标量场和静电场的仿真分析

实验一 标量场和静电场的仿真分析
实验目的：1、掌握标量场的梯度计算方法，理解梯度的物理意义；
2、掌握点电荷产生的电场特性；
3、熟悉多个极性不同的点电荷形成的点电荷系的电场特
性；
4、熟悉电偶极子的电场特性以及电力线和等位线的关系。

实验原理：1，标量场：标量场u 沿指定方向的变化率就是标量场在该
方向的方向导数就是标量场的梯度，计算公式为
由此就可以计算出标量场的梯度。

2．静电场：电位表达式
这就是等位面方程．在Matlab 中可求解该方程并
用极坐标作图，即可得到电场的等位线图(也可画
出三维立体等位面图，如图4)．电位求出后就可
得到球坐标系下电场E 的表达式
实验步骤：1、标量场的梯度和等位线仿真
（1） 建立梯度的数学模型
（2） 利用matlab 软件进行仿真
（3） 观察并分析仿真图中梯度和等位线之间的相互关
cos cos cos u u u u l x y z
αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂()(cos cos cos )x y z x y z u u u e e e e e e x y z αβγ∂∂∂=++⋅++∂∂∂()(cos cos cos )x y z x y z u u u u e e e e e e l x y z αβγ∂∂∂∂=++⋅++∂∂∂∂
系
2、点电荷系的电位分布
（1）建立点电荷系电位的数学模型
（2）利用matlab软件进行仿真
（3）观察并分析仿真图中电位分布的特点
3、电偶极子的场
（1）建立电偶极子的电位和电场的数学模型
（2）利用matlab软件进行仿真
（3）观察并分析仿真图中电位线和电力线的特点和关系实验报告要求：（1）抓仿真程序结果图
（2）理论分析与讨论
[例1 ] 求二维标量场u( r) = y2 - x 的梯度。

理解梯度的关键是：梯度是与等值面垂直的一个矢量。

Matlab程序如下：
[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); %设定坐标x，y的范围
z=y.^2-x; %计算公式
[px,py]=gradient(z,.2,.2);
contour(z) %求梯度
hold on
quiver(px,py) %绘制梯度图像
hold off
title('等值线与梯度'); %图像标题
理论分析：由实验原理中梯度的概念和计算公式，按照题目的要求就可以得到上图所示的图形。

根据图形分析可得到，场中每一点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向，也就是说，梯度就是该等值面的法相矢量。

[例2 ] (1) 2个等量同号点电荷组成的点电荷系的电势分布图 ()()22104n i i i i V x x y y πε==-+- 为了方便求解，令01
4i q πε=
则：
1
n
i V
= =
clear
v='1./((x-3).^2+y.^2).^0.5+1./((x+3).^2+y.^2).^0.5'; %读入电势计算方程
xmax=10; %x轴的坐标最大值ymax=10; %y轴的坐标最大值
ngrid=30;
xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %绘图区域、网格线设定[x,y]=meshgrid(xplot); %生成二维网格
vplot=eval(v); %执行输入的电势计算方程
[explot,eyplot]=gradient(-vplot); %计算电场强度
clf;
subplot(1,2,1),meshc(vplot); %画含等势线的三维曲面
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('电位');
subplot(1,2,2),axis([-xmax xmax -ymax ymax])
cs=contour(x,y,vplot); %画等势线
clabel(cs);hold on; %在等势线上编号
quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭头描述矢量场
xlabel('x');
ylabel ('y');
hold off;
分析：(1)如右图所示，电场线从正电荷出发，终止在无穷远处。

电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。

(2)电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两个电荷。

电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。

(3)当两个电荷的电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的。

(4)根据左图所示，点电荷场强的分量E x在电荷附近特别大。

在点电荷附近的右侧，E x的方向沿x轴正向，在点电荷附近的左侧，E x 的方向沿x轴负向，因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷。

(5)根据左图所示，点电荷场强的分量E y在电荷附近也特别大。

在点电荷附近的前方，E y的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，
E y的方向沿y轴负向，因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。

(2) 2个等量异号点电荷组成的点电荷系的电势分布图
clear
v='1./((x-3).^2+y.^2).^0.5-1./((x+3).^2+y.^2).^0.5'; %读入电势计算方程
xmax=10; %x轴的坐标最大值ymax=10; %y轴的坐标最大值ngrid=30;
xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %绘图区域、网格线设定[x,y]=meshgrid(xplot); %生成二维网格
vplot=eval(v); %执行输入的电势计算方程[explot,eyplot]=gradient(-vplot); %计算电场强度
clf;
subplot(1,2,1),meshc(vplot); %画含等势线的三维曲面xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('电位');
subplot(1,2,2),axis([-xmax xmax -ymax ymax])
cs=contour(x,y,vplot); %画等势线
clabel(cs);hold on; %在等势线上编号
quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭头描述矢量场
xlabel('x');ylabel ('y');
hold off;
分析：(1)根据左图所示，点电荷场强的分量E x在电荷附近特别大。

在点电荷附近的右侧，E x的方向沿x轴正向，在点电荷附近的左侧，E x的方向沿x轴负向，因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷。

(2)根据左图所示，点电荷场强的分量E y在电荷附近也特别大。

在点电荷附近的前方，E y的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，
E y的方向沿y轴负向，因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。

(3)如右图所示，电场线从正电荷出发，终止在负电荷。

电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。

(4)电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两个电荷。

电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。

(5当两个电荷的电量相等且异号时，电场线和等势线对中垂线
是对称的。

[例3 ] 画电偶极子的等位线和电力线
a=linspace(0,2.*pi);
for c=-2:0.4:2
r1=c.*cos(a).^(1./2);
r2=c.*sin(a).^2;
polar(a,r1,'r');
hold on;
polar(a,r2,':')
end
title('电偶极子的等位线和电力线')
分析：电偶极子的电位随着距离的平方反比变化，电场按距离的三次方反比衰减。

由图形可以明显的知道，随着离电荷的距离越远，电偶极子比单个点电荷的电场衰减的更快，这是因为在远处正负电荷的相
互抵消的缘故。

点偶极子的电场和电位的另一个特点就是具有轴对称性，如上图所示。

[例4 ] 电偶极子的场（等位线和梯度）
clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % 设置坐标网格
rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2);rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2); %正
电荷在x=1.5;y=-1.5;负电荷在
x=-1.5;y=1.5。

V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电位
[Ex,Ey]=gradient(-V); %计算场强
AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;%场强归一化，使箭头等长
cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),49);%产生49个电位值contourf(X,Y,V,cv,'k-') %用黑实线画等位线
%axis(''square'') %在Notebook中，此指令不用
title('电偶极子的场'),hold on
quiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) %第五输入宗量0.7，使场强箭头长短适中plot(a,b,'wo',a,b,'w+') %用白线画正电荷位置
plot(-a,-b,'wo',-a,-b,'w-') %用白线画负电荷位置
xlabel('x');ylabel('y'),hold off
分析：电偶极子的电场和电位的一个特点就是具有轴对称性，如上图所示。

由图形可以知道，电偶极子产生的场与它的电场梯度是相互垂直的。

场中每一点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向，也就是说，梯度就是该等值面的法相矢量。