计算机图形学曲线和曲面

非参数表示形式（显示和隐式）存在如下问题： ① 与坐标有关 ② 出现斜率为无穷大的特殊情形 ③ 对于非平面曲线，曲面，难于用常系数的非参数化函 数表示 ④ 不便于计算机处理
（3）参数
一般形式： P(t)=[x(t),y(t)]
注：曲线上任意一点都可表示为给定参数t的函数。
•
参数表示形式优点：
① 几何不变性 ② 更多自由度参数控制曲线与曲面形状 例：二维三次曲线显示表示：

自由曲线和曲面
规则的曲线和曲面，比如：圆和球，可以用固定的函数表
达式来构造，但是他的造型能力有限，我们这儿不讨论。 自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不能用初等解析 函数直接表示出来的曲线和曲面。

它的应用极为广泛，在动画领域上举足轻重，在造型工业设计上更是独占 鳌头。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面均属于这一类。

连续性条件
参数连续性

用
C 阶数表示
C0连续（0阶参数连续） ——指曲线相连，前一段曲线的终点t=1与后一段曲线的起点t=0相同。
C1连续（一阶参数连续） ——代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数（切线）， 即切矢相同 C2连续（二阶参数连续） ——两个曲线段在交点处有相同的一阶和二阶导数。即切矢、法矢相同

Examples:

These two curves do not fit together at all.

These two curves fit together, but not smoothly. These two curves fit together smoothly.

曲线构造方法
a3 a2 t 1] a1 a0 a3 a2 1 0] a1 a0
P(t ) [t 3 t 2
P '(t ) [3t 2
2t
三次参数样条曲线
P(k ) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k ) 3a3t 2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
切矢量
如果选择弧长S作为参数，则
是单位矢量
参数曲线基础

参数曲线相关术语
法矢量

对于空间参数曲线上的任意一点，所有垂直切矢量的矢量有一束， 且位于同一平面上，该平面称为法平面。
若曲线上任意一点的单位切矢量为 T
，所以
，
所以
经过该点与
是与切矢量垂直的矢量
平行的法矢量称为曲线在该 点的主法 。其
曲线构造方法

插值法

给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序 通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的 曲线称为插值曲线。

逼近法
构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点 (但未必通过这些点) ，称为对这些数据点进行逼近，所 构造的曲线称为逼近曲线。 插值和逼近统称为拟合。
在实际的曲线造型应用中，我们要适当地选择曲线段间的连续性， 使造型物体既能保证其光滑性的要求，也能保证其美观性的要求。
目录

曲线曲面概述


参数曲线基础
曲线构造方法 三次样条参数曲线 Beizer曲线 B样条曲线
三次参数样条曲线

三次参数曲线的代数和几何形式
代数形式

我们以最常见的三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。 下面为一般的三次参数曲线的代数形式：



目录

曲线曲面概述


参数曲线基础
曲线构造方法 三次参数曲线 Beizer曲线 B样条曲线
5.1参数曲线基础

显式、隐式和参数表示
曲线和曲面都有参数表示和非参数表示之分
在非参数中又分为显式和隐式表示
（1）显式
一般形式： y = f(x)
注： x 与y一一对应，显示方程不能表示封闭和多值 曲线。 （2）隐式 一般形式：f(x，y) = 0 注： 易判断某给定点是在曲线上还是曲线某一侧。

5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。 因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
曲线构造方法

光顺：
曲线拐点不能太多。对平面曲线来讲，相对光顺
的条件是：
具有二阶几何连续性 不存在多余的拐点和奇异点 曲率变化较小

参数化
过三点P1，P2，P3构造参数多项式插值抛物线可以
有无数条，原因是参数在[0,1]区间内的分割可以有很
多种。其中每个参数值称为节点。
对于一条插值曲线，型值点与其参数域
y ax3 bx2 cx d
二维三次曲线参数表示：
a1t 3 b1t 2 c1t d1 P(t ) 3 , t [0,1] 2 a2t b2t c2t d 2
（3）便于处理斜率为无限大的问题，不会因此而中 断计算。 （4）规格化的参数变量t∈[0，1]，使其相应的几何分 量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完 全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中的曲线扩展到高维空间去。 （ 6）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 基于这些优点，我们在以后将用参数表达式来讨论曲线 问题。
内的
节点间存在一种对应关系。对于一组有序型值点，确 定一种参数分割称之为这组型值点进行参数化。
参数化方法

均匀参数化
每个节点区间长度为正常数。

累加弦长参数化
其中

为向前差分矢量，即弦边矢量。
向心参数化：适用非均匀型值点。

连续性条件
在拟合过程中，不同控制点和型值点控制的曲线段不
一样，我们可能用多组曲线段去组合一条最终的拟合 曲线，多条曲线首尾相连形成一条曲线，为了让连接 处具有合乎要求的连续性，因此需要定义连续性条件

参数曲线相关术语
一条参数表示的3维曲线是一个有界的点集，可以写成一个
带参数的、连续的、单值的数学函数，形式为： x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) t [0,1]
位置矢量：曲线上任意一点的
位置矢量（即坐标），可以用 矢量p(t)表示，p(t)=[x(t),y(t),z(t)]
曲线构造方法

连续性条件
几何连续性

用
G 阶数表示
G0连续（0阶几何连续） ——与C0连续相同。 G1连续（一阶几何连续） ——指一阶导数在两个相邻段的交点处成比例但不一定相等。 G2连续（二阶几何连续） ——指两个曲线段在相交处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续性下，两 个曲线段在交点处的曲率相等。

三次参数样条曲线的代数和几何形式
几何形式


对三次参数样条曲线，若用其端点位矢P(k)、P(k+1)和切矢P(k)、P(k+1) 描述。 将P(k)、P(k+1)、P(k)和P(k+1)简记为P0、P1、P0和P1，代入
P(k ) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k ) 3a3t 2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1

P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示(a0x,a0y,a0z)

我们尝试用已知条件来求解这些系数。可供选择的已知条件有：端点 坐标、端点坐标的切矢量、法矢量、曲率、绕率等等。对于上面的三 次参数曲线，我们使用4个已知条件即可：P(0),P(1), P’(0),P’(1)
三次参数样条曲线
计算机图形学 第五章 曲线和曲面
目录


曲线曲面概述
参数曲线基础 曲线构造方法 三次样条参数曲线 Beizer曲线

B样条曲线
曲线曲面概述

图形学中一个很复杂的又非常重要的研究领域。
曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我们生活和幻
想中的造型的绝大部分。 但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一段很长很长 的时间内无法征服它。
1
列点。
曲线构造方法

判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法

Байду номын сангаас
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用
线形函数 数。
：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线构造方法
在前面的插值法中，如果给定的点（叫做型值点）太多，
很难构造插值函数，因此可以适当的放弃一些型值点。
型值点：是用于确定曲线和曲面的位置与形状，
且相应曲线或曲面一定经过的点。
控制点：是用于确定曲线和曲面的位置与形状，
但相应曲线或曲面不一定经过。
插值点：是在型值点或控制点值之间插入的一系
转动率，也就是P(s)到P(s+ds)这段弧的弯曲程度。
参数曲线基础


参数曲线相关术语
挠率： 等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率,
反应了曲线的扭绕特性。

平面曲线中密切平面是曲线所在平面，所以副法矢固定不变，所以绕率总 是=0，非平面曲线副法矢变化了，会对曲线产生扭动的效果。
T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
矢量。主法矢量的单位矢量称单位主法矢量。记为 实他是T(s)求导后得到的矢量的方向

矢量积 和单位矢量
是第三个单位矢量，它垂直于单位矢量 。经该点与矢量 平等的法矢量称为曲
线在该 点的副法矢量，矢量
称为单位副法矢量。
5.1参数曲线基础

参数曲线相关术语
曲率和曲率半径：其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的
为什么选参数t呢,物理上 可以把3维空间的曲线理 解为一个动点的轨迹,表 示位置矢量p随时间变化

参数曲线相关术语
切矢量
曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t.
当Q趋向R,也就是△ t→0

导数
的方向P’(t)就代表了R
点的切线方向
导数
的大小就可以近似表

示△P的长度也可以近似表示这一 段弧长△ S
P0 0 P1 1 P 0 ' 0 P 1' 3
a3 0 a 2 1 a1 0 a0 3
0 1 0 2
0 1 1 1
1 a3 a2 1 0 a1 0 a0
1963年，美国波音，Ferguson提出使用参数三次方程来构造曲面 1964~1967年，美国MIT，Coons用封闭曲线的四条边界来定义曲面 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面 1974年，美国通用汽车，Cordon和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, 非均匀有理B样条，NURBS方法
曲线曲面概述

自由曲线和曲面发展过程

自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。


从a3x到a0x有12个系数为代数系数，它们确定了这条参数曲线的形状和位 置。系数不同则曲线不同。 把它改写为矢量表达：
三次参数样条曲线

三次参数曲线的代数和几何形式
代数形式

把前面的代数方程改写为矢量形式
P(t ) [t 3 t 2
a3 a2 t 1] a1 a0