 已知函数f(x)＝
ax
x 2＋b
，且f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切． (1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若P(x 0，y 0)为f(x)图象上的任意一点，直线l 与f(x)的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解：(1) 对函数f(x)求导，得
f′(x)＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2
（x 2＋b ）2
.
∵ f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧f′（1）＝0，f （1）＝2， 即⎩⎨⎧
ab －a ＝0，
1＋b ≠0，a 1＋b ＝2，
∴ a
＝4，b ＝1，∴ f(x)＝4x x 2＋1
.
(2) ∵ f′(x)＝4－4x 2
（x 2＋1）2，∴ 直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20
（x 20＋1）2＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2（x 20＋1）2－1x 2
0＋1， 令t ＝1
x 20＋1，t ∈(0，1]，则
k ＝4(2t 2－t)＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12， ∴ k ∈⎣⎡⎦⎤－1
2，4. 变式训练
(1) 已知曲线y ＝13x 3＋4
3，求曲线过点P(2，4)的切线方程；
(2) 求抛物线y ＝x 2上点到直线x －y －2＝0的最短距离．
解：(1) 设曲线y ＝13x 3＋4
3与过点P(2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝x 20，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 2
0x －23x 30＋43. 因为点P(2，4)在切线上，
所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，
故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.
(2) 由题意得，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0距离最短，设切点为(x 0，x 20)，则切线的斜率为2x 0＝1，所以x 0＝12，切点为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝
⎪⎪⎪⎪
12－14－22
＝
72
8
.
1. (2013·大纲)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________．
答案：－6
解析：y′＝4x 3＋2ax ，由题意，k ＝y′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，所以a ＝－6. 2. (2013·南通一模)曲线f(x)＝f′（1）e e x －f(0)x ＋1
2
x 2在点(1，f(1))处的切线方程为________．
答案：y ＝ex －12
解析：由已知得f(0)＝f′（1）
e ，
∴ f(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e x ＋1
2x 2，
∴ f ′(x)＝f′（1）e e x －f′（1）
e
＋x ， ∴ f ′(1)＝f′（1）e e －f′（1）
e
＋1，即f′(1)＝e ，
从而f(x)＝e x －x ＋1
2x 2，f ′(x)＝e x －1＋x ，
∴ f(1)＝e －1
2
，f ′(1)＝e ，
故切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝ex －12
. 3. (2013·南京三模)记定义在R 上的函数y ＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a ，b]，使得f(b)－f(a)＝f ′(x 0)(b －a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a ，b]上的“中值点”，那么
函数f(x)＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．
答案：2
解析：f(2)＝2，f(－2)＝－2，f （b ）－f （a ）b －a ＝1，f ′(x)＝3x 2－3＝1，得x ＝±23
3∈[－2，
2]，故有2个．
4. (2013·盐城二模)若实数a 、b 、c 、d 满足a 2－2lna b ＝3c －4
d ＝1，则(a －c)2＋(b －d)2的最
小值为________．
答案：2
5
(1－ln2)2
解析：∵ a 2－2lna b ＝3c －4
d
＝1，
∴ b ＝a 2－2lna ，d ＝3c －4，∴ 点(a ，b)在曲线y ＝x 2－2lnx 上，点(c ，d)在曲线y ＝3x
－4上，(a －c)2＋(b －d)2的几何意义就是曲线y ＝x 2－2lnx 到曲线y ＝3x －4上点的距离最小值的平方．考查曲线y ＝x 2－2lnx(x>0)平行于直线y ＝3x －4的切线，∵ y ′＝2x －2
x ，令y′
＝2x －2
x ＝3，解得x ＝2，∴ 切点为(2，4－2ln2)，该切点到直线y ＝3x －4的距离d ＝
|3×2－4＋2ln2－4|32＋（－1）2＝2－2ln2
10就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a －c)2＋(b －d)2的最小
值为d 2＝2
5
(1－ln2)2.
1. 已知函数f(x)＝e x －f(0)x ＋1
2x 2，则f′(1)＝____．
答案：e
解析：由条件，f(0)＝e 0－f(0)×0＋12×02＝1，则f(x)＝e x －x ＋1
2x 2，所以f′(x)＝e x －1＋
x ，所以f′(1)＝e 1－1＋1＝e.
2. 已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切，则直线l 的方程
是____________．
答案：y ＝0或y ＝4x －4
解析：设两个切点的坐标依次为(x 1，x 21)，(x 2，－(x 2－2)2)，由条件，得
⎩
⎪⎨⎪⎧2x 1
＝－2x 2
＋4，
x 2
1
＋[]－（x 2
－2）2
x 1
－x 2
＝2x 1
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2
＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＝2，
x 2
＝0，
从而可求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.
3. 已知函数f(x)＝xlnx ，过点A ⎝⎛⎭⎫－1
e 2，0作函数y ＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________．
答案：x ＋y ＋1
e
2＝0
解析：设切点T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)，∴
x 0lnx 0
x 0＋1e
2
＝lnx 0＋1，即e 2x 0＋lnx 0＋1＝0，设h(x)＝e 2x ＋lnx ＋1，当x>0时h ′(x)>0，∴ h(x)是单调递增函数，∴ h(x)＝0最多只有一个根．又
h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴ x 0＝1e 2.由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2
＝0. 4. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝1
2ax 2＋bx(a ≠0)，设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象
C 2交于两点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行？若存在，求出点R 的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且0＜x 2＜x 1，则点M 、N 的横坐标均为x 1＋x 22
.
∴ C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x |x ＝x 1＋x 22＝2
x 1＋x 2
，
C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ax ＋b|x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）
2＋b ，
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行， 则k 1＝k 2，即
2
x 1＋x 2
＝a （x 1＋x 2）2＋b.
∵ P 、Q 是曲线C 1
、C 2
的交点，∴ ⎩
⎨
⎧
lnx 1＝1
2ax 21
＋bx 1，
lnx 2＝12
ax 2
2＋bx 2，
两式相减，得lnx 1－lnx 2＝⎣⎡⎦⎤12ax 21＋bx 1－⎣⎡⎦⎤12ax 22＋bx 2， 即lnx 1－lnx 2＝(x 1－x 2)⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a （x 1＋x 2）2＋
b ， ∴ lnx 1－lnx 2＝2（x 1－x 2）x 1＋x 2，即ln ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝2⎝⎛⎭
⎫
x 1x 2
－1⎝⎛⎭⎫
x 1x 2＋1. 设u ＝x 1
x 2＞1，则lnu ＝2（u －1）（u ＋1），u ＞1(*)．
令r(u)＝lnu －2（u －1）（u ＋1），u ＞1，
则r′(u)＝1u －4
（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2
.
∵ u ＞1，∴ r ′(u)＞0，∴ r(u)在(1，＋∞)上单调递增，
故r(u)＞r(1)＝0，则lnu ＞2（u －1）
（u ＋1），
这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立．
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．
1. 求函数的导数有两种方法，一是利用导数定义，这种方法虽然比较复杂，但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数，这是求函数导数的主要方法，其关键是记住公式和法则，并适当进行简便运算．
2. 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2) 切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．
(3) 与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．
请使用课时训练（B ）第11课时（见活页）.
[备课札记]。