中考数学 圆的综合 培优易错试卷练习(含答案)附详细答案

中考数学圆的综合培优易错试卷练习(含答案)附详细答案
一、圆的综合
1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴，
∴BE•AB=BD•BD=．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．
【解析】
【分析】
（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；
（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】
（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT=TC=1 2
∴
；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，
在△AEH和△AFH中，
∵
AFH AEH
AHF AHE AH AH
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH=FH；
（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，
∴CG=4，
连AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AF=CG=4．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x
=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x
=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN
∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为
2
452
3602ππ
⨯
=．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=1
2
（∠AOC-∠MON）=
1
2
（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
考点：旋转的性质.
4．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．
（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；
（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若
tan∠CAF=1
2
，求1
2
S
S的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4
【解析】
【分析】
（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得
»»»
CD PB PD
==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；
（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则
OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3
4
x，代入面积公式可得结
论．
【详解】
（1）连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
∵AD⊥CG，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ACB=∠G=48°；
（2）∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，
∴∠BCG=∠DAC，
∴»»
CD PB
=，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，
∴»»
CD PD
=，
∴»»»
CD PB PD
==，
∴∠BAD=2∠DAC，
∵∠COF=2∠DAC，
∴∠BAD=∠COF；
（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，
∵tan∠CAF=1
2=
CF AF
，
∴AF=2x，
∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，
∴△COF≌△OAG，
∴OG=CF=x，AG=OF，
设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，
Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，
∴（2x ﹣a ）2=x 2+a 2， a=34x ， ∴OF=AG=
34
x ， ∵OA=OB ，OG ⊥AB ， ∴AB=2AG=
32x ， ∴1213··3221·
24·2
AB OG x x S S x x CF AF ===．
【点睛】
圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；
（2）根据外角的性质和圆的性质得：»»
»CD
PB PD ==；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．
（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．
【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，
∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切
（2）
如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，
∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22
DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系 点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
6．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ．
（1）求证：∠ACE=∠DCE ；
（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数；
（3）若AC=4，23
CDF COE S S ∆∆=，求CF 的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（343 【解析】
【分析】 （1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以
∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°；
（3）易证12COE CAE S S =V V ，由于23
CDF COE S S =V V ，所以CDF CAE S S V V =13，由圆周角定理可知
∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．【详解】
（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．
∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G．
∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．
∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．
∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．
（3）∵O是AC中点，∴
1
2 COE
CAE
S
S
= V
V
．
2
3
CDF
COE
S
S
=
V
V
Q，∴CDF
CAE
S
S
V
V
=
1
3
．
∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．
∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴CF
CA
=
3
，∴CF=
3
CA=
43
．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
7．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
【答案】（1）52
2
-
；（2）52
-；（3）
2042
3
-
【解析】
分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；
（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．
详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，
设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l，
由切线长定理可知C′E=C′D，
设C′D=x，则C′E=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，
∴△EFC′是等腰直角三角形，
∴2x，∠OFD=45°，
∴△OFD也是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∴2x+x=1，则2-1，
∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-2-1）2，
∴点C运动的时间为52
2
；
则经过52
2
秒，△ABC的边与圆第一次相切；
（2）如图2，设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC 所在直线的切点D移至D′处，
A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ，
∵CC′=2t ，DD′=t ，
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ，
由（1）得：4-t=2-1， 解得：t=5-2，
答：经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切；
（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ，
则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ，
由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ，
由（1）得：4-1.5t=2-1，
解得：t=10223
-， ∴点B 运动的距离为2×
10223-=20423-．
点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．
8．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .
(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明;
(2)求证:AE BF =;
(3)若3(22)OG DE =g ，求⊙O 的面积.
【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π
【解析】
试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可；
（2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明；
（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．
试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：
如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．
（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，
∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DE AD DB
=，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=（）
．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==（）
①，设AC =x ，则BC =x ，AB 2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB 2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC 221x x x -=（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：
222222[21]222BF BC CF x x x =+=+=（）（）②，由①、②，得
22222422x =（）（）
，∴x 2=12，解得：23x =23-∴222326AB x ===∴⊙O 6，∴S ⊙O =π•6）2=6π．
点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
9．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧»OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．
【答案】（1）详见解析；（2）D（﹣3
a，
3
4
a），E（﹣
33
a，
3
4
a），F（﹣
3
a，
0），P（﹣3
a，
2
a
）；S△DEF=
33
a2．
【解析】
试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得
出PB PE
OP PD
=，同理，△OPF∽△BPD，得出
PB PD
OP PF
=，然后利用等量代换即可．
（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．
试题解析：（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴=，
同理，△OPF∽△BPD
∴=，
∴=，
∴PD2=PE•PF；
（2）连接O1B，O1P，
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，
∵O1B=O1P，
∴△O1BP为等边三角形，
∴O1B=BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=OP，
即△O1PO为等边三角形，
∴O1P=OP=a，
∴∠O1OP=60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O1P⊥OB，
在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，
∴O1D=a，OD=a，
过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，
∴D（﹣a， a），
∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=OP=a，OF=a，
∴P（﹣a，），F（﹣a，0），
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=∠BOP=30°，
∵PE⊥AB，PB=a，
∴∠EPB=60°
∴PE=a，BE=a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=PO，
∴∠PBO=∠BOP=30°，
∴∠BPO=120°，
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
即OPE三点共线，
∵OE=a+a=a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，
∴∠EOA=30°，
∴EM=OE=a，OM=a，
∴E（﹣a， a），
∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），
∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，
DE边上的高为： a，
∴S△DEF=×a×a=a2．
故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．
10．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．
（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；
（2）若
3
tan
2
AED
∠=，求AE的长；
（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.
【答案】（1）62ADE S =；（2）1655
AE =；（3）23m = ，22m =，71m =-.
【解析】
【分析】
（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；
（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故
AF AD EF BD
=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.
【详解】
解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，
设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，
∵点E 是弧BC 中点，
∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，
∴EH ＝OH ＝2+a ，
在Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，
（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ）， 解得a ＝222±-，
∴a ＝222-，
EH=22，
S △ADE ＝1
622
AD EH =n n ;
（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE
设EF ＝2x ，DF ＝3x
∵DF ∥BE ∴AF AD EF BD = ∴622
AF x ==3 ∴AF ＝6x 在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2
（6x ）2+（3x ）2＝（6）2
解得x ＝255
AE ＝8x ＝
1655 （3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图
设DH ＝a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ，
∴∠DFO=∠EDH
∴△ODF ≌△HED
∴OD ＝EH ＝2
在Rt △ABE 中，EH 2＝AH•BH
（2）2＝（6+a ）•（2﹣a ）
解得a ＝±232-
m ＝23
当点E 为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFG ≌△DEH
设DH ＝a ，则GE ＝a ，EH ＝FG ＝2+a
在Rt △ABE 中，EH 2＝AH•BH
（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ）
解得a ＝222±-
∴m ＝22
当点F 为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFM ≌△FDO
设OF ＝a ，则ME ＝a ，MF ＝OD ＝2
∴EH ＝a+2
在Rt △ABE 中，EH 2＝AH•BH
（a+2）2＝（4+a ）•（4﹣a ）
解得a ＝±71-
m ＝71-
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.
11．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析 （2）
233
π【解析】
【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）连接OD．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵¶¶
AE DE
=，∴OE⊥AD．
∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE
是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE
2
6023
3604
π⋅⋅
=-⨯22
2
3
3
π
=-．
【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；
（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？
【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；
（3）分两种情形分别讨论求解即可；
【详解】
解：（1）如图2﹣1中，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴点E处的读数是60°，
∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，
∴∠OBE＝∠E＝30°，
∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，
∴△EBC是直角三角形；
故答案为60°，直角三角形；
（2）如图2﹣2中，
∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，
∵∠AOE＝2∠ACE，
∴y＝4x（0≤x≤45）．
（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，
∵AC⊥BC，
∵EO∥AC，
∴∠AOE＝∠BAC＝30°，
∠AOE＝15°，
∴∠ECA＝1
2
∴x＝7.5．
②若2﹣4中，当BE＝BC时，
易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，
∴∠OBE＝∠OBC＝60°，
∵OE＝OB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝1
2
∴x＝30，
综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；
【点睛】
本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
13．如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．（1）求tan∠AOD的值．
（2）AC，OD交于点E，连结BE．
①求∠AEB的度数；
②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．
【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②
2
2 CH=
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得
DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；
②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2
=∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．
【详解】
（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．
∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AOD
AD
AO
==2；
（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，
AE=CE．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．
②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2
=
∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，
∴△ABE∽△HBC，∴BC CH
EB AE
=
1
2
CH
=，∴CH2
=
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF 上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．
35．
【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD225
-=△CDE∽△DBE，根据相似三
DE CE
角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图，连接BD．
∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．
∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．
∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．
∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．
∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．
∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴
CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径354
=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．
15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠D ＝60°且AB ＝6，过O 点作OE ⊥AC ，垂足为E ．
（1）求OE 的长；
（2）若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF 、AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】（1）OE 的长为32
；
（2）阴影部分的面积为3 2π
【解析】
（1）OE=3
2
（2）S=
3
2
π。