华东师大版九年级上册 23.3 专题：中考中相似三角形的常见模型和典型例题 课件(共48张PPT)

B DM E C
AN HF AM BC
共性：A字型相似
学以致用
例10 如图，△ABC是一块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把
它加工成正方形零件，使正方形的一边在AB上，其余两个顶点分别在 BC、AC上。 （1）这个正方形零件的边长是多少？
（2）如果把正方形的零件改变为加工矩形零件，设DP=x，DE=y，写出y
A
E
E
A
E
F
F
F
BD
C BD
C
BD C
（证1明）又：对∵∵∴应∠∠∠边BEE比=DD∠：CF=+C∠∠=CB∠DBEF+DE∠DCCB=FBF∠DEDB+DD∠FEBED
（2）变∴形∠公B式E：D=B∠DFDCCD BE CF
∴△BE横D×∽横△=C竖DF×竖
梳理体系
【模型5】一线三等角相似
△BED∽△CDF
点E、F在BC上,另两个顶点G、H在AC、AB上,且EF:EH=4:3,
求EF、EH的长。
梳理体系
【模型7】线束模型
A E NF
F NE A
B
MC
☆“A”字线束： 若EF//BC，则有 EN NF AN BM MC AM
BM
C
☆“8”字线束： 若EF//BC，则有 EN NF AN BM MC AM
学 （2）若AB=4，AD=6，CF=2，求DE的长。
以
A
D
致
E
用
B
CF
数学活动室
2.如图,AD⊥AC,BC⊥AC,AB与CD相交于点E,过点E作EF⊥AC
交AC于F.
（1）写出图中的所有相似三角形，并说明理由；
学 （2）求证： 1 1 1
BC AD EF
以
D
致
B E
用
CF
A
梳理体系
反A字型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。
（3）当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少? （4）在问题（3）中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一
蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。
（量得BN=70cm）
C
C
DME
DME
A PN F
B
A PN F
A
A
E C
B
D
E B
C D
AC • AD AE • AB
梳理体系
反8字型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
C A
E
B
△ADE∽△ABC
（1）对应边比： AD AE DE AB AC BC
D （2）共线边乘积相等：AD • AC AE • AB
梳理体系
反8字型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
C
AO OC OC OE
OC2 OA OE
典例探究
例 2 如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=4，AC=9.
（1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB.
B
A
E
C
D
数学活动室
1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E在CD上，连 结AE并延长交BC的延长线于点F. （1）求证：△ADE∽△FCE；
（Ⅰ）DE在内部：
A
△ADE∽△ABC
E B
（1）对应相比： AD AE DE
D
AB AC BC
（2）共线边乘积相等：AD • AC AE • AB
C
梳理体系
反A字型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
（Ⅱ）DE拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：
A
△ACE∽△ABC
（1）对应相比： AC AE CE
S2 S3
B
D
C
F M
B
S1 E
S2 N S3
C
【技巧】 与平行有关的相似，所有面积之比只看“A”字相似的三角形 的 相似比，其他相似利用割补法进行转化。
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
选做题
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交 BC的延长线于点F，连结DC、BE，若∠BDE+ ∠BCE =180°. （1）写出图中三对相似三角形；（注意：不得添加字母和线） （2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。
A
（1）对应相比： 上 下
上 下
小小 大大
B
C
（2）对应边比： AD AE DE AC AB BC
典例探究
例 1 如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O，BE//CD
交CA延长线于E．求证：OC2 OA OE
E
AD//BC BE//CD
A
D
．O
B
AO OD OC OB OC OD OE OB
典例探究
例 9 如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CD，
AD与BE相交于点F. （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）求证：△ABE∽△FAE；
（3）当AF=7，DF=1时，求BD的长。
A
A
E
D
F
BD
C
B
EC
【变式】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.
九年级（下）
华东师大版中考第一轮综合复习
梳理体系
1.相似的基本模型：
（1）A字、8字； （3）角平分线； （5）一线三等角； （7）内接矩形；
2.基本辅助线：
（1）作平行线构造A字、8字； 3.基本问题类型：
（1）证明相似； （3）求线段的比；
（2）反A、反8； （4）旋转型； （6）线束模型； （8）相似比与面积比。
分别交AD、AC于E、F两点，求证：BE2 EF • EG
A
G
F E
B
D
C
学以致用
例 5 如图，已知BD、CE是△ABC的高。
（1）求证：AE . AB=AD . AC； （2）连结DE，求证：△ADE∽△ABC；
A
E
D
B
C
数学活动室
1.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的 点，且∠APD=∠B.
典例探究
例11 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上,∠AED= ∠B，
射线AG分别交线段DE、BC于点F、G，且 （1）求证：△ADF∽△ACG；
AD AC
DF. CG
（2）若 AD 1 ，求 AF的值。
AC 2
FG
A
D FE
B
G
C
梳理体系
【模型8】相似比与面积比
A
A
F S1 E
梳理体系
【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
（Ⅲ）DE继续往下拉到AC延长线上：
反A字型
A
△ADE∽△ABC
E
（1）对应相比： AC AB BC
C
AE AD DE
B
（2）共线边乘积相等：AC • AD AE • AB
D
梳理体系
反A字型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
（Ⅲ）DE继续往下拉到AC延长线上（特殊情况，燕尾）
拓展延伸：反“8”字，两组相似共存
B
△ADE∽△ABC
△ACE∽△ABD
C A
E
证明：∵ △ADE∽△ABC
∴ AD AE
D
AB AC
又∵∠CAE=∠DAB
∴△ACE∽△ABD
最常使用：证明图示四组相等角。
典例探究
例 3 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能
判断△ABC∽△AED的是（ D ） A、∠AED=∠B B、∠ADE=∠C
A A
D B
FE C
E DF
B
C
【变式练习】如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC交于点F，并且 ∠BAD=∠CAE，AB AC
AD AE
（1）求证：△ABC∽△ADE （2）求证：△AEF∽△BFC
梳理体系
【模型5】一线三等角相似
△BED∽△CDF
【一级形态】基本一线三等角，锐角＆钝角，∠B=∠C=∠EDF
【一级形态】基本一线三等角，锐角＆钝角，∠B=∠C=∠EDF
E
F
E
F
D是BC的中点
BD C
B
DC
△BDE∽△CFD∽△EDF且DE、DF是角平分线
梳理体系
【模型5】一线三等角相似
【二级形态】三垂直模型→K型相似
E
F
△BED∽△CDF
E
F
BD C
BD
C
梳理体系
【模型5】一线三等角相似
【二级形态】三垂直模型→K型相似
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，求线段AD、AB、CD之间的数量关系。
梳理体系
【模型6】内接矩形→高之比等于相似比（横比=竖比）
A
D
E
A H NF
A HN F
B FC
AD DE AB BC
B DM E C
AN HF AM BC
的延长线于F.试说明：AD2 DE • DF
梳理体系
【模型3】角平分线型
【角平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例】
（1）内角平分线定理： AB BD AC CD
（2）证明：作平行线构造A字型相似
E A
△BAD∽△BEC
B
DC
梳理体系
【模型3】角平分线型
【三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比】
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD
平分∠BAC，则△ABD的周长是
.
E A
A
A
B DC B DC
图1
图2
C
DB
图3
梳理体系
【模型4】旋转型相似→“成对”出现
【图形1】△ADE∽△ABC
△ABD∽△ACE A
A
C、AD AC AE AB
A
D、AD AE AB AC
D
E
D
B
C
B
C
【同步练习】如图，在△ABC中，点D是边AB上任意一点,下列条件中
不能 判断△ACD∽△ABC的是（ D ） A、∠ACB=∠ADC B、∠ACD=∠ABC C、AC AD
AB AC
D、CD AD BC AC
学以致用
例 4 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，CG//AB，BG
（1）外角平分线定理： AB BD AC CD
F A E
（2）证明：作平行线构造A字型相似
B
C
D
学以致用
例 6 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则
AB BD .下面是这个定理的部分证明过程。 AC CD
证明：如图2，过C作CE//DA，交BA的延长线于点E…… 任务：
B
数学活动室
1.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80
毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其
余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
学 A
A
以
M
EN
致
H
KG
∟
用
B Q DPC
B
E
DF C
2.如图,△ABC中,BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH的两个顶
学 （1）求证：AC.CD=CP.BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD//AB时，求BP的长。
以
A
致
D
用
B
P
C
数学活动室
2.如图,D是△ABC的BC边上一点,E为AF上一点,若∠DAC=∠B, 且CD=CE，试说明：△ACE∽△BAD
学
C A
以 致
B
E
D
C
D E
FA
B
用 3.如图，已知∠BAC=90°，BD=DC，DE⊥BC交AC于E，交BA
E
AB AC BC
B
C （2）公共边平方=共线边之积：AC2 AE • AB
梳理体系
反A字型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
（Ⅱ）DE拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：
A
A
E
B
C
AC2 AE • AB
B
DC
AB2 BD • BC
AC2 CD • CB
AD2 BD • CD
△BED∽△CDF
E E
PE
R
BD
F
F
F
M
C
C
BD
C
Q BD
T
☆基本结论1： △BED∽△CDF，将图中相似三角形进行平移仍相似 ☆基本结论2： 矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：DE PQ
MF QT ☆基本结论3： 特别地，当矩形PQTR为正方形时，DE=MF.
典例探究
例 8 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC边上动点，∠EDF=60°.
（2）作垂线构造直角三角形相似；
（2）求线段长； （4）证明线段的等积式。
梳理体系
【模型1】“A”字型＆“8”字型
A字型
A
△ADE∽△ABC
D
E
（1）对应相比：上 下
上 下
小小 大大
B
C
（2）对应边比： AD AE DE AB AC BC
梳理体系
【模型1】“A”字型＆“8”字型
8字型
D
E
△ADE∽△ABC
A
D
E
B
C
E D
BCAຫໍສະໝຸດ EDBC
梳理体系
【模型4】旋转型相似→“成对”出现
【图形2】△ADE∽△ABC且△ADE、△ABC都是等腰三角形
△ABD∽△ACE
AE
A
D
E
D
B
E
C
B
C
A
D
B
C
典例探究
例 7 如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC交于点F, AB BC AC
AD DE AE （1）求证：∠BAD=∠CAE； （2）若∠BAD=21°,求∠EBC的度数； （3）若连结EC，求证：△ABC∽△ACD
（1）求证：△BDE∽△CFD； （2）当BD=1，FC=3时，求BE的长。
A
A
E
F
Q
BD
C
B
P
C
【变式练习】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射 线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC.
（1）若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长； （2）若BP=x，CQ=y,求y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围。