2020_2021学年新教材高中数学第6章立体几何初步6.3球的表面积和体积课件北师大版必修第二册

2．若一个球的直径是 10 cm，则它的体积为________cm3.
500 3π
[由题意知其半径为 R＝120＝5(cm)，故其体积为 V＝43πR3
＝43×π×53＝5300π(cm3)．]
3．若球的半径由 R 增加为 2R，则这个球的体积变为原来的 ________倍，表面积变为原来的________倍．
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识 6.3 球的表面积和体积
学习目标
核心素养
1.了解球的结构和性质．(重点) 1.通过对球的结构和性质的学
2．了解球的表面积与体积公式， 习，培养学生直观想象素养．
并能应用它们求球的表面积及体 2. 通过利用球的表面积和体积公
积. (重点) 式计算球的表面积和体积，培养
2．球的切线 (1)定义：当直线与球有 唯一 交点时，称直线与球相切，这一 交点称为直线与球的切点． (2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径； ②过球外一点的所有切线的切线长都相等．
思考：1.半径为R的球O的切线AP的切点为P，AP、R和AO三者 之间有什么关系？
提示：AO2＝AP2＋R2
3．球的表面积与体积公式 条件 球的半径为 R
[跟进训练]
1．球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C．163π
D．643π
B [设球的半径为 R，则由已知得43πR3＝323π，解得 R＝2.
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.]
球的截面问题
【例 2】 如图，有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深
为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A．5030π cm3
B．8636π cm3
C．13732π cm3
D．20348π cm3
A [如图，作出球的一个截面，则MC＝8－ 6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径 为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝ 5.∴V球＝43π×53＝5030π(cm3)．]
球截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为 平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距 离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[跟进训练]
2．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距
离是 4 cm，则该球的体积是( )
8 4 [球的半径为 R 时，球的体积为 V1＝43πR3，表面积为 S1＝ 4πR2，半径增加为 2R 后，球的体积为 V2＝43π(2R)3＝332πR3，表面积 为 S2＝4π(2R)2＝16πR2.
所以VV21＝33432ππRR33＝8，SS21＝146ππRR22＝4， 即体积变为原来的 8 倍，表面积变为原来的 4 倍．]
【例 3】 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的
球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的直径为( )
A．3
17 2
B．2 10
C．13
D．3 10
找到球心在直 构造三角形并在三角形 [思路点拨] 三棱柱的位置 → 中计算球的直径
C [因为三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角 形，侧棱与底面垂直．
3．会解决与球有关的切、接问 学生数学运算素养.
题．(重点、难点)
自主 预习 探新 知
1．球的截面
用一个平面 α 去截半径为 R 的球 O 的球面得到的是圆 ，有以下性质：
(1)若平面 α 过球心 O，则截线是以 O 为圆心的球的大圆． (2)若平面 α 不过球心 O，如图，设 OO′⊥α，垂足为 O′，记 OO′＝d， 对于平面 α 与球面的任意一个公共点 P，都满足 OO′⊥O′P，则 O′P＝ R2－d2，即此时截线是以 O′ 为圆心，以 r＝ R2－d2为半径的球的小圆．
△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面 ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是 侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝
52＋122＝13，所以球的直径为13.]
1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体 外接球和内切球的体积各是多少？
表面积公式 S 球面＝_4_π_R__2 _
体积公式
V 球＝43πR3
思考：2.球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？ 提示：球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
1．若球的大圆的周长是 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
C．Cπ2
D．2πC2
C [由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，∴S 球面＝4πR2＝Cπ2.]
[解] 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直 径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径 为R，内切球的半径为r.
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π 3
D．416313π cm3
C [根据球的截面的性质，得球的半径 R＝ 32＋42＝5(cm)，所 以 V 球＝43πR3＝5030π(cm3)．]
与球有关的切、接问题 [探究问题] 1．若一个球内切于某个多面体的面，如何求出球的半径？ 提示：若一个球内切于某个几何体，则连接切点和球心的直线垂 直于这个多面体的面，构造直角三角形，即可求出球的半径． 2．若一个球外接于某个多面体，如何求出球的半径？ 提示：若一个球外接于某个多面体，则连接球心和多面体的顶点 就是球的半径，一般是找到截面，把问题平面化求解．
合作 探究 释疑 难
球的表面积和体积
【例 1】 直径长为 6 的球的表面积和体积分别是( )
A．36π，144π
B．36π，36π
C．144π，36π
D．144π，144π
B [球的半径长为 3，表面积 S＝4π·32＝36π，体积 V＝43π·33＝ 36π.故选 B．]
1已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. 2已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.