中职数学中一元二次不等式的解题思路探析

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １７
中职数学中一元二次不等式的解题思路探析
中职数学中一元二次不等式的解题思路探析Һ王娟芳㊀（甘肃省天水农业学校，甘肃㊀天水㊀７４１４００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ一元二次不等式解法是中职数学教学中至关重要的一项内容，其与二次函数之间具有紧密联系．在中职数学教学中，二次函数是大多数学生的学习难点，如何有效求解一元二次不等式已经成为诸多学生的一大困扰．基于此，本文结合自身教学实践，就中职数学中一元二次不等式的解题思路加以探析．
ʌ关键词ɔ中职数学；一元二次不等式；解题方法教师在中职数学教学中，对一元二次不等式这一题型的解答需要结合一元二次函数的图像与性质，以一元二次函数的图像和ｘ轴的交点坐标为依据，对一元二次函数的最终取值范围加以确定，并将结果以表格形式呈现给学生，帮助学生加深记忆．由于表格中所涉及的内容诸多，再加上不少学生在初中阶段对于二次函数的相关知识掌握得不扎实，因此对于大多数中职学生而言，想要学好一元二次不等式，就需要采用多种解法求解，这也使学生的学习具有很大的难度．对此，本文结合中职学生对一元二次不等式的学习基础及目标，提出几种解题方法．
一㊁一元二次不等式的概念
所谓一元二次不等式，是指涵盖一个未知数，并且这个未知数的最高次数是２的不等式．一般情况下，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（ȡ０）或ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０（ɤ０）（其中，ａʂ０）是一元二次不等式的主要表现形式．
二㊁中职数学教学中一元二次不等式的解题方法１．情境导入法
在中职数学中，一元二次不等式是一种最基本的不等
式，能够解决诸多数学问题，然而对于大多数中职学生而言，由于在初中阶段并未牢固掌握函数与图像应用方面的知识，想要真正掌握一元二次不等式的基本知识及求解方法等极为不易，最终导致学生丧失了对数学学习的兴趣．因此，为了更好地激发中职学生学习数学的热情，教师在一元二次不等式的解法教学中，可以依据学生的情感及需求，通过之前所学的一元一次不等式的解法，结合图像，创设情境，使学生进一步明确学习内容，同时激发学生的探究欲望．
例如，在中职数学 一元二次不等式 的教学中，教师可以引入情境：
甲㊁乙两辆汽车相向而行，当到了一个限速４０ｋｍ／ｈ
的弯道上时，两车由于突发状况发生碰撞，交警赶到现场勘查，测得甲所驾驶的车辆刹车距离略接近１２ｍ，而乙的刹车距离则刚好超过１０ｍ，又知甲和乙两种车型的刹车距离ｓ（ｍ）与车速ｘ（ｋｍ／ｈ）之间具有以下函数关系：ｓ甲＝０．０１ｘ２＋０．１ｘ，ｓ乙＝０．００５ｘ２＋０．０５ｘ，二者的车速超过４０ｋｍ／ｈ便属于
违章行为，那么请问：甲㊁乙两辆汽车究竟谁违章行驶了呢？
根据引入的教学情境来引导学生展开讨论．学生通过讨论交流可以得出两个不等式：０．０１ｘ２＋０．１ｘɤ１２，０．００５ｘ２＋０．０５ｘ＞１０．这时老师再引出一元二次不等式的概念，抛出问
题：如何求解一元二次不等式？这种问题导入的方式，有助于激发学生探究数学知识的兴趣．
２．因式分解法
因式分解法是最常用来解一元二次不等式的解法．具体来说，假设一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０存在两个实数根，分别为ｘ１和ｘ２，那么借助因式分解法能够将上式分解为ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２），结合两数相乘同号得正，异号得负的原则，可以将原不等式转化成两个一元一次不等式组，此时所得解集的并集即一元二次不等式的解集．
例１㊀解一元二次不等式：ｘ２－ｘ－１２＞０．
解㊀不等式左边因式分解可得（ｘ－４）（ｘ＋３）＞０，原不等式可以转化为以下两个不等式组：
①ｘ－４＞０，ｘ＋３＞０，{或②
ｘ－４＜０，ｘ＋３＜０，
{
解不等式组①，得解集为（４，＋ɕ）；
解不等式组②，得解集为（－ɕ，－３）．
由此可得不等式的解集为（－ɕ，－３）ɣ（４，﹢ɕ）．例２㊀一元二次不等式－ｘ２－２ｘ＋３＜０的解为（㊀㊀）．Ａ．－３＜ｘ＜１㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．－１＜ｘ＜３
Ｃ．ｘ＜－３或ｘ＞１
Ｄ．ｘ＜－１或ｘ＞３
分析㊀此题主要考查如何运用因式分解法来解一元二次不等式，需要先将一元二次不等式－ｘ２－２ｘ＋３＜０转变为ｘ２＋２ｘ－３＞０，然后运用因式分解法求解．
解㊀ȵ－ｘ２－２ｘ＋３＜０，
ʑｘ２＋２ｘ－３＞０，
ʑ（ｘ＋３）（ｘ－１）＞０，ʑｘ＜－３或ｘ＞１．故选Ｃ．
上述例１㊁例２主要考查学生能否熟练运用因式分解法来解一元二次不等式，解题的难度都是比较小的．
３．配方法
配方法指的是将ａｘ２＋ｂｘ＋ｃʂ０向ａ（ｘ＋ｍ）２＋ｎʂ０转化的情况．由于ａ（ｘ＋ｍ）２ȡ０，因而当ｎ小于０时，可借助因式分解法对一元二次不等式进行求解；当ｎ等于０时，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为｛ｘ｜ｘʂ－ｍ｝，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集为∅；当ｎ大于０时，可得ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为Ｒ，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集为∅．
例３㊀解不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（ａ＞０）．解㊀设方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的判别式为Δ．那么当Δ＞０时，一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＞０）存在两个不等的根，分别为ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２），此时ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ－
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ｘ１）㊃（ｘ－ｘ２）．
由此可以得出，不等式ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＞０的解集为（－ɕ，ｘ１）ɣ（ｘ２，＋ɕ）．
当Δ＝０时，通过配方法可以得出：
ｙ＝ａｘ＋ｂ２ａ()２＋４ａｃ－ｂ２４ａ＝ａｘ＋ｂ２ａ
()
２
．
由此可知，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为ｘʂ－
ｂ
２ａ
的全体实数．换言之，即所得解集为－ɕ，－ｂ２ａ(
)ɣ－ｂ
２ａ
，＋ɕ(
)
．
当Δ＜０时，通过配方法可以得出：
ｙ＝ａｘ＋ｂ２ａ()
２＋４ａｃ－ｂ２
４ａ
．由此可知，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为实数集Ｒ．
例４㊀一元二次不等式（ｘ－２）（ｘ＋２）＜５的解集为
．
分析㊀原不等式可化为ｘ２＜９，解题的难度比较小，但是要注意此题是求解集．
解㊀（ｘ－２）（ｘ＋２）＜５可化为ｘ２－４＜５，
即ｘ２
＜９，解得－３＜ｘ＜３．
故此一元二次不等式的解集为｛ｘ｜－３＜ｘ＜３｝．
总之，通过上述例３和例４可以看到，配方法也是解一元二次不等式的重要解题方法之一．中职教师在一元二次不等式教学中，要通过采用配方法，引导学生对Δ＝０，Δ＞０和Δ＜０这三种情况进行重复练习，有助于学生进一步掌握一元二次不等式的解法，促进学生分类讨论思想的培养．
４．图像法
所谓图像法，是指借助二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）的
图像，并以直角坐标系中点的坐标特征为依据，对一元二次不等式进行求解，从而得出解集的方式．一般情况下，图像法主要涵盖三点内容：第一，对一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的判别式Δ进行判断，判断出二次函数图像与ｘ轴是否存在交点，以及具体交点个数等，若存在交点，则可以借助一元二次方程，计算出交点的横坐标；第二，将二次函数以简单的图形画出；第三，根据所画出的二次函数简图，将一元二次不等式的解集写出来．
一元二次不等式图像和解集判别情况
Δ＞０Δ＝０Δ＜０二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）的图像
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＞０）的根
有两相异实根ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２）
有两相等实根ｘ１＝ｘ２＝－
ｂ２ａ
无实根
续㊀表㊀
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（ａ＞０）的解集｛ｘ｜ｘ＜ｘ１或ｘ＞ｘ２
｝ｘｘʂ－ｂ
２ａ
{
}
Ｒ
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０（ａ＞
０）的解集｛ｘ｜ｘ１＜ｘ＜ｘ２｝
∅
∅
例５㊀解不等式ｘ２－２ｘ－３＞０．
解㊀①求出ｘ２－２ｘ－３＝０的解为ｘ１＝－１，ｘ２＝３．②画出函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－３的图像，开口向上，与ｘ轴交
于（－１，０）和（３，０）两点．
③在图像上找出ｙ＞０的那部分图像，即ｘ轴上方的部分．
④写出这部分图像对应的ｘ的取值范围：ｘ＜－１或ｘ＞３．解集为ｘｘ＜－１或ｘ＞３{}，即（－ɕ，－１）ɣ（３，＋ɕ）．例６㊀一元二次不等式（ｘ＋３）（２－ｘ）＜０的解集
为．
分析㊀原不等式可化为（ｘ＋３）（ｘ－２）＞０，这里可以采用
图像法来判别分析．
解㊀不等式（ｘ＋３）（２－ｘ）＜０可化为（ｘ＋３）（ｘ－２）＞０，解得ｘ＜－３或ｘ＞２．（图像略）
故此不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－３或ｘ＞２｝．
上述例５和例６主要是运用数形结合的方法来解题，通过由具体的情况到抽象再到一般的结论，学生自己进行尝试归纳，教师适当启发引导，这样能够培养学生思维的全面性，使学生从中归纳出解一元二次不等式的一般步骤．
三㊁结束语
综上所述，中职数学教师在进行一元二次不等式教学
过程中，应注重结合中职学生的实际学习状况，尽可能地采用配方法㊁因式分解法㊁图像法等多种解题方法进行教学，以便在帮助中职学生巩固所学一元二次不等式的相关知识的同时，培养中职学生的逻辑思维能力及解题能力，提升学习效率．
ʌ参考文献ɔ
［１］吴世星．例谈学历案在数学教学中的应用：以学历案‘一元二次不等式的解法“为例［Ｊ］．中学数学研究（华南
师范大学版），２０１９（０９）：１０－１１．
［２］丛昌平．构建一元二次不等式巧求最值［Ｊ］．高中数学教与学，２０１９（１２）：４８－４９．。