高中数学人教版微积分基本公式课件

微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
➢积分上限的函数
定义
设 f (x) C[a,b]
x
(x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a,b]上连续，则 (x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a,b]上连续，g( x), h( x)可导
F(b不)定 积F(分a)
➢牛—莱公式
定理2 如果函数 f ( x)在区间[a,b]上连续，则函数
(x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
1
y y sin x
与x轴围成的平面图形的面积.
o
x
例6 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 到某处需要减速
停车,
设汽车以等加速度 a
5
m s2
刹车,
问从开始刹车到停车走了多少距离?
例7 求极限 lim 1 n 1 i
n n i1
n
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
T2
T1
v(t )dt
s(T2
)
s(T1 )
s(t) v(t)
➢推广 一般情况下
F( x) f ( x)
b
?
a f (x)dx F(b) F(a)
➢积分上限的函数
定义 设 f (x) C[a,b]
x
(x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质
定理1 如果函数 f ( x)在区间[a,b]上连续,那么积分上限的函数
Φ~(x)
g( x)
f (t)dt
a
b
Ψ(x) x f (t)dt Ψ~( x) b f (t)dt
h( x)
Φ~(x) f (g(x))g(x)
例 求
x
2
sin
tdt
Ψ(x) f (x)
例
0 求
0
e
2tdt
Ψ~(x) f (h(x))h(x)
例
求
x 0
t
2dt
cosx
g( x)
Ι(x) f (t)dt h( x) Ι(x) f (g(x))g(x) f (h(x))h(x)
例 求 cosx cos( t 2 )dt
sinx
➢应用
只要有函数的地方，就可以有积分上限函数的题目 只要是积分上限函数的题目，就应该考虑其导数
例8
求
lim
x0
1
cos
x
e
t
2
高中数学人教版微积分基本公式 课件
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
➢物理事实 变速直线运动的路程
s(T1 ) T1
s(T2 ) s(T1)
v T2 (t )dt T1
s(T2 )
T2
s s(t)
v v(t)
f ( )(b a) 微分学 F( )(b a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F(b) F(a) a
例2
计算
3 1
1
dx x
2
.
例3
计算 1 dx. 2 x
例4
f
(x)
x
sin
x
1
1 0
x x
0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
例1
(x) x f (t)dt 在[a,b]上可导，并且它的导数 a
(x) d
x
f (t)dt f (x) (a x b)dx ayy f (x)
求
x
1 t 2dt
a
(x)
o a x b x
x x
➢牛—莱公式
定理2 如果函数 f ( x)在区间[a,b]上连续,那么函数
(x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(
x)
dx
F
(b)
F
(a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
dt
x2
.
x
tf (t)dt
例9
f (x)C[0,),
f (x) 0
证明
F(x)
0 x
在 [0,) 内单调增加.
0 f (t)dt
谢谢